Possibilistische Netze

1. Possibilistische Netze Sebastian Stober Seminar: Fuzzy-Systeme in Industrieanwendungen 27. März 2003 Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

2. Gliederung • Possibilitätstheorie • Relationale Netze • Possibilistische Netze • Quellen Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

3. 1. Possibilitätstheorie • Possibilität beschreibt die Möglichkeit eines Ereignisses/Auftreten eines Wertes • Oder: Gibt es einen existierenden aber nur partiell beschreibbaren Wert x0, so gibt die Possibilität  (x)  [0,1] an, inwieweit x0=x möglich ist. • Klar: •  (x)=1 heißt, der Wert x ist (uneingeschränkt) möglich •  (x)=0 heißt, der Wert x ist unmöglich • Was ist mit den Werten dazwischen? Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

4. Interpretation • Mehrere Interpretationsansätze möglich, z.B.: • Epistemologische Interpretationen von Fuzzy Mengen • Präferenzrelationen • Ähnlichkeiten • Hier: Kontext Modell • Kontext-Modell: Idee - ein Kontext kann sein: • Physikalische Rahmenbedingungen • Beobachtungsbedingungen • Beobachter • Meßgerät Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

5. Mathematische Formalisierung (1) • Definition Zufallsmenge: • (C, 2C, P) – endlicher Wahrscheinlichkeitsraum • C – modelliert die Kontexte • P(c) – Wahrscheinlichkeit für das Auftreten / die Wahl eines Kontexts c •  - nichtleere Menge • Eine Zufallsmenge ist die mengenwertige Abbildung: : C  2  • (c), c C heißen Fokalmegen von  • Beinhalten die Werte aus , die im Kontext c möglich sind • Oft ist (c)   gefordert Achtung: Def. nimmt implizit an, daß die Kontexte disjunkt sind (als Elementarereignisse im Wahrscheinlichkeitsraum) Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

6. Mathematische Formalisierung (2) • Definition Elementare Possibilitätszuweisung • Der Possibilitätsgrad eines Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit der Möglichkeit des Ereignisses, d.h. die Wahrscheinlichkeit der Kontexte, in denen es möglich ist. Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

7. Mathematische Formalisierung (3) • Normalisierung • Konsistenz (Widerspruchsfreiheit) • d.h. es gibt mindestens ein Element, das in allen Kontexten vorkommt • Normalisierung kann nur vorliegen, wenn Konsistenz vorliegt • Im Allgemeinen ist Konsistenz gefordert (plausibel), es können aber auch inkonsistente Fälle konstruiert werden. Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

8. Mathematische Formalisierung (4) • Definition Possibilitätsmaß • Erweiterung der Elementaren Possibilitätszuweisung auf Potenzmengen • Weist (allgemeinen) Ereignissen, d.h. Mengen von Elementarereignissen, Possibilitätsgrade zu Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

9. Beispiel: Würfelexperiment 1. Wurf: Auswahl des Bechers Die Würfelbecher stellen die Kontexte dar. 1 bis 5 2. Wurf: Ermittlung des Ergebnisses 1 2 3 4 5 1 bis 4 1 bis 6 1 bis 8 1 bis 10 1 bis 12 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

10. Possibilität vs. Wahrscheinlichkeit Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

11. Modifiziertes Würfelexperiment 1. Wurf: Auswahl des Bechers Modifikation: Jetzt 2 identische Würfel je Becher (wähle Maximum) 1 bis 5 2. Wurf: Ermittlung des Ergebnisses 1 2 3 4 5 1 bis 4 1 bis 6 1 bis 8 1 bis 10 1 bis 12 Ergebnis: Es verändern sich nur die Wahrscheinlichkeiten! Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

12. Erkenntnisse • Beim possibilistischen Ansatz wird im Experiment kein Wissen über die Wahl des Würfelbechers hinaus modelliert • Modellierung des Unwissens über die Vorgänge beim zweiten Wurf • Hier werden die Becher als Kontext gewählt (grob) • Genaueres Wissen über den Vorgang würde es möglich machen, die Kontexte feiner zu modellieren • Dabei wird versucht, in jedem Kontext, so viele Ergebnisse wie möglich auszuschließen („negative Information“) • Definiert man für jeden Verlauf (!) des Experimentes einen Kontext (feinste Modellierung), so entsprechen die Possibilitätsgrade den Wahrscheinlichkeiten • Possibilität ist (lose) obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

13. 2. Einführung Relationale Netze • Idee: • Unter bestimmten Umständen läßt sich eine mehrdimensionale Verteilung (Relation) , welche ein bestimmtes domainspezifisches Vorwissen darstellt, zerlegen in eine Menge von (überlappenden) Verteilungen {1,..., k} auf Unterräumen geringerer Dimension • Vorteile: • Effizienteres Speichern, Vermeidung von Redundanzen (Analogie zur Theorie der relationalen Datenbanken) • Effizientes Schlußfolgern auf {1,..., k} ist möglich, ohne dazu die Gesamtverteilung rekonstruieren zu müssen • Leite die Information von Unterraumverteilung zu Unterraumverteilung weiter bis alle aktualisiert sind • Unterscheidung verschiedener Ansätze, u.a.: • Markovnetze – Ungerichtete Graphen • Bayes‘sche Netze – Gerichtete Graphen Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

