Extension latérale du déferlement

1. Extension latérale du déferlement Y. Pomeau(1), T. Jamin(2), M. Le Bars(2), P. Le Gal(2) & B. Audoly(3) (1)LPS-ENS, (2)IRPHE, (3)LMM

2. Equation de Burgers 1D (sans viscosité) : Formation d’un choc en un temps fini: Analyse de la solution au voisinage de la singularité

3. U(x,t) x Singularité : dx/du=0 ou Première singularité 1ère singularité : dt/du=0 => t Poisson (1808) Soit en inversant f =u0-1 Tangente verticale

4. Développement de Taylor de la fonction f Redéfinition de l’origine des temps et invariance par transformation Galiléenne Lois d’échelle au voisinage de la singularité Courbe bleue Courbe noire

5. Équations de Burgers 2D Formation d’un choc : singularité en temps fini

6. ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) dx dy du dv = J(t) où J(t) est la matrice Jacobienne det(J) = Calcul de Y. Pomeau: Équations de Burgers 2D On peut appliquer tout opérateur linéaire Mqui modifie le repère mais pas l’ordre du développement de Taylor de F et G x y u v F G = - t M M M

7. et Singularité quand solution multivaluée det(J) = 0 Dans le repère qui diagonalise J, une des valeurs propres s’annule Redéfinition de l’origine des temps & invariance par transformation Galiléenne => singularité à t = x = y = u = v = 0. Développement de Taylor : det(J)=a t + b u + c v + d u2 + e uv + f v2 +… = 0 1ère singularité : dt/du= dt/dv =0 b = c = 0 Il faut donc chercher les développements de F et G à l’ordre 3 pour que det(J) soit à l’ordre 2 Valeur propre 0 de J(t=0) associée avec la direction x (vague se propageant suivant x) 0 0 = 0 l Pour u =v =t =0

8. change le support de la courbe (v~y) -vt est négligeable par rapport à c’ à l’ordre le plus bas et en remplaçant dans la solution : disparaît par transformation Galiléenne u u+ey Après mise à l’échelle, équation générique du déferlement 2D : Lois d’échelles : u ~ y ~ t1/2 et x ~ t3/2 Vérification expérimentale : le déferlement s’étend en t1/2 selon y

9. ~ ~ Effets de dispersion (KdV) négligeables pour avec h = h0 + h, h<<h0, h0<<L Vagues en eau peu profonde h0 [longueur] = h0 [vitesse] = (gh0)1/2 L Taille caractéristique suivant x Effets capillaires négligeables pour L grand

10. lois d’échelles : h ~ u ~ v ~ y ~ t1/2 x ~ t3/2 ~ Donc les 2 équations se ramènent à Termes de l’équation de Burgers Solution vague simple u ~ h ~ w ~ ~ O(0), donc induit une correction dh ~ t, négligeable Changement de variable w = u + 1 (on se place dans le référence de la crête)

11. Equivalence avec l’équation de Burgers aux premiers ordres Induit une correction dv ~ cte et ~ t sur la solution, négligeable On retrouve les ’équations de Burgers 2D, avec ses lois d’échelles: Lois d’échelles : u ~v~ y ~ t1/2 & x ~ t3/2 Extension latérale de la zone déferlée en t1/2 Vérification expérimentale

12. Étude expérimentale en eau peu profonde

13. Vue de dessus Approximations théoriques OK : grand rapport d’aspect, faible amplitude et dispersion négligeable… Vue de côté Dispositif expérimental: table à eau • Fond horizontal ou légèrement incliné. • Soliton rectiligne (suivant y) de hauteur 6.3mm à 10.6mm et d’extension ~5cm (suivant x), sur une profondeur d’eau de 15.5mm à 22.5mm. • Visualisation par ombroscopie & enregistrement par caméra rapide (2800fps sur un carré de 32.5cm de côté).

14. Observation du déferlement Profondeur d’eau 17.4mm Hauteur de vague 8.0mm Durée du film 41s  temps réel 0.37s Vague = ligne blanche (crête) et ligne noire (front)  focalisation & défocalisation de la lumière par l’interface

15. Progression de la vague : vitesse constante de 0.41m/s en accord avec la valeur théorique (gh0)1/2. Diagramme espace-temps dans la direction de propagation

16. y x  t Progression du déferlement • Superposition d’images séparées par quelques ms • Amélioration du contraste en prenant le gradient • horizontal • Initiation (2) Extension latérale Diverses sources de déferlement qui se rejoignent rapidement, puis progression vers l’extérieur

17. Etudes des lois d’échelles Analyse systématique de 50 expériences (fond horizontal, bathymétrie >0 et <0) Progression latérale en racine du temps est un comportement générique.

18. Perspectives • Exploitation plus complète de l’expérience existante : • profil vertical de la vague, mesures de vitesses, … • Nouvelles expériences de déferlement de vagues : • variations de la hauteur de vague et de la profondeur • d’eau sur de grandes gammes. • Autres systèmes : ressaut hydraulique, choc sonore (3D)

19. Et pourquoi pas à très très grande échelle?