Analyse

1. Analyse http://mathsv.univ-lyon1.fr Muriel Ney LaboratoireBiométrie et Biologie Evolutive ney@biomserv.univ-lyon1.fr

2. 10 février 2004 16 février 2004 CC analyse CC stats Organisation du semestre Affichage des groupes TT/TD et des salles : vendredi ou lundi matin.

3. Objectif général du cours • Apprendre à utiliser le langage mathématique pour résoudre des situations où interviennent des phénomènes biologiques • Apprendre les concepts de base et se familiariser avec les usages et les significations de ces concepts en fonction de la situation biologique

4. Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’ CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles CM3 Prendre du recul calculer une Primitive et intégrer une fonction CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle

5. Les cours de probabilités-statistiques ‘Prise de décision sur un phénomène aléatoire’ • Probabilités • Statistiques descriptives • Estimation • Tests d’hypothèses Dominique Mouchiroud

6. Déterminisme et Hasard Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population d’organismes vivants ? La croissance Déterminisme = reproduction, mortalité, etc. Variabilité (« hasard ») = temps et succès de la reproduction, etc.

7. Déterminisme et Hasard Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’une population ?

8. Déterminisme et Hasard 1. Modèles du hasard Se décider dans une situation où le hasard intervient outils = probabilités et statistiques

9. Déterminisme et Hasard 2. Modèles déterministes Faire le lien entre le phénomène et les processus qui le provoquent Outils : fonctions et équations différentielles

10. Etude de fonction Modéliser le phénomène par une fonction Déterminer des propriétés de la fonction Interpréter en termes biologiques

11. Un jeu de traduction • Est-ce que le nombre d’organismes ne fait que croître avec le temps ? • Quelle est vitesse d’accroissement du nombre d’organismes ? • Quel est le nombre moyen d’organismes produits entre le début de l’expérience et un temps t donné ? • Est-ce que le nombre d’organismes se stabilise au bout d’un certain temps ?

12. Un jeu de traduction • Est-ce que le nombre d’organismes ne fait que croître avec le temps ? le signe de la dérivée de g • Quelle est vitesse d’accroissement du nombre d’organismes? la dérivée seconde • Quel est le nombre moyen d’organismes produits entre le début de l’expérience et un temps t donné ? l’intégrale sur [0 , t] • Est-ce que le nombre d’organismes se stabilise au bout d’un certain temps ? la limite quand le temps tend vers l’infini, l’asymptote

13. CM1,CM2 : Décrire les variations • Definition d’une fonction • Etude de fonction en étapes (a à h) • Fonctions usuelles: fonction linéaire, exponentielle, logarithme, puissance

14. Définition d’une fonction Application de IR dans IR qui à un point x de IR fait correspondre un point UNIQUE y = f(x) dans IR. x : le temps (t), la température (T), etc. f: un nombre d’organismes (N), leur taille, leur poids, une concentration, une intensité, etc.

15. Plan d’étude d’une fonctionMathSV : AnalyseEtude de fonctionsApplications à l’étude des fonctions • Tableau de variation Limites • Asymptotes • Graphe • Df • Symétrie • Points particuliers • Sens de variation

16. Espérance de vie à la naissance Un indicateur fondé uniquement sur les données de la mortalité : le nombre moyen d'années que peut espérer vivre une personne (dans les conditions de mortalité de la période considérée). Nous allons modéliser l’augmentation de l’espérance de vie à la naissance entre 1981 et 2000 (des hommes et des femmes). Quel modèle  (quelle fonction) ?

17. Espérance de vie = f (temps) t= année E=espérance a et b dépendent du sexe

18. A. Domaine de définition Définitions : • Df = Domaine de définitionEnsemble de départ (ensemble des antécédents) = l’ensemble des x • f(Df ) = Ensemble d’arrivée (ou ensemble des images) = l’ensemble des y f

19. -x x y (0,0) x B. Symétrie : paire ou impaire ? Définitions : On dit que f est paire si f(-x)=f(x) symétrie / axe y exemple f(x)=x2 On dit que f est impaire si f(-x)=-f(x) symétrie / (0,0) exemple f(x)=ax