14. Beispiel • 3 Attribute A,B,C: • dom(A)={a1,a2,a3,a4} • dom(B)={b1,b2,b3} • dom(C)={c1,c2,c3} • Gesamtraum: dom(A)  dom(B)  dom(C) = {A,B,C} • RABC: • Es gilt die „closed-world assumption“, d.h. alle nicht in RABC enthaltenen Wertekombinationen sind unmöglich. Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

15. Beispiel: 2-dimensionale Projektionen RABC RAB RAC RBC Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

16. Beispiel: Schlußfolgern • Angenommen, der Wert eines Attributes ist bekannt. Was kann über die anderen Attribute gefolgert werden? • Naiv: betrachte alle Objekte in RABC mit der entsprechenden Attributausprägung – für höherdimensionale Verteilungen ist das nicht machbar • Graphische Modelle: versuche, die Verteilung zu zerlegen, indem bedingte Unabhängigkeiten genutzt werden Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

17. Bedingte Relationale Unabhägigkeit • Die Attribute A und C sind genau dann bedingt relational unabhängig gegeben Attribut B, wenn gilt: • D.h. ist der Wert für B gegeben können alle Werte, die für A und C möglich sind frei kombiniert werden. • (*) liefert eine Formel für die Zerlegung Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

18. Beispiel: Zyl. Erweiterung und Schnitt Zylindrische Erweiterung: RAB C Schnitt der zylindrischen Erweiterungen: min{(RAB C), (RBC A)} = RABC Zylindrische Erweiterung: RBC A Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

19. Beispiel: Evidenzen-Propagation Beobachtung des Wertes für Attribut A: Schließen auf Werte der Attribute B und C: Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

20. Beispiel: Bedingte Unabhängigkeit • Graphisches Modell: • Die Attribute A und C sind bedingt unabhängig gegeben Attribut B, da alle Wege von A nach C durch Entfernen von B zerstört werden („u-Separation“). Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

21. Bemerkungen • Eine Zerlegung ist nicht immer möglich. • Nicht jede Menge von Projektionen einer Relation liefert eine Zerlegung. • Zerlegbare Relationen sind selten. • In der Anwendung ist oft ein gewisser Verlust an Information akzeptabel (verglichen mit dem Vorteil der geringeren Komplexität) Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

22. 3. Possibilistische Netze • Übertragen der Idee der Zerlegung einer (mehrdimensionalen) Relation auf (mehrdimensionale) Possibilitätsverteilungen • Modifikation der Operationen • Projektion: berechne den maximalen Possibilitätsgrad über den entfernten Dimensionen • Zylindrische Erweiterung und Schnitt (kombiniert): berechne das Minimum aus der a priori Verbund-Verteilung und der a posteriori Rand-Possibilitätsgrade Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

23. Beispiel: Verteilung und Projektionen Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

24. Beispiel: Schlußfolgern Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

25. Bedingte Possibilistische Unabhängigkeit • Possibilistische Netze können als „Fuzzyfikation“ von Relationalen Netzen gesehen werden, indem anstelle der Beschränkung auf die Werte 0 und 1 alle Werte aus dem Intervall [0,1] betrachtet werden. • Daraus ergibt sich analog zur bedingten relationalen Unabhängigkeit: A und C sind genau dann bedingt possibilistisch unabhängig, wenn gilt: wobei  Possibilitätsmaß auf einem (endlichen) Beispiel-Raum  ist. Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

26. Wahrscheinlichkeit vs. Possibilität Suche nach dem wahrscheinlichsten Tupel: Alle Attributwerte tragen zum Resultat der Projektion bei Durch die Summe geht die Information über die entfernten Dimensionen verloren Um das richtige Tupel zu wählen muß zuerst die Verbund-Verteilung rekonstruiert werden Nicht alle Attributwerte tragen zum Resultat der Projektion bei, nur die mit maximalem Possibilitätsgrad Es geht nicht die gesamte Information über die entfernten Attribute verloren Gibt es nur einen Maximalwert in jeder Zeile / Spalte wird das Tupel mit höchstem Possibilitätsgrad zurückgeliefert Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

27. Zusammenfassung • Graphische Modelle stellen eine wichtige Methode zur effizienten Repräsentation und Analyse unsicherer Information in wissensbasierten Systemen dar • Durch Verwendung der Possibilitätstheorie ist es möglich, impräzise Informationen zu berücksichtigen • Possibilistische Netze bieten als Kombination beider Ansätze die Möglichkeit mit sowohl unsicherer als auch impräziser Information zu arbeiten Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

28. 4. Quellen • Graphical Models - Methods for Data Analysis and Mining. Christian Borgelt and Rudolf Kruse. J. Wiley and Sons, Chichester, United Kingdom 2002, ISBN 0-470-84337-3 • Possibilistic Graphical Models. Christian Borgelt, Jörg Gebhardt, and Rudolf Kruse. Computational Intelligence in Data Mining (Proc. 3rd Int. Workshop, Udine, Italy 1998), pp. 51-68. G. Della Riccia, R. Kruse, and H.-J. Lenz, eds. CISM Courses and Lectures 408, Springer, Wien, Austria 2000. • Fuzzy-Systeme. Series Leitfäden und Monographien der Informatik. R. Kruse, J. Gebhardt und F. Klawonn. Teubner Verlag, Stuttgart, 1. Auflage 1993, 2. Auflage 1995 • Vorlesung „Unsicherheit und Vagheit in wissensbasierten Systemen“.R. Kruse, C. Borgelt. Sommersemester 2002 Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze

29. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. Seminar: Fuzzy Systeme in Industrieanwendungen - Sebastian Stober: Possibilistische Netze