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Analyse dimensionnelle

Analyse dimensionnelle. Le système international d’unités. Il repose sur 7 grandeurs fondamentales :. Les unités SI des autres grandeurs s’expriment en fonction de ces unités de base. Le système international d’unités. Exemples : La vitesse (v = d/t) s’exprime en mètre par seconde m  s -1 .

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Presentation Transcript

  1. Analyse dimensionnelle

  2. Le système international d’unités Il repose sur 7 grandeurs fondamentales : Les unités SI des autres grandeurs s’expriment en fonction de ces unités de base.

  3. Le système international d’unités Exemples : • La vitesse (v = d/t) s’exprime en mètre par seconde ms-1. • L’énergie cinétique (Ec = ½ mv2) s’exprime en joule et 1 J = 1 kgm2s-2. • L’unité SI de la concentration molaire (c = n/V) est la mole par mètre cube (molm-3).

  4. Notion de dimension • Les grandeurs qui décrivent un phénomène physique sont caractérisées par leur « dimension ». Une grandeur peut avoir la dimension d’une masse, d’une énergie, d’une tension électrique… • La dimension de la grandeur G se note [G] sauf pour les grandeurs de base que sont la longueur, le temps, la masse, l’intensité du courant… qui seront notées pour simplifier : L, T, M, I, … • La notion de dimension est très générale et ne sup-pose aucun choix particulier de système d’unités.

  5. Notion de dimension Grandeur Dimension Longueur L Temps T Masse M Intensité du courant I Quantité de matière N Température Q

  6. Analyse dimensionnelle • Faire l’analyse dimensionnelle d’une relation consiste à remplacer, dans la relation, chaque grandeur par sa dimension. • Exemple : la vitesse est le quotient d’une longueur par un temps, l’équation aux dimensions s’écrit : [v] = LT-1. • La dimension d’une grandeur quelconque peut s’expri-mer à partir des dimensions fondamentales. • Toute expression doit être homogène, c’est-à-dire que ses deux membres doivent avoir la même dimension. Exemple : dans la relation E = m. c2les deux membres ont la dimension d’une énergie.

  7. Dimension d’une grandeur • Energie cinétique : Ec = ½ mv2 [Ec] = M (L.T-1) 2 [Ec] = ? • Masse volumique : r = [r] = ? [r] = M.L-3 • Densité d’un liquide : d = [d] = ? La densité est une grandeur sans dimension.

  8. B a A R Dimension d’une grandeur • Remarque : une grandeur sans dimension peut cependant avoir une unité. • Exemple : l’unité d’angle, dans le système international, est le radian et [a] = 1 puisque :

  9. Dimension d’une grandeur On peut exploiter la relation entre l’énergie potentielle et le poids qui est une force : Ep(B) – Ec(A) = m . gz (zB – zA) • Dimension d’une force ? ? ML2T-2L-1 = MLT-2 Relation que l’on pourra retrouver (plus simplement) à partir de la 2e loi de Newton : F = ma . Remarque : [F] = MLT-2 1 N = 1 kg.m.s-2

  10. Dimension d’une grandeur • Il peut être parfois relativement difficile d’obtenir le résultat… Exemple : la tension électrique U a pour dimension [U] = L2 MT-3 I-1 résultat qui peut s’obtenir en combinant les différentes relations : F = q·E  ; E = U/d  ; q = I·t  ; F = m·a… • On pourra, en général, garder [U] dans l’équation aux dimensions. Ainsi, à partir de la loi d’ohm uR = Ri, on pourra écrire :

  11. Homogénéité d’une formule A quoi sert l’analyse dimensionnelle ? • Une équation est dite homogène si ses deux membres ont la même dimension. • Exemple : « v = dt » n’est pas homogène : [v] = LT-1 et [dt] = LT La relation v = dt est donc fausse. • Attention, une expression homogène n’est pas nécessairement juste : Ec = mv2…

  12. Homogénéité d’une formule • Le faisceau laser ayant une longueur d’onde l, parmi les relations suivantes, lesquelles ne sont pas homogènes ?

  13. A quoi sert l’analyse dimensionnelle ? [d] = L2L-1 = L [d] = L2L-1 = L [d] = L2L-2 = 1  L [d] = L3 L • La formule correcte est : Mais l’analyse dimensionnelle seule ne permet pas de la retrouver.

  14. A quoi sert l’analyse dimensionnelle ? • Vérifier que la formule : T0 = 2p est homogène. Formule où T0 représente la période des oscillations d’un pendule simple, l sa longueur et g l’intensité de la pesanteur.

  15. A quoi sert l’analyse dimensionnelle ? • T0 = 2p L’expression est homogène si : [T0] = [T0] = T ; [l] = L P = mg  g = P/m [g] = [F]/[m] = MLT-2M-1 = LT-2 [l/g] = LT2L-1 = T2 et donc = T

  16. A quoi sert l’analyse dimensionnelle ? • On analyse les paramètres : • T0 dépend de l , g, m, q0 • On pose T0 = la. gb. mg. q0m • D’où T = La. (LT-2)b. Mg. [q] m pour L : a + b = 0 a = 1/2 pour T : - 2b = 1 b = -1/2 T0 = k .f(q0) pour M : g = 0 g = 0 et m = ? La formule n’est pas connue !

  17. Autre règle importante • Pour respecter l’homogénéité d’une relation, on ne peut ajouter que des grandeurs de même dimension. • Exemples : Ec + Ep = E ; uR + uC = 0 … Une relation telle que : (1) n’est correcte que si : [l] = ? T-1 car : (1) Forme différentielle de la loi de décroissance radioactive (l : constante radioactive).

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