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运筹学( O.R. ) Operations Research

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  1. 运筹学(O.R.) Operations Research 运筹学是应用分析、试验、量化的方法,对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排,为决策者提供有依据的最优方案,以实现最有效的管理。

  2. 中国古代运筹学思想: • 齐王赛马 • 丁渭修皇宫 • 沈括运粮 运筹学的产生: • 防空系统 • 商船护航

  3. 运筹学发展三阶段: • 创建时期(45年至50年代初) 1948年 英国成立“运筹学”俱乐部 1948年 麻省理工学院 介绍运筹学 1950年 伯明翰大学开设运筹学课程 1952年 卡斯大学 设立运筹学硕士和博士学位 1947年 丹捷格 提出单纯形法 50年代初 计算机求解线性规划获得成功 • 成长时期(50年代初至50年代末) 多个国家成立运筹学会,多种运筹学刊物问世 1957年 在牛津大学召开第一次国际运筹学会议 1959年 成立国际运筹学联合会 • 迅速发展时期(60年代以来) 运筹学进一步分为各个分支,更多运筹学出版物 运筹学课程纳入教学计划

  4. 我国运筹学发展历程: • 1956年 运筹学小组 • 1958年 运筹学研究室 • 1960年 应用运筹学经验交流会议 • 1962年 全国运筹学专业学术会议 • 1978年 全国运筹学专业学术会议 • 1980年 成立中国运筹学学会

  5. 国际著名运筹学刊物: • Management Science • Operations Research • Interfaces • Journal of Operational Research Society • European Journal of Operations Research

  6. 运筹学的分支: • 线性规划(linear programming) • 非线性规划(nonlinear programming) • 动态规划(dynamic programming) • 图论与网络分析(graph theory and network analysis) • 存贮论(inventory theory) • 排队论(queueing theory) • 对策论(game theory) • 决策论(decision theory)

  7. 运筹学在工商管理中的应用: • 生产计划:生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、 • 配料问题、物料管理等,追求利润最大化和成 • 本最小化 • 库存管理:多种物资库存量的管理,库存方式、库存量等 • 运输问题:确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输 • 工具的调度以及建厂地址的选择等 • 人事管理:对人员的需求和使用的预测,确定人员编制、 • 人员合理分配,建立人才评价体系等 • 市场营销:广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售 • 计划制定等 • 财务会计:预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、 • 现金管理等

  8. 学习管理运筹学: • 必须使用相应的计算机软件 • 必须注重于学以致用的原则 • 要把注意力放在: • 结合实际问题建立运筹学模型 • 解决问题的方案或模型的解 • 中间的计算过程尽可能让计算机软件完成

  9. 运筹学的工作步骤: 1.提出和形成问题 2.收集资料,确定参数 3.建立模型 4.模型求解和检验 5.解的控制

  10. P Q 原料总量 A B C 1 5 0 2 2 4 8吨 20吨 12吨 产品单价 2万元 5万元 第一章 线性规划 第一节 线性规划的基本概念 例1.1 某厂生产P、Q两种产品,主要消耗A、B、C三种原料,已知单位产品的原料消耗数量等资料如表所示。确定P、Q的产量,使产值最大。

  11. 数学模型: 设P、Q的产量分别为x1,x2

  12. 乙 丙 A B 20 10 40 0 0 20 2 2 3 单价(元/千克) 例1.2 某公司打算利用甲、乙、丙三种原料配置一种新型保健饮料,已知每千克原料中两种主要保健成分A,B含量及原料单价如表所示。质量标准规定每千克饮料中,营养成分A,B的含量不低于10个与8个单位。如何制定饮料配方,既满足质量标准又使成本最低?

  13. 数学模型: 设每千克饮料中原料甲、乙、丙的投入量分别为x1,x2,x3千克

  14. B1 B2 B3 A1 A2 2 4 3 6 5 3 30 40 20 25 18 例1.3 A1A2是两个粮库,每月分别可调出粮食30 吨与40吨,三个粮店B1,B2,B3每月需求量分别为20吨,25吨与18吨。粮库与粮店之间每吨粮食的运费如下表所示。要求安排粮食调运方案,在满足需求的前提下使总运费最低。

  15. 数学模型: 设从Ai到Bj调运量为xij

  16. 共同特点: (1)每个行动方案可用一组变量(x1,…,xn)的值表示,这些变量一般取非负值; (2)变量的变化要受某些限制,这些限制条件用一些线性等式或不等式表示; (3)有一个需要优化的目标,它是变量的线性函数。

  17. (1.1) (1.2) (1.3)

  18. x2 5 5x1+2x2=20 4 Q4 Q3 4x2=12 3 (2,3) Q2 (3,2.5) 2 x1+2x2=8 1 Q1 0 1 2 3 4 5 6 x1 二、图解法 例1.4 求下列问题的最优解。 z的等值线:

