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ÁLGEBRA. Aula 4 _ Classificação das Funções Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora. FUNÇÃO INJETORA. É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. Ou seja , “x” diferente tem “y” diferente !!!. A. B. 0 -3 2. 4 1 6 8.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
lgebra

ÁLGEBRA

Aula 4 _ Classificação das Funções

Professor Luciano Nóbrega

Maria Auxiliadora

fun o injetora
FUNÇÃO INJETORA

É quando quaisquerdois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B.

Ouseja, “x” diferente

tem “y” diferente !!!

A

B

0

-3

2

4

1

6

8

fun o sobrejetora
FUNÇÃO SOBREJETORA

É quando o conjuntoImagemdafunção for igualaoconjuntocontradomínio. ( Im = CD )

Se M é o conjunto das mulheres

e H é o conjunto dos homens,

entãonão se podeterhomem

solteiro!!!

M

-1

1

3

1

9

H

fun o bijetora
FUNÇÃO BIJETORA

É uma funçãosimultaneamente injetora e sobrejetora.

Ou seja, homens

e mulheres com os

mesmos direitos !!

Injetora: “x” diferente

tem “y” diferente

M

H

1

5

9

-1

3

7

Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.

testando seus conhecimentos

1

2

3

4

6

1

2

3

4

5

6

7

Testandoseusconhecimentos

1º) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas:

a)

b)

é sobrejetora

é injetora

slide6

1

2

3

3

4

5

1

2

3

4

5

6

c)

d)

1º) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas:

não é sobrejetora, nem injetora

é bijetora

slide7

2º) (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e R o conjunto dos números reais. Se f: B → R é a função que associa a cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f:

a) é injetora e não é sobrejetora.

b) é injetora e é sobrejetora.

c) não é injetora e é sobrejetora.

d) não é injetora e não é sobrejetora.

Existembrasileiros com a mesmaaltura, portanto , “ f ” não é injetora!

Sobramelementos no conjunto contra domínio, portanto, “ f ” não é sobrejetora!

B

R

1,73 -2

1,75 10

1,70 -2,3

1,61 0

√2 π

Eu

Thiago

Mailson

Francisli

Claúdia

Dennys

Resp. (d)

slide8

3º) (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E → P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então:

a) f é uma função sobrejetora.

b) f não pode ser uma função bijetora.

c) f não pode ser uma função injetora.

d) f é necessariamente uma função injetora.

Resp. (a)

23

10

13

12

14

E

IFRN

“Empregad”éstica

Maris”bela”

Flo”foca”

Over”dopping”

Conte”râneo”

P

slide9

R

D

f(x)

x

y

f -1(x)

FUNÇÃO INVERSA:

A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento:

1º) Isola “x”;

2º) Troca “x” por “y” e vice versa.

O símbolo para a função inversa de f é f -1 e lê-se “função inversa de f”.

O símbolo “–1” em f -1não é um expoente; f -1(x) não significa 1 / f(x).

slide10

y ou f(x)

y=x2 ou f(x)=x2

reta horizontal

4

x

0

2

-2

FUNÇÃO INVERSA:

TESTE DA RETA HORIZONTAL

Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal.

EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa ?

Conclusão: a função f(x)=x2não tem inversa.

slide11

4º) (UFSE) Considere a funçãobijetora y = ( 3x – 1) : (x + 3), a expressão que define suainversa é:

A) (x + 3) : ( 3x – 1)

B) ( 3x + 1) : ( 3 – x)

C) ( 2x – 1) : (x + 1)

D) ( 3x – 1) : (x + 3)

Vejamos:

y = ( 3x – 1) : (x + 3)

y = _3x – 1_

x + 3

1º) Isolando “x” ;

_3x – 1_ = y

x + 3

3x – 1 = y . (x + 3)

3x – 1 = y . x + 3.y

Colocando x em evidência:

x .(3 – y) = 3.y + 1

3x – y . x = 3.y + 1

x = _3.y + 1_

3 – y

2º) Troca x por y.

y = _3.x + 1_ = ( 3.x + 1) : ( 3 – x)

3 – x

fun o par
FUNÇÃO PAR:

y

Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y.

f(x) = x²

f(x) = f(-x)

x

exemplo:

f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4

FUNÇÃO ÍMPAR:

f(x) = x³

y

Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem.

f(a) = - f(-a)

x

exemplo:

f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³

slide13

Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7

Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7

Logo f(x) = 2x³ +5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x)

ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7)

5º) a) Verifique se f(x) = 2x³ +5x é par ou ímpar:

b) Mostre que f(x) = 3x² é par:

Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3

Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3

Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x)

ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3

slide14

6º)Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será :

Lembre-se:

Se

f(x) = f(-x)

Então a função “f” é par e ela é simétrica ao eixo “y”.

