Analisi ammortizzata

1. Analisi ammortizzata

2. Analisi Ammortizzata • Nell’analisi ammortizzata si vuole definire il costo computazionale di una sequenza di n operazioni. • Il tempo di esecuzione di una sequenza di operazioni è definito come la media dei tempi di esecuzione delle operazioni della sequenza. • Si considera l’efficienza nel caso pessimo di ciascuna operazione, in cui tipicamente qualche operazione è molto costosa. • Se le operazioni costose avvengono di rado, il costo medio della sequenza è più basso di quando derivato dalla somma dei casi pessimi.

3. Analisi ammortizzata • NON è un’analisi del caso medio. Non si considerano distribuzioni di probabilità. Si analizza l’efficienza media di ogni operazione nel caso pessimo. • Tre metodi: • Metodo degli aggregati • Metodo degli accantonamenti • Metodo del potenziale • Due esempi: • Pila con multipop • Contatore binario

4. Esempio 1: Pila con multipop • Pila con una operazione addizionale: multipop(S,k), che rimuove i primi k elementi in testa alla pila S. • Multipop(S,k) • while not(Stack-Empty(S)) and k0 • do Pop(S) • k=k-1 • Push e pop sono eseguite in O(1) • multipop richiede O(n) nel caso pessimo. • Una sequenza di n operazioni sulla pila ha quindi tempo nel caso pessimo O(n2).

5. Esempio 1: Pila con multipop • La stima O(n2) è iniqua: ogni elemento può essere tolto solo dopo essere stato inserito. • Il costo dei pop, multi o singoli, non può superare il costo dei push. • Dato che push costa O(1), intuitivamente il costo di n operazioni deve essere O(n), anche nel caso pessimo.

6. Esempio 2: incremento di contatore binario • Contatore binario di k bit, array A[0 … k-1], con A[0] LSB. • Per sommare 1 modulo 2k al valore corrente: • Increment(A) • i=0 • while i<length[A] and A[i]==1 • do A[i]=0 • i=i+1 • if i<length[A] then A[i]=1 • Caso pessimo: tutti elementi a 1, tempo (k). • n operazioni increment, tempo O(nk).

7. Esempio 2: incremento di contatore binario • La stima O(nk) è iniqua: non tutte le volte si complementa un bit terminale di una stringa di tutti 1. • A[0] viene complementato ad ogni chiamata di insert. • A[1] viene complementato n/2 volte. • A[2] viene complementato n/4 volte. • … • A[i] viene complementato n/2i volte.

8. Il metodo degli aggregati • Lo si utilizza per dimostrare che, per tutti i valori di n, una sequenza di n operazioni richiede nel caso pessimo tempo T(n). • Quindi nel caso pessimo il costo ammortizzato, costo medio di ogni operazione è T(n)/n. • E’ un metodo meno preciso degli altri due, dato che dà ad ogni operazione lo stesso costo.

9. Il metodo degli aggregati: esempio pila • Push e pop costano O(1) • Multipop costa O(n) • Pop e multipop possono solo togliere elementi precedentemente inseriti da push. • In n operazioni al massimo posso inserire n elementi. • Una sequenza di n operazioni (push, pop e multipop) richiede un tempo totale O(n). • Il costo ammortizzato di ogni operazione è O(n)/n = O(1).

10. Il metodo degli aggregati: es. contatore • A seguito di n operazioni di incremento (modulo n), ogni i-esimo bit viene modificato n/2i volte. • Il numero totale di operazioni di modifica è • Quindi nel caso pessimo il costo di n incrementi è O(n). • Il costo ammortizzato di ogni singola operazione è O(1).

11. Il metodo degli accantonamenti • Si assegna un valore (inventato) diverso ad ogni operazione: il valore è il costo ammortizzato. • Una operazione i effettuata su un dato cui è assegnato un valore maggiore del suo costo ci genera un credito associato al dato. • Altre operazioni sullo stesso dato potranno poi pagare il loro costo con il credito associato al dato. • I crediti non possono mai diventare negativi. • La somma dei costi ammortizzati per una sequenza di operazioni è un upper bound costo totale effettivo di quelle operazioni.