  19. x2 5 5x1+2x2=20 4 Q4 Q3 4x2=12 3 (2,3) Q2 (3,2.5) 2 x1+2x2=8 1 Q1 0 1 2 3 4 5 6 x1 例1.5 在例1.4中,约束条件不变,而目标函数改为max z=2x1+4x2 全部最优解: αX1+(1-α)X2 (0≤α≤1)

  20. x2 -2x1+x2=4 B x1-x2=2 A D 4 C O x1 2 例1.6 例1.7在例1.6中,约束条件改为

  21. (1.4) (1.5) (1.6) 第二节 线性规划的标准形式和解的性质 一、 LP的标准形式

  22. 方法: (1)目标函数求极小:令z1=-z, (2)某右端常数bi<0,以-1乘该约束两端。 (3)约束为“≤”型,左端加非负变量(松弛变量) 约束为“≥”型,左端减去非负变量(剩余变量) (4)若xj≤0;令xj′=-xj,则xj′≥0; 若xj无符号限制,令xj=xj′-xj″,其中xj′≥0,xj″≥0。

  23. 例1.8

  24. 例1.9

  25. 系数矩阵A=(aij)m×n = 二、LP的基可行解的概念 决策变量向量:X=(x1,x2,…,xn)T 价值向量: C=(c1,c2,…,cn) 资源向量: b=(b1,b2,…,bm)T

  26. 设系数矩阵A的秩是m,即A的m个行向量是线性无关的。若B是A的m阶满秩子阵,称B为问题的一个基。设系数矩阵A的秩是m,即A的m个行向量是线性无关的。若B是A的m阶满秩子阵,称B为问题的一个基。 B=( P1,P2,… ,Pm) 对应的变量 ( x1,x2,… ,xm)称为基变量 其它的变量称为非基变量; 令非基变量等于0,从方程组可以唯一解出基变量的值,从而得到方程组的一个解,称为基本解;如果它的各个分量非负,即它同时又是可行解,则称之为基可行解,对应的基称为可行基。

  27. 三、LP解的性质 • 凸集和极点 • 设D为n维空间的点集,若对任意X1∈D,X2∈D,和实数α(0≤α≤1),都有αX1+(1-α)X2∈D,则称D为凸集。 • 凸集D中如果不存在两个不同的点X1∈D,X2∈D,使X=αX1+(1-α)X2(0<α<1)成立,那么点X称为极点。

  28. 2.线性规划解的性质 定理1 线性规划的可行域R是凸集。 证 对于LP max z=CX AX =b X ≥0 设X1∈R,X2∈R,则有Xi≥0,AXi=b 对于任意α∈[0,1],X=αX1+(1-α)X2≥0 AX=A[αX1+(1-α)X2] = αAX1+(1-α)AX2 =αb+(1-α)b=b 故X∈R,R是凸集。

  29. 引理 设X是线性规划的可行解,则X是基可行解的充分必要条件是X的正分量对应的系数列向量是线性无关的。 证 (1)必要性。由基可行解的定义显然成立。 (2)充分性。不妨设X的前k个分量为正,若向量P1,P2,…,Pk线性无关,则必有k≤m。当k=m时,它们恰好构成一个基,从而X是基可行解。当k<m时,由于A的秩为m,从A中一定可以再找出m-k个列向量与P1,P2,…,Pk线性无关,共同构成一个基,其对应的解就是X,所以X是基可行解。

  30. 定理2 X是线性规划基可行解的充分必要条件是X是可行域的极点。 证 (1)X不是基可行解, 则X不是可行域的极点。 不失一般性,假设X的前m个分量为正,则有 (1) 由引理知P1,P2,…,Pm线性相关,即存在不全为零的数 使得 令 则 (2)

  31. (1)+(2)得: (1)-(2)得: 设 则 又 即X不是可行域的顶点。

  32. (2) X不是可行域的极点, 则X不是基可行解。 不失一般性,设 不是可行域的极点 存在两个不同的点 有 X=αY+(1-α)Z 即 因 故 时 因 故 (1) (2) (1)-(2)得: 因 故P1,P2,…,Pr线性相关

  33. 定理3 线性规划如果有可行解,则一定有基可行解;如果有最优解,则一定有基可行解是最优解。 证 (1)不失一般性,假设可行解X的前m个分量为正。 如果P1,P2,…,Pm线性无关,则X是基可行解。 如果线性相关即存在不全为零的数 使得 令 则 设 则 若 则X2比X少一个正分量,若X2的m-1个列向量 线性无关,则X2是基可行解,否则,重复以上过程,直到找到基可行解为止。

