Zeitreihenanalyse WS 2004/2005

1. Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Michael Hauhs / Gunnar Lischeid • Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften • Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen • Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum • Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse • Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis • Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden • Skalierung, (Multi-)Fraktale • Komplexität und Information von Zeitreihen • Wavelets

2. Zeitreihenmodellierung Mögliche Ziele und Arten: • exogene vs. endogene Modellierung (selbsterklärende Zeitreihenmodellierung) • linear vs. nichtlinear • stationär vs. nichtstationär; schwache Stationarität • deterministisch vs. stochastisch • chaotisch vs. regulär Reaktion auf Störungen • stabil vs. instabil Gleichgewichtszustand? Intermittenz?

3. Exogene vs. endogene Modellierung Exogen: die abhängigen Variablen werden „von aussen“ gesteuert Endogen: die Zeitreihe wird aus ihrer eigenen Geschichte modelliert

4. Woldsches Theorem Zerlegungstheorem (stationäre Variante): Jede stationäre Zeitreihe kann als Summe einer deterministischen und einer unkorrelierten stochastischen Komponente geschrieben werden: Zerlegungstheorem (instationäre Variante): Jede linear instationäre Zeitreihe kann als Summe von vier Termen geschrieben werden: L – linearer Trend P – periodischer Trend (Wold 1938)

5. mit Operatorpolynom Lineare Relationen und Filter Endogene Modellierung: Vergleich von beobachteten Werten mit Modellierungsversuchen und/oder früheren Beobachtungen. Dazu filtert man die Werte. Definition: Rückwärtsschiebeoperator Def.: Allgemeiner linearer Filter:

6. Beispiele für Filter

7. Autoregressive Modelle Idee: Der aktuelle Wert einer Zeitreihe ist durch die Werte in der Vergangenheit deterministisch bestimmt. Dazu kommt ein jeweils unvorhersehbares Rauschen (Innovation) Autoregressives Modell p-ter Ordnung AR(p)-Modell

8. Bedingungen an AR(p)-Modelle d.h. das Rauschen ist unabhängig identisch verteilt (i.i.d.). Häufigste Wahl: Gaußsches Rauschen Deterministischer Anteil:

9. soll möglichst wenig erklären! Einsetzen der AR(p)-Formel, Ableiten nach Autokovarianz: Autokorrelation: Bestimmung der Koeffizienten Der deterministische Anteil soll maximal viel erklären.

10. Lineares Gleichungssystem für die PACF Partielle Autokorrelationsfunktion Allgemeines Regressionsproblem: Interpretation: PACF verschwindet für größere Lags Abweichung zwischen ACF und PACF deutet auf ungenügendes Modell (z.B. k zu klein)

11. Yule-Walker Gleichung Einsetzen der Minimalbedingung: (Yule und Walker 1927) Matrixinversion:

12. ACF des AR(1)-Prozesses: Exponentieller Abfall! Explizites Beispiel I: AR(1) In der Hydrologie auch: Thomas-Fiering-Modell • erhält erstes und zweites Moment • geeignet für kurzfristige („operationelle“) Vorhersage • Generierung synthetischer Abflussganglinien

13. Explizites Beispiel II: AR(2) Bestimmungsstücke: Daraus folgt (Übungsaufgabe!)

14. Vergleich ACF - PACF Optimale AR(20)-Modellierung für Lehstenbach

15. Defizite der AR-Modellierung Kurzzeitbereich: • Glättung der Extrema, Verpassen von Spitzen • Verzögerung von Wendepunkten Langzeitbereich: • exponentieller Abfall der ACF • keine Instationaritäten

16. MA(q)-Modelle Auch Rauschen kann Gedächtnis haben! Moving-Average-Modell Koeffizientenbestimmung wieder aus ACF: Lösung i.d.R. numerisch (nichtlinears Gl.-Sys.)

