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Tema 2. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL a) La construcción de fórmulas bien formadas. Cuando el lenguaje falla…. Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:. SINTÁCTICO. A esta oración del castellano les falla algo. A este otra oración le fallar todavía más cosa.

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tema 2 el lenguaje de la l gica proposicional a la construcci n de f rmulas bien formadas

Tema 2. EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONALa) La construcción de fórmulas bien formadas

cuando el lenguaje falla
Cuando el lenguaje falla…

Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:

  • SINTÁCTICO

A esta oración del castellano les falla algo

A este otra oración le fallar todavía más cosa

Última es esta galimatías un oración puro

cuando el lenguaje falla1
Cuando el lenguaje falla…

Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:

2. SEMÁNTICO

Esta pitufa del castellano tiene una palabra extraña

Las ideas verdes incoloras duermen furiosamente

Confucio es impar

La existencia es el devenir del karma cuántico

cuando el lenguaje falla2
Cuando el lenguaje falla…

Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:

3. PRAGMÁTICO

Él ha dicho que le dé la medicina

“Declaro abierta la sesión” (dicho por un conserje del Parlamento)

¿Me da un libro sobre cómo hacer amigos, carahuevo?

3 niveles de an lisis del lenguaje
3 niveles de análisis del lenguaje
  • SINTAXIS: Centrada en la estructura formal de las oraciones
  • SEMÁNTICA: Centrada en las condiciones de verdad de las oraciones
  • PRAGMÁTICA: Centrada en los efectos del contexto sobre las oraciones
3 niveles de an lisis del lenguaje1
3 niveles de análisis del lenguaje
  • En lógica sólo nos va a interesar la sintaxis y la semántica.
  • Dentro de la semántica sólo nos va a interesar la parte formal, i.e., el modo en que la disposición formal de los elementos afecta a los valores de verdad:

Sólo Kant ama a Hume ≠ Kant ama sólo a Hume

el alfabeto l gico
El alfabeto lógico
  • Todo lenguaje necesita de:
  • Un alfabeto, i.e., un conjunto de elementos primitivos desde los que construimos sus expresiones
  • El alfabeto latino no resulta ser el mismo que el ruso
la sintaxis l gica
La sintaxis lógica
  • Todo lenguaje necesita de:

2. Reglas de combinación de los elementos primitivos

  • Inglés y español comparten alfabeto, pero no admiten las mismas combinaciones:

ortográficas: THR no es una combinación de letras admisible en español

sintácticas: el español admite sujeto elíptico

alfabeto de la l gica proposicional
Alfabeto de la lógica proposicional
  • El lenguaje de la lógica proposicional (L0) necesita tres tipos distintos de símbolos:
  • CONSTANTES PROPOSICIONALES
  • CONECTIVAS LÓGICAS
  • SÍMBOLOS AUXILIARES
alfabeto de la l gica proposicional1
Alfabeto de la lógica proposicional

1. CONSTANTES PROPOSICIONALES

  • Simbolizan oraciones o proposiciones, i.e., unidades que tienen un valor de verdad
  • Son los equivalentes lógicos de ‘llueve’, ‘yo soy Pepe’, ‘mañana es viernes’,

‘el universo es una sucesión infinita de transmigraciones cósmicas’

alfabeto de la l gica proposicional2
Alfabeto de la lógica proposicional

1. CONSTANTES PROPOSICIONALES

  • Utilizaremos las siguientes letras minúsculas:

p, q, r, s, t, u

  • Si necesitamos simbolizar más oraciones (un número infinito de ellas), recurrimos a subíndices numéricos:

p1, p2, p3, p4, p5 …

alfabeto de la l gica proposicional3
Alfabeto de la lógica proposicional

2. CONECTIVAS LÓGICAS

  • Las oraciones pueden conectarse entre sí por medio de partículas con valor lógico
  • Las principales partículas son cinco, que equivalen a las siguientes:

Y , O, SI…(ENTONCES), SI Y SÓLO SI, NO

alfabeto de la l gica proposicional4
Alfabeto de la lógica proposicional

2. CONECTIVAS LÓGICAS

  • Estas partículas caen en dos grupos:
  • Binarias: Las que conectan dos oraciones:

Hume canta Y Kant humea

Platón tiene razón O la tiene Aristóteles

SI Dios no existe, todo está permitido

Aprobaré lógica SI Y SÓLO SI estudio

alfabeto de la l gica proposicional5
Alfabeto de la lógica proposicional

2. CONECTIVAS LÓGICAS

b) Monarias: Las que se aplican a una sola oración:

