Apprendre des mathématiques avec les TICE, le cas des fonctions au lycée

1. Apprendre des mathématiques avec les TICE, le cas des fonctions au lycée Jean-baptiste Lagrange, Xavier Meyrier

2. ObjectifsFaire le point sur: • les activités pour les élèves sur les fonctions au lycée • l'apport des TICE dans ces activités • Plan • Typologie d’activités sur les fonctions et apports des TICE • Illustration avec Casyopée • Effets de ces activités sur le long terme (classes de Première et Terminale).

3. Les fonctions Un rôle essentiel au lycée Dans la consolidation de l’algèbre Approche “multi-registres” (exemple: équations f(x)=g(x)) Calcul algébrique: accent mis sur le sens de la transformation Dans la préparation à l’analyse Faire apparaître la dérivation comme réponse à des problèmes Outils de modélisation résolution par les élèves de problèmes issus de domaines variés des co-variations aux dépendances et aux fonctions mathématiques

4. Les fonctions Un champ pour des activités variés Avec et sans TICE Mise en fonctionnement des connaissances par les élèves Technique le plus souvent Mobilisable parfois Disponible rarement (Cazes, Vandebrouck 2006) Exercice: ABC un triangle rectangle en A, AB=90 cm, AC augmente à vitesse constante de 19cm/s. Au moment où AC=20cm, quelle est la vitesse de changement de BC en cm/s ?

5. Une typologie d’activités

6. Trois niveaux différents dans lesquels se représenter des dépendances Une typologie d’activitésHorizontalement : L’épaisseur d’un cheveu (ressourcesfonctions) Représentations d’un mouvement numérisé à l’aide d’un capteur relié à une calculatrice. (Arzarello & Robutti 2004) • Système Physique • Grandeurs et mesures • Fonctions Mathematiques

7. Trois niveaux différents dans lesquels se représenter des co-variations ou des dépendances Une typologie d’activitésHorizontalement : Un niveau intermédiaire • Construire des variables pour quantifier des observations, • Distinguer des dépendances fonctionnelles parmi des co-variations • Comprendre les lois sous-jacentes • S’approprier des systèmes de notation • Système Physique • Grandeurs et mesures • Fonctions Mathématiques

8. Une typologie d’activitésVerticalement : Deux grands types de représentations Enactives-iconiques (en acte et en image) « Bouger » des objets dans un système physique Travailler sur des graphiques ou des tables représentatifs de grandeurs issues de système physique « Explorer » les courbes représentatives et les tables de fonctions mathematiques Algébriques (en symboles) Symbolisme (signes et règles) de l’algèbre Trois catégories d’activités (Kieran 2004) générationelles transformationelles global / meta

9. Activités en algèbre • Les activités générationnelles concernent la production de formules ou d’expressions qui pourront être traités algébriquement • Les activités transformationnelles concernent le traitement des expressions: regroupement de termes, factorisation, développement, substitution • Les activités global / meta concernent la résolution de problèmes, la modélisation, la reconnaissance de structure ou de variations, la preuve, la généralisation…

10. Articuler les activités

11. Articuler les activités

12. Articuler les activités

13. CASYOPEE Un environnement logiciel conçu pour: permettre une variété d’activités sur les fonctions aider à leur articulation Le module symbolique fonctions, expressions, équations exploration graphique et numérique paramètres formels et pilotés transformations d’expression propriétés et justifications Le module de Géométrie Dynamique création et animation d’objets géométriques importation d’objets symboliques exportation de fonctions ou d’expressions géométriques Ergonomie adaptée pour la classe tout littéral représente un objet défini, affichage dynamique des objets algébriques, notations proches de la syntaxe habituelle, pas de langage de commande

14. ABC un triangle (angles en A et B aigus). Parmi les rectangles MNOP avec M et P sur [AB] ; N sur [AC] ; O sur [BC], en existe-t-il un d’aire maximale Un problème d’optimisation

