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Lógica Proposicional

Lógica Proposicional. Conseqüência lógica e equivalência. Conseqüência lógica. Uma fórmula B é conseqüência lógica de uma fórmula A, denotando-se A ⊨ B sse Toda interpretação I que satisfaz A também satisfaz B, i.e. tal que I[A] = T implica I[B] = T ;

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Lógica Proposicional

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Presentation Transcript

  1. Lógica Proposicional Conseqüência lógica e equivalência

  2. Conseqüência lógica Uma fórmula B é conseqüência lógica de uma fórmula A, denotando-se A ⊨ B sse Toda interpretação I que satisfaz A também satisfaz B, i.e. tal que I[A] = T implica I[B] = T ; De modo similar D é conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas (ou teoria) Γ={A1, A2 … An }, denotando-se porΓ ⊨ B sse Para toda interpretação I que satisfaz todas as fórmulas de Γ também satisfaz B. 2

  3. Conseqüência lógica Exemplo: Modus ponens: P , (P  Q) ⊨Q . Teorema da dedução: Γ, A ⊨ B sse Γ ⊨ A  B . Mais exemplos… 08/11/2014 3

  4. Prova do Teorema da dedução A prova deΓ, A ⊨ B sse Γ ⊨ A  B é feita em 2 mãos: Γ, A ⊨ B implica Γ ⊨ A  B Para toda I[Γ] = T , I[A  B] tem que ser tb T Se I[A] = T, então I[B]=T já que Γ, A ⊨ B e I[AB]=T Se I[A] = F, então I[A  B] = T Γ ⊨ A  B implica Γ, A ⊨ B Toda I[Γ] = T faz com que I[A  B] =T Por contradição: Suponhamos que I[Γ] = T, I[A]=T e, absurdamente I[B] = F I [A B] seria F, o que contradiz a premissa de que I[Γ] = T, I[AB]= T Portanto I[B]=T! 08/11/2014 4

  5. Equivalência lógica Duas fórmulas Ae Bsão logicamente equivalentes, representando-se por A ≡ B sse A ⊨ B e B ⊨ A Na prática para verificar se duas fórmulas são logicamente equivalentes basta construir as tabelas-verdade para A e B e verificar se as colunas para A e para B são idênticas; Definição: A ↔ B ≡(A  B ) ^ (BA ) Teorema: A ≡ Bsse A ↔ B é tautologia. 08/11/2014 5

  6. Algumas equivalências notáveis ¬¬P ≡ P (dupla negação); P  Q ≡¬P V Q (definição de  em função de ¬ e v); ¬(P V Q) ≡ (¬P ^ ¬Q) e ¬(P ^ Q) ≡ (¬P V ¬Q) Leis de De Morgan P ^ (Q V R) ≡ (P ^ Q) V (P ^ R) Distributividade de ^ sobre v P v (Q ^ R) ≡ (P v Q) ^ (P v R) Distributividade de v sobre ^ 08/11/2014 6

  7. Equivalência lógica (Re)definições de conectivos em função de  e : P  Q ≡¬P V Q ≡¬(P ^ ¬Q); P V Q ≡¬(¬P ^ ¬Q) É possível se definir todos os conectivos em função de um só ? 08/11/2014 7

  8. Um só conectivo # (negação conjunta) e |(disjunçãoalternativa), definidos pelaseguintetabela: P Q P # Q P | Q 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 08/11/2014 8

  9. NAND Fazendo: P = (P # P), E P Q =((P # Q) # (Q # Q)), pode-se definirosconectivose  a partir de #, e obterosdemaisconectivos a partirdesses. Deve-se comprovarque as tabelas-verdadequesãoobtidascoincidem com as previamenteconhecidas. Reciprocamente, osconectivos# e | podemserdefinidospor: P # Q =(P Q) E P | Q =(P Q): 08/11/2014 9

  10. Lógica Proposicional Exercícios (pg. 27). 08/11/2014 10

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