Hume NO canta

NO hay vida más allá de Marte

NO todos los filósofos están locos

(ojo!No confundir con:

Los filosófos NO están locos)

alfabeto de la l gica proposicional6
Alfabeto de la lógica proposicional

2. CONECTIVAS LÓGICAS

  • En lógica estas partículas reciben nombres y símbolos especiales:

No = NEGADOR

¬

alfabeto de la l gica proposicional7
Alfabeto de la lógica proposicional

2. CONECTIVAS LÓGICAS

  • En lógica estas partículas reciben nombres y símbolos especiales:

Y = CONYUNTOR

alfabeto de la l gica proposicional8
Alfabeto de la lógica proposicional

2. CONECTIVAS LÓGICAS

  • En lógica estas partículas reciben nombres y símbolos especiales:

O = DISYUNTOR

alfabeto de la l gica proposicional9
Alfabeto de la lógica proposicional

2. CONECTIVAS LÓGICAS

  • En lógica estas partículas reciben nombres y símbolos especiales:

SI…(ENTONCES) = CONDICIONAL

alfabeto de la l gica proposicional10
Alfabeto de la lógica proposicional

2. CONECTIVAS LÓGICAS

  • En lógica estas partículas reciben nombres y símbolos especiales:

SI Y SÓLO SI = BICONDICIONAL

alfabeto de la l gica proposicional11
Alfabeto de la lógica proposicional

3. SÍMBOLOS AUXILIARES

  • Son paréntesis y corchetes, que sirven para agrupar los otros símbolos de manera que se puedan evitar ambigüedades:

( ) [ ]

alfabeto de la l gica proposicional12
Alfabeto de la lógica proposicional

He aquí todo de una vez:

CONSTANTES: p, q, r, s, t, u, p1, p2, p3 …

CONECTIVAS: ¬, , , , 

AUXILIARES: (, ), [, ]

recursividad
Recursividad
  • La mayoría de los lenguajes son recursivos: empleando un número finito de elementos es posible construir un número infinito de oraciones.

La mosca a la que persigue la araña a la que persigue el ratón al que persigue el gato al que persigue el perro es de color negro

recursividad1
Recursividad
  • Una fuente de recursividad es la posibilidad de unir oraciones simples para formar compuestas.
  • Las partículas lógicas desempeñan en esto un papel fundamental.
recursividad2
Recursividad
  • La recursividad comienza por tomar algunos elementos básicos y definir cómo se construyen los elementos complejos a partir de ellos:
  • Dadas las oraciones básicas ‘Hume canta’, ‘Kant baila’, también son oraciones las siguientes:

Hume canta y Kant baila

Hume canta o Kant baila

Si Hume canta, Kant baila

Hume no canta

Kant no baila

Hume canta si y sólo si Kant baila ETC.

recursividad3
Recursividad
  • Podemos seguir aplicando esto en general: dadas las oraciones O y O’, son también oraciones las siguientes:

O y O’, O o O’, Si O entonces O’, no O, etc.

  • Podemos aplicar la regla cuantas veces queramos: dado que
  • ‘Hume canta y Kant baila’ y ‘Hegel da palmas’ son oraciones, también lo será
  • ‘Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas’
recursividad4
Recursividad

-Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas

-Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas

-Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas

-Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas

-Si Hume canta y Hegel da palmas, Kant baila

-Hegel da palmas si y sólo si Kant baila

-Si Hume canta, entonces si Kant baila, Hegel da palmas

recursividad5
Recursividad
  • La recursividad permite construir algunas oraciones peculiares:

-Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila…

-Si Hegel da palmas, Hegel da palmas

-Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta

Son peculiares desde el punto de vista pragmático, pero sintáctica y semánticamente están bien construidas

recursividad6
Recursividad
  • Nuestro lenguaje lógico también va a ser recursivo.
  • Las oraciones en nuestro lenguaje se van a llamar FÓRMULAS
  • Comenzaremos por definir cuáles son las oraciones simples o fórmulasatómicas
  • A continuación daremos un método de combinación de fórmulas atómicas para obtener oraciones compuestas o fórmulas moleculares
f rmulas at micas
Fórmulas atómicas
  • Serán las que correspondan a las oraciones simples del castellano: sin ninguna partícula lógica.
  • Se trata por tanto de las constantes proposicionales:

p

q

r

son (algunas) fórmulas atómicas

f rmulas moleculares
Fórmulas moleculares
  • Las formaremos a partir de las atómicas, empleando las conectivas lógicas:

p  q

p  r

q  p

r  q

q

son (algunas) fórmulas moleculares

ambig edad
Ambigüedad
  • En el lenguaje natural con frecuencia aparecen posibles ambigüedades:

Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas

¿Da o no da palmas Hegel?