15. Un problème d’optimisation: activités

16. Présentation du Projet Remath • Projet européen sur l’usage des technologies dans l’enseignement des Mathématiques (2006-2009). • Objectifs: Etudier les potentialités offertes par les TICE pour la représentation d’objets mathématiques. • 8 équipes, 4 pays: France (2), Grèce (3), Italie (2), Angleterre (1). • 6 logiciels : Casyopée, Aplusix, Alnuset, MoPiX, Cruislet et MaLT • Un site web multilingue dédié aux utilisateurs (http://remath.cti.gr)

17. Progression Remath/Didirem • 3 séances autour des fonctions associées • 2 séances « fonctions et géométrie » amenant à la résolution d’équations • 1 séance « fonctions et géométrie » : maximisation de l’aire d’un rectangle inscrit dans un triangle • Deux idées centrales • la genèse instrumentale des élèves • la médiation sémiotique

18. € € L’ approche instrumentale Un artefact • Distinction outil, artefact, instrument • L’instrument combine des connaissances • sur l’artefact • sur le domaine • Il est construit au cours d’un processus (la genèse instrumentale) • Genèse spontanée • Genèse organisée par l’enseignant • Réorganisation de l’activité (avec et sans l’artefact) Un sujet ses potentialités ses connaissances ses contraintes La genèse instrumentale Les schèmes d'utilisation Un instrument

19. La Médiation Sémiotique L’utilisation d’artefacts pour accomplir une tâche conduit l’individu à générer des signifiés personnels qui sont liés à l'utilisation de cet artéfact. D’autre part, les signifiés mathématiques peuvent être mis en rapport avec l’artefact et son utilisation . Dans le contexte de la classe, sous la direction de l’enseignant, les signifiés personnels peuvent émerger et évoluer vers des signifiés mathématiques. L’ exploitation de ces potentialités est utilisée par l’enseignant comme instrument de médiationsémiotique. Potentiel Sémiotique

20. Observations • 2 Classes de Première S. • Des séances classe entière avec TBI : • vidéos des séances. • Des séances en salle ordinateurs : • observations de binômes • captures d’écran du travail sur ordinateur • traces écrites.

21. Bilan des observations • Des démarches d’exploration et de recherches de conjectures encore limitées. • Des difficultés à réaliser certaines tâches : construction des figures dynamiques, modélisation fonctionnelle. • Faible utilisation des outils algébriques disponibles dans Casyopée pour le calcul de la valeur optimale. • Un rapport entre connaissances mathématiques et connaissances sur le logiciel encore limité. • Instrumentation de Casyopée encore peu développée.

22. Questions posées à l’issue de la recherche ReMath • Quelle genèse instrumentale l’utilisation régulière de Casyopée sur un temps plus long en classe favorise-t-elle ? • Au cours de la genèse, quelles fonctionnalités de l’environnement permettent de relier les différents types d’activités (notamment dans les domaines géométrie-mesure et algébriques) ? • A l’issue de cette genèse : • les élèves mobilisent-ils les différents registres de représentation ? • organisent-ils souplement les phases d’exploration, de conjecture et de preuve dans la résolution de problèmes ?

23. Travail de thèse de TranKiem Minh Méthodologie : • Suivi d’une des classes en Terminale. • Observations plus fines d’un binôme «représentatif» des conclusions Remath • Genèse instrumentale limitée • Difficultés à rendre « disponibles » leurs connaissances mathématiques • Démarche exploratoire peu développée.

24. Expérimentations • Premier questionnaire. • 3 séances. • Questionnaire de bilan. • Un « entretien bilan » en fin d’année avec le binôme. • Entretien filmé avec l’enseignant.

25. Observation d’élèves en 1S et TS Problème posé en 1S Problème posé en TS Existe-il une position du point M telle que l’aire du triangle IMN soit maximale? • Existe-il une position du point M telle que l’aire du rectangle MNPQ soit maximale?