Resp.:E

fun o crescente ou decrescente

f(b)

g(b)

g

f(b)

g(b)

g

f

f

g(a)

f(a)

f(a)

g(a)

O

a

b

O

a

b

a

b

a

b

FUNÇÃO CRESCENTE ou DECRESCENTE:

A função fé crescente

A função g édecrescente

A função f écrescente

A função g édecrescente

Diz-se que f é crescentef se para a < b, então f(a) < f(b).

Diz-se que g é decrescente,se a < b então g(a) > g(b).

slide16

y

-2

0

2

4

6

x

7º) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é:

]0, 4[

  • Decrescente

b) Crescente

]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[

slide17

Função Composta

Função composta

Considere as funções f: A → B e g: B → C, então a função h: A → C é a função composta g(f(x)), com x Є A.

B

C

A

x

f(x)

g(f(x))

Se x = 3

Ex: f(x) = x+2 e g(y) = y2, então h(x) = g(f(x)) = (x+2)2

slide18

Função Composta

Mais exemplos:

  • Sejam as funções f(x) = x2 – 1 e g(x) = 3x , calcule:
  • f(g(x))
  • g(f(x))
  • f(f(x))
  • g(g(x))
slide19

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

1 – Qual dos gráficos representa uma função injetora?

2 – Ao analisar a função real f definida por f(x)=x²+4x-12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.

slide20

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

3 – Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento.

4 – Dadas as proposições:

p: Existem funções que não são pares nem ímpares.

q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y.

r: Toda função de A em B é uma relação de A em B.

t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta.

Podemos afirmar que são falsas:

a) Nenhuma b) Todas c) p,q e r d) t e) r e t

slide21

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

5 – (PUC-RS) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é:

a) 0

b) 2/5

c) -3

d) 3/4

e) 4/3

6 – A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:

a) 2

b) -2

c) 0

d) 3

e) -3

slide22

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

7 – (UFRJ) Considere a relação  de M em N, representada no diagrama abaixo. Para que  seja uma função de M em N, basta:

apagar a seta (1) e retirar o elemento s;

B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k;

C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k;

D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k.

slide23

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

8 – (UNESP – SP) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo de energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função (h) = 17h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3)h.

Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é:

A) 2970.

B) 2875.

C) 2770.

D) 2601.

slide24

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

9 – (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em m, de um medicamentoque uma pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção.

O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose:

A) 7 m

B) 9 m

C) 8 m

D) 10 m

slide25

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

10 – (UFRN) Na tabela abaixo, X representa dias, contados a partir de uma data fixa, e Y representa medições feitas em laboratório, nesses dias, para estudo de um fenômeno.

De acordo com a tabela, pode-se afirmar que as grandezas são:

A) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.

B) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função linear.

C) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função linear.

D) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.

slide26

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

11 – (UFCE) Qual dos gráficos abaixo não pode representar uma função?

slide27

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

12 – (UFRN) Determine o valor da expressão

para a = – 1.

slide28

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

  • 13 – Vimos que se uma função “ƒ” é bijetora então ela admite uma função inversa “ƒ -1”. Diante de duas funções, “ƒ” e “g”, podemos obter uma composição entre elas, ou seja, uma função h = ƒ(g(x)) ou j = g(ƒ(x)).
  • Dadas as funções ƒ(x) = 5x + 1 e g(x) = 6x – 4, resolva a equação ƒ -1(g(x)) = 0, seguindo o procedimento em cada item:
  • a) Determine ƒ -1(x);
  • b) Na função ƒ -1(x) obtida no item (a), substitua “x” por “g(x)”, em seguida, iguale a zero e resolva a equação;
slide29

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

RELEMBRANDO:

Resolva os exercícios do livro:

P.89 _ 4

P.95 _ 9

P.99 _ 10

P.100 _ 11

P.101 _ 14 e 15

P.107 _ 17 e 19

P.112 _ 23 e 25

OBS: Foram selecionados 10 exercícios de um total de 36 exercícios do referente capítulo do livro.

slide30

F I M

Site:

www.professorlucianonobrega.wordpress.com

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