12. Il metodo degli accantonamenti: es. pila • Costi ammortizzati: • 2 per push • 0 per pop e multipop. • NOTA: il costo ammortizzato di ogni operazione è O(1). • Le due unità guadagnate ad ogni push sono usate così: • • 1 unità per pagare il costo del push. • • 1 unità a credito per pagare i pop futuri. • Togliere un elemento costa 1, per poterlo togliere bisogna prima averlo messo. • Una sequenza di n operazioni push, pop e multipop, ha un costo ammortizzato di O(n), e questo è un upper bound al costo effettivo.

13. Il metodo degli accantonamenti: es. contatore • Costo ammortizzato di 2 per ogni operazione di bit a 1. • Quando si vuole mettere un bit a 1 si paga 1 e si accantona 1 a credito su quel bit. • Il credito viene usato quando si vuole mettere a 0 quel bit. • Per potersi pagare un passaggio di un bit a 0, bisogna prima averlo messo a 1. • Ogni chiamata di increment porta a 1 un solo bit della stringa. • Il numero di 1 nella stringa non è mai negativo (credito sempre positivo). • Una sequenza di n increment ha costo ammortizzato O(n).

14. Il metodo del potenziale • Questo metodo paga in anticipo il lavoro definendo un potenziale utilizzabile per pagare operazioni future. • Il potenziale è associato all’intera struttura dati, non ad elementi specifici. • Notazione: • • Do struttura dati iniziale • • Di struttura dati dopo la iesima operazione • • ci costo effettivo della iesima operazione. • • la funzione potenziale  associa alla struttura dati Di il suo valore di potenziale (Di).

15. Il metodo del potenziale • Analisi ammortizzata • Il costo ammortizzato c* della iesima operazione è definito da • Quindi c* = costo effettivo + variazione di potenziale • Il costo ammortizzato totale diventa • Richiedendo che • Per ogni i, ci si assicura che il costo ammortizzato totale sia un upper bound al costo effettivo di ogni sequenza di n operazioni.

16. Il metodo del potenziale • Di solito (D0)=0 e (Di)0 per ogni i. • Se (Di) - (Di-1) > 0 si ha un versamento, il potenziale cresce. • Altrimenti un prelievo, il potenziale cala.

17. Il metodo del poteziale: es. pila • Inizialmente la struttura dati D è una pila vuota. • Definendo (D) come il numero di elementi nella pila, si ha: • (D0) = 0 e (Di)  0 per ogni i • PUSH: se l’iesima operazione su D è un push: • (Di) - (Di-1) = (Di-1) +1 - (Di-1) = 1 • Il costo ammortizzato di un push è: • ci* = ci + [(Di) - (Di-1)] = 1 + 1 = 2 • MULTIPOP: se l’iesima operazione su D è un multipop(D,k) e k' = min{|D|,k}: • ci = k' • e • ci* = ci + [(Di) - (Di-1)] = k' - k' = 0 • POP: se l’iesima operazione su D è un pop, si ha ci* = 0 • Costi: • • Il costo ammortizzato di ogni operazione è O(1). • • Il costo ammortizzato di n operazioni è O(n). • • L’upper bound al costo totale è O(n).

18. Il metodo del poteziale: es. contatore • Si definisce il potenziale del contatore dopo l’iesima operazione di incremento come bi, numero di bit a 1. • Se la iesima operazione porta a zero ti bit, il costo è al più ti+1 e bibi-1-ti+1. • Quindi • (Di)-(Di-1)  (bi-1-ti+1) - bi-1 = 1 – ti • Costo ammortizzato: • ci*= ci+ (Di)-(Di-1)  (ti+1)+(1 – ti)=2 • Quindi il costo di n operazioni di incremento nel caso pessimo è O(n).