20. C. Points particuliers x = 0 alors f(x) = ? f(x) = 0 alors x = ?

21. D. Sens de variation : dérivéeMathSV : formulaire Définition : La dérivée de f en x0 est la variation de f dans un voisinage infiniment petit de ce point   Limite Notation :

22. y f(x) x0 x D. Sens de variation : dérivée

23. y x0 f(x) T x Equation de la tangente au point x0

24. f(x)= x2 Dérivable en tout point f(x)=|x|Fonction continue mais non dérivable en 0

25. Continuité Définition : Une fonction est continue en un point x0 si la limite en ce point existe. Continue en (0,0) Pas continue en (0,0)

26. D. Sens de variation Propriétés : • f est constante sur [a,b] si la dérivée est nulle sur [a,b] • f est croissante sur [a,b] si la dérivée est positive sur [a,b] • f est décroissante sur [a,b] si la dérivée est négative sur [a,b] • fadmet un extremum en x si la dérivée s’annule en x

27. E. La dérivée seconde f”(x) Définitions : 1. f est convexe sur un intervalle si sa dérivée seconde est positive (le graphe de f est courbé vers le haut)

28. E. La dérivée seconde f”(x) Définitions : 2. f est concave sur un intervalle si sa dérivée seconde est négative

29. E. La dérivée seconde f”(x) Définitions : 3. f a un point d’inflexion si la dérivée seconde s’annule ET change de signe en ce point.

30. x 1 3 5 10 _ + f’(x) f(x) F. Le tableau de variation • Construire le tableau à partir du signe de la dérivée. • Compléter ce tableau en cherchant les limites de f aux bornes des intervalles, et lorsque x tend vers plus ou moins l’infini.

31. Calcul des limites Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.Cauchy, 1821

32. Formes indéterminées Calcul des limitesMathSV : formulaire

33. G. Asymptotes Si la courbe de f s’approche infiniment près d’une droite, celle-ci s’appelle une asymptote Asymptote verticale Asymptote oblique

34. Asymptotes • Si il y a une asymptote verticale passant par x = x0 • Si il y a une asymptote horizontale passant par y = l • Si il y a une asymptote oblique d’équation y = ax+b si

35. H. Graphe

36. Mesurer les magnitude d’un tremblement de terre A amplitude des oscillations,T période M = ln(A/T) Japon 1906 A/T=3641 M = ? Chili 1960 A/T=13360 M = ? Echelle de Richter

37. L’échelle logarithmique rapproche des valeurs qui sont de plus en plus éloignées 1000 A/T 7 500 100 M = ln(A/T) 6 10 5 4 3 1 2

38. Propriétés • ln (1) = 0 • ln (ab) = ln(a) +ln(b) donc ln (ap) = p ln(a) • ln (a/b) = ln(a) – ln(b) donc ln(1/b) = – ln(b) • Logarithme en base 10 : Log10(a) = ln(a)/ln(10) donc Log10(10n) = n

39. Etude de la fonction ln(x)logarithme népérien • Tableau de variation Limites • Asymptotes • Graphe • Df • Symétrie • Points particuliers • Sens de variation

40. Graphe logarithme népérien

41. Croissance d’une population de tourterelles Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne :1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964 On cherche un modèle de l’accroissement de la population de ces tourterelles compatible avec les données en GB. Hypothèse : le nombre de tourterelles est proportionnel au nombre d’endroits où l’espèce est recensée.

42. Données : modèle (fonction) ?

43. Propriétés • Notation : exp(x) = ex • exp(0) = 1 exp(1) = e • exp(a+b) = exp(a) exp(b) donc exp(ap) = exp(a)p • exp(a-b) = exp(a) / exp(b) donc exp(-b) = 1 / exp(b)

44. La fonction exp est la fonction réciproque de la fonction ln Définitions f admet une fonction réciproque s’il existe une fonction g telle que f o g = g o f = Identité avec Identité(x)=x où f o g est la fonction composée définie par f o g (x) = f ( g (x) )

45. “logarithme(exponentielle) = droite”

46. Etude de la fonction exp • Tableau de variation Limites • Asymptotes • Graphe • Df • Symétrie • Points particuliers • Sens de variation

47. Graphe

48. Autres fonctions usuelles

49. Fonctions trigonométriques

50. Variations de la dureté de l’eau en fonction du temps