  34. (2)设X0是最优解,如果它不是基可行解,则有(2)设X0是最优解,如果它不是基可行解,则有 则 故X1,X2也是最优解,如前所述, X1,X2中一定有一个点比X0少一个正分量。同理,如果X1( X2)还不是基可行解,则能找到第三个最优解,其正分量比X1( X2)少一个,如此继续下去,一定可以求得一个最优解,它的正分量是线性无关的,即这个最优解为基可行解。

  35. cj c1c2 … cmcm+1 … ck … cn CB XB b x1x2 … xm xm+1 … xk … xn c1 c2 cm x1 x2 xm b1 b2 bm 1 0 … 0 a1m+1 … a1k … a1n 0 1 … 0 a2m+1 … a2k … a2n 0 0 … 1 amm+1 … amk … amn σj 0 0 … 0 第三节单纯形法 一、 单纯形法的解题思路 二、单纯形表

  36. 3. 单纯形法的基本法则 法则1最优性判定法则 若对基可行解X1,所有检验数σj≤0,则X1为最优解。 法则2 换入变量确定法则 设 ,则xk为换入变量。 法则3换出变量确定法则

  37. 例12求下列LP问题

  38. 三、 关于单纯形法的补充说明 1. 无穷多最优解与唯一最优解的判别法则 若对某可行解X1, (1)所有检验数σj≤0,且有一个非基变量xk的检验数等于0,则问题有无穷多最优解; (2)所有非基变量的检验数σj<0,则问题有唯一最优解。

  39. 例13讨论线性规划 cj 1 1 2 -1 CB XB b x1 x2 x3 x4 2 1 x3 x2 1 0 [1] -1 0 1 1 0 -1 2 σj 0 0 0 -1 1 1 x1 x2 1 1 1 0 0 1 1 1 -1 1 σj 0 0 0 -1

  40. 2. 无最优解(无界解)的判定 若对基可行解X1,存在非基变量xk的检验数σk>0,但aik≤0,i=1,2,…,m即xk的系数列向量无正分量,则问题无最优解。

  41. 3. 求min z的情况 直接计算最优性检验条件改为:所有σj≥0; 换入变量确定法则改为:如果 则xk为换入变量。 例14求例2中的LP

  42. cj 2 2 3 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 2 3 x2 x3 1/4 2/5 [1/2] 1/2 1 0 0 1 -1/40 0 0 -1/20 σj -1/2 0 0 1/20 3/20 2 3 x1 x3 1/2 3/20 1 0 2 -1 0 1 -1/20 1/40 0 -1/20 σj 0 1 0 1/40 3/20 X*=(0.5,0,0.15,0,0)T,z=2×1/2+3×3/20=1.45

  43. 第四节 初始可行基的求法——人工变量法 一、 大M法 例15求下列LP问题的最优解

  44. 二、 两阶段法 例17

  45. cj 0 0 0 0 0 1 1 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 1 1 x4 x6 x7 11 3 1 1 -4 -2 -2 1 0 1 2 [1] 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 1 σj 6 -1 -3 0 1 0 0 0 1 0 x4 x6 x3 10 1 1 3 0 -2 -2 [1] 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 -1 -2 1 σj 0 -1 0 0 1 0 3 0 0 0 x4 x2 x3 12 1 1 3 0 -2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 -2 -1 0 2 1 0 -5 -2 1 σj 0 0 0 0 0 1 1

  46. cj 3 -1 -1 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 0 -1 -1 x4 x2 x3 12 1 1 3 0 -2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 -2 -1 0 σj 1 0 0 0 -1 3 -1 -1 x1 x2 x3 4 1 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1/3 0 2/3 -2/3 -1 -4/3 σj 0 0 0 -1/3 -1/3 X*=(4,1,9,0,0)T,z*=2

  47. cj -1 -1 -4 1 CB XB b x1 x2 x3 x4 -1 -1 x1 x2 1 1 1 0 0 1 [1] 1 -1 1 σj 0 0 -2 1 -4 -1 x3 x2 1 0 1 -1 0 1 1 0 -1 [2] σj 2 0 0 -1 -4 1 x3 x4 1 0 1/2 -1/2 1/2 1/2 1 0 0 1 σj 3/2 1/2 0 0 三、 关于退化解的说明

  48. 第五节线性规划应用举例 建立LP模型步骤: (1)深入分析问题特点,适当选择决策变量; (2)确定优化对象——目标函数,它必须表达为决策变量的线性函数; (3)分析制约变量的各种因素,用线性等式或不等式把这些条件反映出来。 例18利用长度为7.4米的角钢,要做成三边长为2.9米,2.1米,1.5米的三角架100套。如何下料,才能使消耗的原料最少?