Grafų tyrimo elementai

1. Grafų tyrimo elementai

2. Dvi viršūnės yra gretimos, jei jas jungia briauna. Šiuo atveju: b ir c gretimos, a ir d gretimos, e ir d nėra gretimos. Briaunos yra incidenčios, jei turi bendrą viršūnę. Šiuo atveju: {b, c} ir {b, d} incidenčios, o {b, d} ir {a, e} – ne. c b Grafo G = (V, B) aplinka vadinama visų jai gretimų viršūnių aibė (prisiminkite gretimumo aibes): Γ(v) = {w  V: {v, w}  B}. Skaičius p(v) = | Γ(v) | yra vadinamas viršūnės v laipsniu. Šiuo atveju p(a) = 3, p(b) = 3, p(c) = 1, p(d) =2, p(e) = 1, p(f) =0 a d e f

3. Patikrinkime: grafas turi 5 briaunas. p(a) = 3, p(b) = 3, p(c) = 1, p(d) =2, p(e) = 1, p(f) = 0. c b Grafo viršūnių laipsnių suma yra lyginis skaičius! Grafo viršūnių su nelyginiu laipsniu skaičius yra lyginis. (3+3+1+2+1+0)/2 = 10/2 =5 a d e f

4. Grafo viršūnė v yra izoliuotoji, jei p(v) =0. Šiuo atveju f yra izoliuotoji viršūnė. Viršūnę vadiname nusvyrusiąją, jei p(v) =1. Šiuo atveju c ir e yra nusvyrusios. c b Grafas yra homogeninis, jei visų viršūnių laipsniai lygūs. a d Grafas yra vadinamas ciklu, jei visų viršūnių laipsniai lygūs 2. e f

5. G1: p(f) = 2, p(x) = 3, p (h) = 2, p(z)= 3. Nėra homogeninis G2: p(f) = 2, p(x) = 3, p (h) = 2, p(z)= 2, p(r) = 3. Nėra homogeninis Tuščiasis

6. Grafo maršrutu vadinama bet kuri poromis gretimų jo briaunų seka. • Maršruto užrašymas: • e, {e, a}, a, {a, d}, d, {b, d}, b, {a, b}, a; • e, a, d, b, a. Maršrutas vadinamas atviruoju, jeigu jo galinės viršūnės skirtingos. Priešingu atveju jį vadinsime uždaruoju. c b Maršrutas, kurio visos briaunos skirtingos, vadinamas grandine. Atviroji grandinė vadinama keliu. Uždaroji grandinė vadinama ciklu. a d e f

7. Maršrutas: a, b, c, f, e, a, d, b, a, d. Nėra maršrutas: e, a, d, c, b. Nėra grandinė: a, b, c, f, e, a, d, b, a, d; Yra grandinė: a, b, c, f, e, a, d, b; c b a d Kelias: a, b, c, f, e, a, d, b; Ciklas: a, b, c, f, e, a e f Kai kuriuos, pvz, Eulerio ir Hamiltono ciklus, nagrinėsime atskirai.

8. Grafas vadinamas jungiuoju, jeigu bet kurias jo viršūnes galima sujungti keliu. Pavaizduotas grafas nėra jungus: nėra kelio, jungiančio viršūnę f su kitomis viršūnėmis. Grafo maksimalius jungiuosius pografius vadinsime jungiosiomis komponentėmis c c b b a a d d Šis grafas turi dvi jungiąsias komponentes f e e f

9. Pastabos • Bet kuris n-tosios eilės grafas turi ne daugiau kaip n jungiųjų komponenčių; • Jei n-osios eilės grafas turi n jungiųjų komponenčių, tai jos yra izoliuotosios grafo viršūnės; • Antrosios eilės jungusis grafas turi vieną briauną; • Trečiosios eilės jungusis grafas turi dvi arba tris briaunas. b b b b b a c c a a c c a a

10. Metrinės charakteristikos Kelio ilgiu vadinamas įeinančių į jį briaunų skaičius. Atstumu tarp grafo viršūnių vadinamas trumpiausio jas jungiančio kelio ilgis. • Šiuo atveju: iš viršūnės e į viršūnę c galima keliauti įvairiai: • e, f, a, d, b, c; kelio ilgis lygus 5; • e, f, a, b, d, a, c; kelio ilgis lygus 6; • e, f, a, b, c; kelio ilgis lygus 4; • e, f, a, c; kelio ilgis lygus 3. • Taigi, atstumas nuo viršūnės e iki viršūnės c lygus 3. • Pastaba: nesvarbu, kokį kelią rinksimės važiuojant iš Vilniaus į Kauną: ar autostradą, ar per Trakus, ar per Šiaulius. Atstumas tarp miestų nuo to nepasikeis. Skirsis tik nuvažiuotų kilometrų skaičius (kelio ilgis). c b a d e f

11. Metrinės charakteristikos Kelio ilgiu vadinamas įeinančių į jį briaunų skaičius. Atstumu tarp grafo viršūnių vadinamas trumpiausio jas jungiančio kelio ilgis. c b a d e f

12. Metrinės charakteristikos c b Grafo grandinė vadinama skermenine, jei jos ilgis lygus grafo skersmeniui ir nėra trumpesnio jos galus jungiančio kelio. a d e f

13. Metrinės charakteristikos Rasime pavaizduoto grafo metrines charakteristikas. Pildome atstumų lentelę c b a d Spindulys = 2, Skersmuo = 3 Centrai a ir f e f

14. Atsakymas: 3, 2, 6, 5, 2

15. Skaidumas Siejančioji briauna arba tiltas - briauna, kurią pašalinus gautas grafas turi daugiau jungiųjų komponenčių negu grafas G. Šiuo atveju tai {c, d}, {a, f} ir {e, f} c c b b c a a d d Grafo blokas - maksimalus grafo pografis be sujungimo taškų. a f e f e f