Ahora sí:

Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas

Ahora no se sabe:

Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas

ambig edad1
Ambigüedad
  • En lógica queremos construir fórmulas que excluyan toda ambigüedad.
  • En el lenguaje natural usamos diversos elementos para evitar la ambigüedad, como: 1) pausas prosódicas, 2) signos de puntuación y, 3) el contexto.
  • Pero en lógica sólo tenemos un recurso (parecido a 2): construir las fórmulas con reglas muy precisas.
ambig edad2
Ambigüedad
  • Nuestro principal recurso contra la ambigüedad son los PARÉNTESIS.
  • Sea: p  Hume canta ; q Kant baila;

r Hegel da palmas

p  q  r es AMBIGUA; equivale a:

Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas

p  (q  r)  H canta, o K baila y He da palmas

(p  q)  r  H canta o K baila, y He da palmas

metavariables
Metavariables
  • Si la lógica es nuestro lenguaje objeto, el castellano es su metalenguaje.
  • Pero necesitamos ampliar nuestro metalenguaje con algunos símbolos que hacen las veces de abreviaturas.
  • Para referirnos a fórmulas en general usaremos letras griegas:

   …

- Las llamaremos METAVARIABLES

metavariables1
Metavariables
  • Una constante, como p, representa aquello que la hace verdadera o falsa (llueve; las rosas son rojas, etc)
  • Una metavariable, como , representa cualquier fórmula:

p ; ¬q ; pr ; p  (q  r) ; p (p p)

- Vamos a definir nuestras reglas de formación de fórmulas de manera más precisa

reglas de formaci n
Reglas de formación
  • (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula (atómica)
  • (ii) Si  es fórmula, entonces ¬ es fórmula
  • (iii) Si ,  son fórmulas, (), (), (), () son fórmulas
  • (iv) Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen (i), (ii) o (iii)
reglas de formaci n1
Reglas de formación

(i) Toda constante proposicional sola es una fórmula

  • De este modo obtenemos nuestras fórmulas atómicas:

p q r s t

u p1 p2 p3 …

reglas de formaci n2
Reglas de formación

(ii) Si  es fórmula, entonces ¬ es fórmula

  • Dadas las anteriores, también son fórmulas:

¬p ¬q ¬r ¬s ¬t

¬u ¬p1 ¬p2 ¬p3 …

-Podemos aplicar recursivamente (ii) sobre las fórmulas recién obtenidas:

¬¬p ¬¬q … ¬¬¬p

Todas estas también son fórmulas

reglas de formaci n3
Reglas de formación

(iii) Si ,  son fórmulas, (), (),

(), () son fórmulas

-Dadas (i) y (iii) serán fórmulas:

(p  q) (p  s) (p  r) … (q p) …

(p  q) (p  s) (p  r) … (q  p) …

(p  q) (p  r) …

(p  q) (p  r) …

reglas de formaci n4
Reglas de formación

(iii) Si ,  son fórmulas, (), (), (), () son fórmulas

-Si además tenemos en cuenta (ii), son fórmulas:

(p  ¬q) (¬p  s) (p  ¬r) … (q  ¬p) …

(¬p  q) (p  ¬s) (¬p  ¬r) … (¬q  p) …

(p  ¬q) (¬p  r) (¬p  ¬r) …

(¬p  q) (p  ¬r) (¬p  r) …

reglas de formaci n5
Reglas de formación

(iii) Si ,  son fórmulas, (), (), (), () son fórmulas

-Y podemos aplicar otra vez (ii) sobre las últimas fórmulas :

¬(p  ¬q) ¬(¬p  s) ¬(p  ¬r) … ¬(q  ¬p) …

¬(¬p  q) ¬(p  ¬s) ¬(¬p  ¬r) …¬ (¬q  p) …

¬(p  ¬q) ¬(¬p  r) ¬(¬p  ¬r) …

¬(¬p  q) ¬(p  ¬r) ¬(¬p  r) …

¬¬(p  q) … ¬¬(¬p  ¬q) … ¬(p  ¬¬q) …

reglas de formaci n6
Reglas de formación
  • Y podemos seguir aplicando (ii) y (iii) cuanto queramos:

(p  (p  q))

(¬p  (q  ¬s)) (p  ¬r)  (q  ¬p)

(p  ((¬p  q)  (p  ¬s)))

((¬p  ¬r)  (¬q  p))  (p  ¬q)

reglas de formaci n7
Reglas de formación

(iv) Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen (i), (ii) o (iii)

- Esta es una cláusula de cierre, que limita nuestras fórmulas exclusivamente a las formadas por las reglas anteriores.

reglas de simplificaci n
Reglas de simplificación
  • Pueden suprimirse siempre:

(a) Los dos paréntesis externos:

(p  (q  ¬r))  p  (q  ¬r)

(Nota: El símbolo  se lee como ‘es equivalente a’)

reglas de simplificaci n1
Reglas de simplificación
  • Pueden suprimirse siempre:

(b) Los paréntesis internos no precedidos de negador en secuencias compuestas totalmente por conyuntores o totalmente por disyuntores:

(p  (q  r))  (p  q  r)

pero (p  ¬(q  r))  (p  ¬q  r) !!

(p  (¬q  r))  (p  ¬q  r)

pero (p  ¬(q  r))  (p  ¬q  r) !!

conectiva dominante
Conectiva dominante
  • Consideremos cómo se forman las fórmulas moleculares:

- La última regla de formación que hayamos usado ha tenido que ser (ii) o (iii), i.e., la última regla ha introducido el negador o una conectiva binaria:

¬p lo último introducido es el negador ¬

q  ¬r lo último introducido es el conyuntor 

p  (q  r) lo último introducido es el disyuntor 

¬(p  q)  (¬p  ¬q) lo último introducido es 

conectiva dominante1
Conectiva dominante
  • La última conectiva introducida será la CONECTIVA DOMINANTE de la fórmula.
  • Es importante distinguirla, porque es a la que habrá que atender para determinar el valor de verdad de la fórmula.

p  (r  s)

¬(p  (q  r))

¬p  (p  (p  p))

¬((p  q)  ¬(p  q))

(((p  q)  p)  q)  p

¬(p  ¬(q  r  ¬(p  q)))

¬

el primer ¬

el segundo 

no es fórmula

ejercicio cu les son f rmulas
Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?

(¬(p  ¬q)

(p  q)  ¬p  q

((q  (r  ¬s))  (¬¬p  q))  ¬r

¬(s  (p  q¬))

¬(p  (¬q  ¬(r (¬s  t))))

¬¬¬¬¬¬ ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p

(¬q  (r  (¬p  q)))  (q  (¬r  (p  ¬q)))

NO

NO

NO

¬

NO

ejercicio cu les son f rmulas1
Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?

NO

((¬q  r)  ¬(p  q))  ¬(q  r)  ((p  ¬q)  q)

¬(p  ¬q)  ¬r) ¬s)  t))))

(((p  q  ¬r)  (¬q  ¬p))  (p  ¬s))  (¬p  q  r)

(p  (q  ¬p  r))  (p  q)

(((p  (q  ¬r))  (¬q  s))  (s  ¬p))  (p  q)

(p  q  ¬r)  (p  ¬q  ¬r)  (¬p  q  r)

(p  q)  (¬p q)  (p  ¬q)  (¬p ¬q)

NO

NO

NO

ejercicio conectiva dominante
Ejercicio: conectiva dominante

¬(p  ¬q)

(p  q)  (¬p  q)

((q  (r  ¬s))  (¬¬p  q))  ¬r

¬(s  (p  q))

¬(p  (¬q  ¬(r (¬s  t))))

¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p

(¬q  (r  (¬p  q)))  (q  (¬r  (p  ¬q)))

el primer¬

¬

el primer¬

el primer¬

2º 

ejercicio conectiva dominante1
Ejercicio: conectiva dominante

2º

(((¬q  r)  ¬(p  q))  ¬(q  r))  ((p  ¬q)  q)

¬((((p  ¬q)  ¬r) ¬s)  t)

(((p  q  ¬r)  (¬q  ¬p))  (p  ¬s))  (¬p  q  r)

(p  (q  (¬p  r)))  (p  q)

(((p  (q  ¬r))  (¬q  s))  (s  ¬p))  (p  q)

(p  q  ¬r)  (p  ¬q  ¬r)  (¬p  q  r)

(p  q)  (¬p q)  (p  ¬q)  (¬p ¬q)

el primer¬

2º

3er

cualquier 

cualquier 