26. Evolution de la complexité des tâches Problème posé en TS • Explorations numériques et conjectures plus complexes. • Modélisation fonctionnelle : la fonction exportée est un polynôme de troisième degré. • Preuve algébrique : utilisation de la dérivée. • La généralisation amène à distinguer des cas suivant les valeurs du paramètre.

27. Comparaison des observations Construction de la figure Tâche qui demeure difficile et qui demande de mobiliser des connaissances mathématiques. Observation 1ère S • Elle prend beaucoup de temps. • Les rétroactions les aident à reconnaître des erreurs mais pas à les corriger. • Adaptation lente aux interventions de l’observateur.

28. Comparaison des observations Construction de la figure Observation en TS • Encore des erreurs de même nature. • Ils ont pu les corriger grâce aux rétroactions du logiciel et à leur expérience. • Pas d’intervention de l’observateur.

29. Comparaison des observations Explorations numériques et conjectures Observation en 1S Observation en TS Beaucoup d’explorations numériques. Conjecture sur la position exacte du point M. Conjecture sur les variations de l’aire. Utilisation du vocabulaire adapté aux fonctions: croissante, décroissante  …. • Difficulté instrumentale. • Peu d’explorations numériques. • Conjecture sur la position du point N et non du point M. • Pas de conjecture sur les variations de l’aire mais observation ponctuelle de la valeur de l’aire égale à 12,5. • Pas de référence aux fonctions dans les échanges entre élèves.

30. Comparaison des observations Modélisation fonctionnelle de la dépendance L’action de modélisation est gérée par les boutons et Observation en 1S Observation en TS Choisissent spontanément une variable appropriée. Exportent la fonction sans intervention de l’observateur. • Difficultés à réaliser ces actions. • N’ont pas d’idée sur le processus de modélisation. • Choisissent des variables peu appropriées (MN, NP, MQ).

31. Comparaison des observations Preuve algébrique Observation en 1S Observation en TS Ils proposent une démarche correcte : étude du signe de la dérivée……. Ils sont à l’aise avec les fonctionnalités transformationnelles (« développer/factoriser ») Ils utilisent de nouvelles fonctionnalités : « dérivée », « Justifier /signe » en cohérence avec la démarche. Ils font un lien encore faible entre la géométrie dynamique et le tracé graphique. • Réussie faiblement : Ils reconnaissent une parabole dans la fenêtre graphique mais ne mobilisent pas leur connaissance mathématique sur l’extremum. • Impossibilité de travailler avec les paramètres.

32. Interaction entre connaissances mathématiques et connaissances sur le logiciel Bilan des observations

33. Apports des TICE à l’enseignement des mathématiques • Les élèves mobilisent-ils les différents registres de représentation ? • Organisent-ils souplement les phases d’exploration, de conjecture et de preuve dans la résolution de problèmes ?

34. Travail sur les fonctions mathématiques avec Casyopée Etude d’une famille de fonctions à l’aide de Casyopée foncExpo1_CreeFonction.avi foncExpo2_Explore.avi foncExpo3_Calculs.avi foncExpo4_SuiteEtude.avi

35. Etude d’une famille de fonctions à l’aide de Casyopée • Explorations et conjectures amenant une étude de cas. • Preuve algébrique obligeant à étudier le signe de la dérivée seconde et discuter le signe de la dérivée suivant les valeurs de k. • Aller-retour conjecture preuve nécessaire pour la réalisation complète de l’étude. • Problème donné sous forme ouverte • Travail avec Casyopée initié en classe en salle ordinateurs • représentation graphique dynamique, • Recours au calcul formel • justification de signes initiée éventuellement dans l’environnement. • Compte-rendu individuel sous forme de devoir maison. http://espaceeducatif.ac-rennes.fr/jahia/Jahia/lang/fr/pid/16553

38. Pour conclure, l’entretien de fin d’année Elise-Charlotte Video EliseCharlotte Merci !