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Superficies. INGENIERÍA INDUSTRIAL OCTUBRE 2010. Tema. Cilindros, superficies cuadráticas y superficies de revolución. Objetivo: Identificar y graficar superficies cilíndricas, cuadráticas y de revolución. Clasificación de las superficies en el espacio:. Esfera Plano

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Presentation Transcript
superficies

Superficies

INGENIERÍA INDUSTRIAL

OCTUBRE 2010

slide2
Tema

Cilindros, superficies cuadráticas y superficies de revolución.

Objetivo:

Identificar y graficar superficies cilíndricas, cuadráticas y de revolución.

clasificaci n de las superficies en el espacio
Clasificación de las superficies en el espacio:
  • Esfera
  • Plano
  • Superficies cilíndricas o cilindros
  • Superficies cuadráticas
  • Superficies de Revolución
esfera
Esfera

Una esfera con centro en (x0, y0, z0) y radio r se define como el conjunto de puntos (x,y,z) cuya distancia a (x0, y0, z0) es r.

La ecuación canónica de una esfera es:

(x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = r2.

plano
Plano

Un plano que contiene el punto P(x1, y1, z1) es el conjunto de todos los puntos Q(x, y, z) para los que el vector PQ es perpendicular a un vector

n = (a, b, c)

La ecuación de un plano en el espacio es:

a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0 (forma canónica)

a x + by + cz + d = 0 (ecuación general)

superficies cil ndricas cilindros
Superficies Cilíndricas(Cilindros)

El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro.

Si la generatriz es perpendicular al plano que contiene la directriz, se dice que es un cilindro recto.

Cilindro Circular Recto x2 + y2 = 4

cilindros cont
Cilindros (cont.)

La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

superficies cuadr ticas
Superficies cuadráticas

Su ecuación es de la forma:

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz+

+ Gx + Hy + Iz + J = 0

Existen 6 tipos:

  • Elipsoide
  • Hiperboloide de una hoja
  • Hiperboloide de dos hojas
  • Cono elíptico
  • Paraboloide elíptico
  • Paraboloide hiperbólico
elipsoide
Elipsoide

Trazas

xy: Elipse

xz: Elipse

yz: Elipse

hiperboloide de una hoja
Hiperboloidede una hoja

Trazas

xy: Elipse

xz: Hipérbola

yz: Hipérbola

hiperboloide de dos hojas
Hiperboloidede dos hojas

Trazas

xy: Hipérbola

xz: Hipérbola

yz: (x=0) No existe

(|x|>0) Elipse

cono el ptico
Cono Elíptico

Trazas

xy: (z=0) Punto

(|z|>0) Elipse

xz: (y=0) Rectas

(|y|>0) Hipérbola

yz: (x=0) Rectas

(|x|>0) Hipérbola

paraboloide el ptico
ParaboloideElíptico

Trazas

xy: (z=0) Punto

(z>0) Elipse

xz: Parábola

yz: Parábola

paraboloide hiperb lico
ParaboloideHiperbólico

Trazas

xy: (z=0) Recta

(|z|>0) Hipérbola

xz: Parábola

yz: Parábola

superficies de revoluci n
Superficies de Revolución

Si la gráfica de una función con radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie resultante tiene una de las siguientes formas:

1. En torno al eje x: y2 + z2 = [r(x)]2

2. En torno al eje y: x2 + z2 = [r(y)]2

3. En torno al eje z: x2 + y2 = [r(z)]2

ejemplo de superficies de revoluci n
Al girar la gráfica de la función f(x) = x2+1 en torno al eje x

se genera la gráfica de la función

Ejemplo de Superficies de Revolución

y2 + z2 = (x2 + 1)2.

radio

slide18

Conos:

z

x

x2

y2

z2

x2

y2

z2

x2

y2

z2

+

+

= 0,

+

+

= 0,

+

+

= 0

a2

b2

y

c2

a2

c2

b2

b2

c2

a2

El cono es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfascen una relación de la forma

Cono Elíptico

slide19

Paraboloide Eliptico

x2y2x2 z2 y2 z2

+ = c2z , + = b2y , + = a2x

z

a2b2a2c2b2c2

x

y

El Paraboloide elíptico es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma.

slide20

( x – h)2( y – k)2

+ =c2 ( z – j )

a2b2

La ecuación general del Paraboloide elíptico en el espaciotiene la forma:

Si a = b , se tiene un paraboloide de revolución, que se obtiene haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

slide21

x2y2x2 z2 y2 z2

z

- = c2z , - = b2y , - = a2x

a2b2a2c2b2c2

y

x

Paraboloide Hiperbólico

El Paraboloide Hiperbólico es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma.

slide22

( x – h)2( y – k)2

- =c2 ( z – j )

a2b2

La ecuación general del Paraboloide Hiperbólico en el espacio tiene la forma

slide23

x2y2z2x2 y2 z2 x2 y2 z2

z

+ - = 1, - + = 1, - + + = 1

a2b2c2a2b2c2a2b2c2

y

x

Hiperboloide de una Hoja

El Hiperboloide de una Hoja es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma

slide24

( x – h)2( y – k)2 ( z – j ) 2

( x – h)2( y – k)2 ( z – j ) 2

+ - = 1

- + = 1

a2b2c2

a2b2c2

La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es

Si a = b se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

slide25

z

( x – h)2( y – k)2 ( z – j ) 2

- - = 1

y

a2b2c2

x

Hiperboloide de dos Hojas

La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es

Si b = c se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

slide26

x2y2z2x2 y2 z2 x2 y2 z2

- - = 1, - + - = 1, - - + = 1

a2b2c2a2b2c2a2b2c2

El Hiperboloide de dos Hojas es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma