Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Waktu Analisis Transien Rangkaian Orde-1

1. AnalisisRangkaianListrik di KawasanWaktu AnalisisTransienRangkaian Orde-1

2. Pengantar Peristiwatransiendalamrangkaianlistrik, yang walaupunberlangsung hanya beberapa saat namun jika tidak ditangani secara benar dapat menyebabkan terjadinya hal-hal yang sangat merugikan padarangkaian Dalampelajaraninianalisistransiendilakukan di kawasanwaktu

3. Pendahuluan

4. Yang dimaksud dengan analisis transien adalah analisis rangkaian yang sedang dalam keadaan peralihan atau keadaan transien. Peristiwa transien biasanya berlangsung hanya beberapa saat namun jika tidak ditangani secara baik dapat menyebabkan terjadinya hal-hal yang sangat merugikan padarangkaian Peristiwatransientimbulkarenapadasaatterjadiperubahankeadaanrangkaian, misalnyapenutupanataupembukaansaklar, rangkaian yang mengandungelemendinamikcenderungmemperatahankan status yang dimilikinyasebelumperubahanterjadi

5. Dalampembahasan model pirantipasifkitapelajaribahwategangankapasitoradalahpeubah status kapasitor; danarusinduktoradalahpeubah status induktor. Padasaat-saatterjadiperubahanrangkaian, kapasitorcenderungmempertahankantegangan yang dimilikinyasesaatsebelumterjadiperubahan Padasaat-saatterjadiperubahanrangkaian, induktorcenderungmempertahankanarus yang dimilikinyasesaatsebelumterjadiperubahan Peubah status tidakdapatberubahsecaramendadak

6. S R A + vs  + vC  C B R S A + vs  iL L B Kita ambilcontohrangkaianseriR danC Apabilasesaatsebelumsaklar S ditutupkapasitortidakbertegangan, makasetelahsaklarditutuptegangankapasitorakanmeningkatmulaidari nol. Tegangankapasitortidakdapatberubahsecaramendadak. Kita ambilcontoh lain, rangkaianseriR danL Sesaatsebelumsaklardibuka, aruspadainduktoradalahiL =vs/R. Padawaktusaklardibuka, arusinduktorakanturunmenujunoldalamwaktutertentukarenaarusinduktortidakdapatberubahsecaramendadak. Sebelummencapainolarusinduktormengalirmelaluidioda.

7. Karena hubungan antara arus dan tegangan pada induktor maupun kapasitor merupakan hubungan linier diferensial, maka persamaan rangkaian yang mengandung elemen-elemen ini juga merupakan persamaan diferensial Persamaan diferensial ini dapat berupa persamaan diferensial orde pertama dan rangkaian yang demikian ini disebut rangkaian atau sistem orde pertama Jika persamaan rangkaian berbentuk persamaan diferensial orde kedua maka rangkaian ini disebut rangkaian atau sistem orde kedua

8. Contoh Rangkaian Orde Pertama RangkaianOrdeKe-dua

9. +  S R A iC + v  + vin  i vs C B Rangkaian Orde Pertamabiasanyamengandunghanyasatuelemendinamik, induktorataukapasitor Rangkaian RC Seri HTK setelahsaklartertutup: Inilahpersamaanrangkaian yang merupakanpersamaandiferensialordepertamadengantegangansebagaipeubahrangkaian

10. S R A +  iL L vs i B Rangkaian RL Seri HTK setelahsaklartertutup: Inilahpersamaanrangkaian yang merupakanpersamaandiferensialordepertamadenganarussebagaipeubahrangkaian

11. L S + v  R + vin  i +  vs C Rangkaian Orde Ke-duabiasanyamengandungduaelemendinamik, induktordankapasitor Rangkaian RLC Seri Karena i = iC= C dv/dt, maka: Inilahpersamaanrangkaian yang merupakanpersamaandiferensialordeke-duadengantegangansebagaipeubahrangkaian

12. is A iR iC + v  iL = i L C R B Rangkaian RLC Paralel v =vL=L di/dt, sehinggaiR= v/RdaniC= C dv/dt Inilahpersamaanrangkaian yang merupakanpersamaandiferensialordeke-duadenganarussebagaipeubahrangkaian

13. AnalisisTransien RangkaianOrdePertama

14. BentukUmum Persamaan Rangkaian Orde-1

15. BentukUmumPersamaan Rangkaian Orde Pertama Fungsi x(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak. y adalahfungsikeluaran tetapanadan bditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian Persamaan diferensial seperti di atasmempunyaisolusi yang disebut solusi total yang merupakan jumlah dari solusi homogen dan solusi khusus

16. Solusihomogenadalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen di manax(t)bernilainol: Misalkansolusipersamaaniniy0 Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaanaslinya di manax(t) tidakbernilainol Misalkansolusipersamaaniniyp Solusi totaladalahjumlahdarikeduasolusi. Jadiytotal= (y0+yp)

17. Tanggapan Alami Tanggapan Paksa Tanggapan Lengkap

18. +  S R A iL L vs i B Dalamrangkaianlistrik, fungsipemaksax(t)adalahbesaran yang masukkerangkaiandanmemaksarangkaianuntukmenanggapinya; besaraninibiasanyadatangdarisumber. Dalamrangkaianinix(t) = vs Dalamrangkaianlistriksolusihomogenadalahtanggapanrangkaianapabilax(t) = vs = 0dantanggapaninidisebuttanggapanalami Dalamrangkaianlistriksolusikhususadalahtanggapanrangkaianapabilax(t) = vs 0dantanggapaninidisebuttanggapanpaksa Dalamrangkaianlistriksolusi total disebuttanggapanlengkap yang merupakanjumlahdaritanggapanalamidantanggapanpaksa

19. Tanggapan Alami Tanggapanalamiadalahsolusikhususdaripersamaanhomogen : atau Dalamkuliahinikitaakanmencarisolusipersamaanhomogeninidengancarapendugaan Persamaan homogenini memperlihatkanbahwa yditambah dengan suatu tetapan kali turunany, sama dengan nol untuk semua nilai t Hal ini hanya mungkin terjadi jika ydan turunannyaberbentuk sama; fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itu sendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dapat menduga bahwa solusi dari persamaanhomogeninimempunyai bentuk eksponensial y = K1est

20. Jika solusi dugaan ini kita masukkan ke persamaannya, kita peroleh atau Salah satusolusiadalah y = 0, namuninibukanlahsolusi yang kitacari Inilah yang harusbernilai 0 sedangkanK1adalahtetapan yang  0 Inidisebut persamaankarakteristik. Persamaaniniakanmenentukanbentuktanggapanrangkaian. Akarpersamaaniniadalahs = (b/a) Jadi tanggapan alamiyang kita cari adalah Tetapaninimasihharuskitacari. Nilaitetapaninidiperolehdari tanggapanlengkappadawaktut = 0 Untukmencaritanggapanlengkapkitamencarilebihdulutanggapanpaksa, yp

21. Tanggapan Paksa Tanggapanpaksaadalahsolusidaripersamaan: Jikasolusipersamaaninikitasebutyp(t), makabentuk yp(t) haruslah sedemikian rupa sehingga jika yp(t) dimasukkan ke persamaanini maka ruas kiri dan ruas kanan persamaan akan berisi bentuk fungsi yang sama. Hal iniberartix(t), yp(t), dandyp(t)/dtharusberbentuksama Kita lihatbeberapakemungkinanbentukfungsipemaksa, x(t): 1. x(t) = 0. Jikafungsipemaksabernilainolmakahanyaakanadatanggapanalami; tanggapanpaksa = 0. 2. x(t) = K. Jikafungsipemaksabernilaitetapmakatanggapanpaksaypjugaharusmerupakantetapankarenahanyadengancaraitudyp/dtakanbernilainolsehinggaruaskanandankiridapatberisibentukfungsi yang sama. 3. x(t) = Aet.Jikafungsipemaksaberupafungsieksponensial, makatanggapanpaksaypharusjugaeksponensialkarenadengancaraituturunanypjugaakanberbentukeksponensial, danfungsi di ruaskiridankananpersamaanrangakaianakanberbentuksama.

22. x(t) = Asint.Jikafungsipemaksaberupafungsi sinus, makatanggapanpaksaakanberupapenjumlahanfungsifungsi sinus dancosinuskarenafungsi sinus merupakanpenjumlahandariduafungsieksponensialkompleks. Melihatidentitasini, makakitabisakembalikekasus 3; perbedaannya adalahkitamenghadapieksponensialkomplekssedangkan di kasus 3 kitamenghadapifungsieksponensialnyata. DalamhalinimakaSolusi yang kitacariakanberbentukjumlahfungsi sinus dancosinus. 5. x(t) = Acost. Kasusinihampirsamadengankasus 4, hanyaberbedapadaidentitasfungsicosinus

23. Ringkasanbentuktanggapanpaksa

24. Tanggapan Lengkap Dugaantanggapan lengkap adalah Inimasihdugaankarenatanggapanalamijugamasihdugaan tanggapan paksa Dugaantanggapan alami K1masihharusditentukanmelaluipenerapankondisiawalyaitukondisipadat = 0 Kondisi Awal Kondisiawaladalahsituasisesaatsetelahpenutupanrangkaian (jikasaklarditutup) atausesaatsetelahpembukaanrangkaian (jikasaklardibuka); Sesaatsebelumpenutupan/pembukaansaklardinyatakansebagait = 0- Sesaatsesudahpenutupan/pembukaansaklardinyatakansebagait = 0+. Padainduktor,aruspadat = 0+samadenganaruspadat = 0- Padakapasitor,teganganpadat = 0+samadenganteganganpadat = 0-