17. MA(1): MA(2): MA(1) und MA(2) explizit ACF von MA(q) verschwindet exakt für k > q

18. Aufgabe • Führen Sie eine Fourieranalyse des Niederschlags-Temperatur-Abfluss-Datensatzes durch. • Rekonstruieren Sie die Zeitreihen; führen Sie dabei eine Bandpassfilterung durch, indem Sie nur die vorherrschenden Frequenzen berücksichtigen. • Erstellen Sie das Powerspektrum der Niederschlags-, Temperatur- und Abflussdaten, und bestimmen Sie die Steigung βder Regressionsgeraden im doppelt-logarithmischen Plot. • Suchen Sie Modelle AR(p) mit 0<p<5 und AM(q) mit 0<q<5 für den Niederschlags-Temperatur-Abfluss-Datensatz (saisonal und nicht saisonale Varianten). • Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen aus der Fourieranalyse.

19. Anwendungsbereich der MA(q)-Modelle • Test der Autokorrelation: ist nach einem endlichen (kleinen) Lag die ACF nicht mehr signifikant von Null verschieden? • Fehlen Trends und Periodizitäten? • Dann ist eine MA(q)-Modellierung vielversprechend • In den Geowissenschaften: im Wesentlichen keine Anwendung reiner MA(q)-Modelle

20. ARMA(p,q)-Modelle Kombination beider Modelltypen: Auto Regressive Moving Average Modell der Ordnungen p und q Operatorschreibweise:

21. Koeffizienten des ARMA(p,q)-Modells In aller Regel wird das folgende Gleichungssystem numerisch gelöst: Explizit: ARMA(1,1)

22. Prinzipielle Anforderungen an ARMA(p,q)-Modelle • Kausalität: hängt „glatt“ von Vorgängern ab, wächst nicht über alle Grenzen • Invertierbarkeit: aus den modellierten Werten soll man das Rauschenzurückrechnen können • Stationarität

23. kompakt: Zusammenfassung: ARMA-Modelle AR(p)-Modell MA(q)-Modell ARMA(p,q)-Modell

24. Satz: Haben die beiden Polynome keine gemeinsamen Nullstellen und liegen alle Nullstellen von außerhalb des Einheitskreises: Kausalität bei ARMA(p,q)-Modellen Def.: Charakteristische Polynome des B -Operators dann ist der ARMA(p,q)-Prozess kausal.

25. ) (d.h. Motivation zur Kausalität: AR(1)-Modell mit formaler Umkehrung: Divergenz für Widerspruch zu Kausalität, Stationarität (aus endlichen Ursachen entwickeln sich unbegrenzte Wirkungen)

26. Ein kausaler ARMA(p,q)-Prozess ist äquivalent zu einem Prozess Kausalität, ARMA und MA Satz: Liegt ein kausaler ARMA(p,q)-Prozess vor, kann man auch äquivalent schreiben Dabei erhält man die Koeffizienten durch Auswertung von und es gilt

27. Satz: Haben die beiden Polynome keine gemeinsamen Nullstellen und liegen alle Nullstellen von außerhalb des Einheitskreises: Invertierbarkeit von ARMA(p,q)-Modellen dann ist der ARMA(p,q)-Prozess invertierbar.

28. ) (d.h. Motivation zur Invertierbarkeit: MA(1)-Modell mit formaler Umkehrung: Divergenz für Widerspruch zu Invertierbarkeit, Stationarität (aus der Zeitreihe kann nicht auf das Rauschen geschlossen werden)

29. Ein invertierbarer ARMA(p,q)-Prozess ist äquivalent zu einem Prozess Invertierbarkeit, ARMA und AR Satz: Liegt ein invertierbarer ARMA(p,q)-Prozess vor, kann man auch äquivalent schreiben Dabei erhält man die Koeffizienten durch Auswertung von und es gilt

30. Stationaritätstests für ARMA(p,q)-Modelle aus zwei Kriterien Stationarität von ARMA(p,q)-Modellen Satz: Ist ein ARMA(p,q)-Prozess kausal und invertierbar, dann ist er stationär. Achtung: Wenn das ARMA-Modell einer Zeitreihe stationär ist, muss es die Zeitreihe selber nicht sein!

31. kompakt: Zusammenfassung: ARMA-Modelle AR(p)-Modell MA(q)-Modell ARMA(p,q)-Modell