25. Jikakondisiawalkita masukkan pada dugaan solusi lengkapakan kita peroleh nilai K1 Dengandemikiantanggapanlengkapadalah Inimerupakankomponenmantapdaritanggapanlengkap; iamemberikannilaitertentupadatanggapanlengkappadat =  Inimerupakankomponentransiendaritanggapanlengkap; iabernilai 0 pada t = 

26. ProsedurMencariTanggapan LengkapRangkaian • Carilahnilaipeubah status padat = 0; inimerupakankondisiawal. • Carilahpersamaanrangkaianuntukt > 0. • Carilahpersamaankarakteristik. • Carilahdugaantanggapanalami. • Carilahdugaantanggapanpaksa. • Carilahdugaantanggapanlengkap. • Terapkankondisiawalpadadugaantanggapanlengkap yang akanmemberikanniali-nilaitetapan yang harusdicari. • Dengandiperolehnyanilaitetapan, didapatlahtanggapanrangkaian yang dicari

27. Contoh TanggapanRangkaian

28. S 1 2 R=10k +  + v  vs=12V C=0.1F Contoh: x(t) = 0 Saklar S telah lama pada posisi 1. Padat = 0 S dipindahkeposisi 2. Carilahtanggapanrangkaian. 1. Pada t = 0- kapasitortelahterisipenuhdanv(0+) = 12 V 2. Persamaanrangkaianuntukt > 0: Karena maka 3. Persamaan karakteristik:

29. 4. 5. 6. 7. 8.

30. S Contoh: x(t) = 0 A Saklar S telah lama tertutup. Padat = 0 saklar S dibuka. Carilahtanggapanrangkaian R 0 =1 k i +  vs = 50 V L= 0.6 H R =3 k Sebelumsaklardibuka: Persamaan rangkaian pada t > 0: Simpul A: Karena vA = vL= L di/dt, Persamaankarakteristik:

31. Persamaankarakteristik:

32. i S 2 1 + v  10k + - 12V 0,1F Contoh: x(t) = A Saklar S telah lama pada posisi 1. Padat = 0 saklardipindahkeposisi 2. Carilahtanggapanrangkaian. Padat = 0- kapasitortidakbermuatan; tegangankapasitorv(0-) = 0. v(0+) = 0 Persamaanrangkaianpadat > 0: Karena i = iC= C dv/dt Persamaankarakteristik:

33. 12 v [V] 12-12e1000t t 0 0 0.002 0.004

34. A iC + v  15 vs=50cos10t u(t) V vs 10 1/30 F v(0+) = 0 +  Contoh: x(t) = Acost Rangkaian di sampinginimendapatmasukantegangan sinusoidal yang munculpadat = 0. Kondisiawaldinyatakanbernilainol: Persamaan rangkaian untuk t> 0: Simpul A: iC = C dv/dt Persamaankarakteristik:

35. Persamaankarakteristik:

36. KonstantaWaktu

37. S 1 2 +  + v  vs iR R C Lama waktu yang diperlukanolehsuatuperistiwatransienuntukmencapaiakhirperistiwa (kondisimantap) ditentukanolehkonstantawaktu yang dimilikiolehrangkaian. TinjauanpadaContohsebelumnya SetelahsaklarS padaposisi 2, persamaanraqngkaianadalah: Fungsi karakteristik: Dugaan tanggapan alami: Tanggapanalamiini yang akanmenentukankomponentransienpadatanggapanlengkap

38. Tanggapan alami: Tanggapan alami dapat dituliskan: dengan: Tanggapanlengkapmenjadi: Tanggapanpaksa disebutkonstantawaktu. Iaditentukanolehbesarnyaelemenrangkaian. Iamenentukanseberapacepattransienmenujuakhir. Makin besarkonstantawaktu, makinlambattanggapanrangkaianmencapainilaiakhirnya (nilaimantapnya), yaitunilaikomponenmantap, vp

39. A + R 0 + i +  vs L R   S TinjauanpadaContohsebelumnya Padat = 0 saklar S dibuka Persamaan rangkaian setelah saklar dibuka adalah: Persamaankarakteristik: Tanggapan alami: Tanggapanalamiinijugaakanmenentukankomponentransienpadatanggapanlengkapsepertihalnyatinjauanpada Contoh-2.1

40. Tanggapan alami: Tanggapan alami dapat dituliskan: dengan: Tanggapan lengkap: Tanggapanpaksa disebutkonstantawaktu. Iaditentukanolehbesarnyaelemenrangkaian. Iamenentukanseberapacepattransienmenujuakhir. Makin besarkonstantawaktu, makinlambattransienmencapainilaiakhirnyayaitunilaikomponenmantap, ip.

41. S 2 1 + - TinjauanpadaContohsebelumnya i + v  R Pada t = 0, S dipindahkan ke posisi 2. vs C Persamaanrangkaiansetelahsaklarpadaposisi 2: Karena i = iC= C dv/dt Persamaan karakteristik: Tanggapanalami: Tanggapan lengkap:

42. A iC + v  R1 vs=Acost u(t) R2 C +  TinjauanpadaContohsebelumnya Simpul A: iC = C dv/dt Persamaan karakteristik: Tanggapanalami: Tanggapan lengkap:

43. L R R C R1 R2 C Dari tinjauan contoh-1 s/d 4, denganmenggambarkanrangkaianuntukmelihattanggapanalamisaja, kitabuatringkasanberikut: Konstantawaktuditentukanolehbesarelemen-elemenrangkaian UntukrangkaianR-C : = RC UntukrangkaianR-L :  = L/R

44. Konstantawaktuditentukanolehbesarelemen-elemenrangkaian UntukrangkaianR-C : = RC UntukrangkaianR-L :  = L/R Konstantawaktujugaditentukanolehberapabesarenergi yang semulatersimpandalamrangkaian (yang harusdikeluarkan) Makin besarCdanmakinbesarL, simpananenergidalamrangkaianakanmakinbesarkarena OlehkarenaitukonstantawaktuberbandinglurusdenganCatauL Penguranganenergiberlangsungdenganmengalirnyaarusi dengandesipasidayasebesari2R. DalamkasusrangkaianR-C, di manav adalahpeubah status, makinbesarR akanmakinbesarkarenaarusuntukdesipasimakinkecil. DalamkasusrangkaianR-L di manapeubah status adalahimakinbesarRakanmakinkecilkarenadesipasidayai2Rmakinbesar

45. TanggapanMasukanNol dan Tanggapan Status Nol

46. Peristiwatransiendapat pula dilihatsebagaigabungandari tanggapanmasukannoldantanggapan status nol TanggapanMasukanNoladalahtanggapanrangkaianjikatidakadamasukan. Peristiwainitelahkitakenalsebagaitanggapanalami Tanggapan Status Noladalahtanggapanrangkaianjikaadamasukanmasukanpadarangkaiansedangkanrangkaiantidakmemilikisimpananenergiawal (simpananenergisebelumterjadinyaperubahanrangkaian). Pengertiantentangtanggapan status nolinimunculkarenasesungguhnyatanggapanrangkaian yang mengandungelemendinamikterhadapadanyamasukanmerupakanperistiwatransienwalaupunrangkaiantidakmemilikisimpananenergiawal

47. L + vC  R R C iL masing-masingmenunjukkanadanyasimpananenergienergiawaldalamrangkaian di kapasitor sebesar ½CvC2 di induktor sebesar ½LiL2 TanggapanMasukanNol Bentuk tanggapan rangkaiantanpafungsipemaksasecara umum adalah tanggapan masukan nol vC(0+)atauiL(0+) peubah status, vCdaniL, tidakdapatberubahsecaramendadak Pelepasanenergi di kapasitordaninduktorterjadisepanjangperistiwatransien, yang ditunjukkanolehperubahantegangankapasitordanarusinduktor

48. Tanggapan Status Nol Jika sebelumperistiwatransientidakadasimpananenergidalamrangkaian, maka tanggapan rangkaian kita sebut tanggapan status nol. Bentuk tanggapan ini secara umum adalah Tanggapan status nol Bagianinimerupakanreaksielemendinamik (kapasitorataupuninduktor) dalammencobamempertahankan status rangkaian. Olehkarenaituiabertandanegatif. Status final t =  yf(0+) adalahnilaitanggapanpadat = 0+ yang samabesardenganyfsehinggapadat = 0+tanggapan status nolys0 = 0.

49. i S 2 1 + v  10k + - 12V 0,1F Kita ambilcontohRangkaianR-C PadarangkaianR-C,kapasitorakanmencobabertahanpada status yang dimilikisebelumpemindahansaklar, yaituv = 0. Padasaat final (saatakhirtransien) tegangankapasitoradalahv = vs = 12 V Tanggapan status nol adalah Untuk rangkaian R-C :  = RC

50. Dengandemikian tanggapanlengkap rangkaian dapat dipandang sebgai terdiri dari tanggapan status nol dan tanggapan masukan nol Konstantawaktuditentukanolehelemenrangkaian