slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
12. GRAF PowerPoint Presentation
Download Presentation
12. GRAF

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 123

12. GRAF - PowerPoint PPT Presentation


  • 144 Views
  • Uploaded on

12. GRAF. 12.1 DEFINISI. Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E); ditulis G = (V, E). V = himpunan tak kosong verteks , node, atau simpul E = himpunan edge atau sisi Dari definisi dapat disimpulkan bahwa sebuah graf harus mempunyai simpul , setidak-tidaknya

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

12. GRAF


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    Presentation Transcript
    1. 12. GRAF

    2. 12.1 DEFINISI Graf didefinisikansebagaipasangan himpunan (V, E); ditulis G = (V, E). V = himpunantakkosongverteks, node, atausimpul E = himpunan edge atausisi Dari definisidapatdisimpulkanbahwasebuah grafharusmempunyaisimpul, setidak-tidaknya satusimpul, tapibisatidakmempunyaisisi Graf yang hanyaterdiridarisatusimpuldantidakmempunyaisisidisebutgraftrivial

    3. Detroit Chicago Gambar 12.1 Graf San Francisco New York Denver Washington  Los Angeles Gambar 12.2 Graf Trivial

    4. Simpulpadagrafdapatdiberinamasesuaidengan namaobjek yang diamatiataumenggunakansimbol tertentu, misalnyahurufatauangka. Sedangkansisi yang menghubungkansimpul u dan v dapatdinyatakandenganpasangan (u, v) ataudapatdinyatakandengane1 , e2 , … Jikaeadalahsisi yang menghubungkansimpul udanv, makaedapatditulissebagaie = (u, v)

    5. 1  e1 e2 e5 2 3 1 e8 e4 e3 e2  e1 e3 1 4 e5 2 3 e1 e2 e6 e3 2 e4 e7 e5 (a) (b) (c) 3 e6 4 e4 e7 Gambar 12.3 Penamaansisigraf 4

    6. Padagambar 12.3 (b) dan (c), sisi-sisi e2dan e3serta e6dan e7adalahsisiganda, karenamasing-masing pasangansisitersebutmenghubungkansimpul yang sama. Sedangkansisi e8padagambar 12.3 (c) disebutgelang ataukalang (loop) karenaberawaldanberakhirpada simpul yang sama. Jumlahsimpulpadasebuahgrafdisebutkardinalitasgraf dinyatakandengan n = |V|. Jumlahsisisebuahgrafdinyatakandengan m = |E| Gambar 12.3a mempunyai n = |V| = 4, dan m = |E| = 7

    7. 12.2 JENIS-JENIS GRAF Graf sederhana (simple graph) adalahgraf yang tidakmempunyaisisigandaataugelang Graf tak-sederhana (unsimple graph) terdiri dari: - Graf ganda (multigraph), yaitugraf yang mengandungsisiganda. - Graf semu (peudograph), yaitugraf yang mengandunggelang.

    8. 1  e1 e2 e5 2 3 1 e8 e4 e3 e2  e1 e3 Gambar 12.4 Graf ganda (multigraph) 1 4 e5 2 3 e1 e2 e6 e3 2 e4 e7 e5 3 e6 4 e4 e7 Gambar 12.3 Graf sederhana (simple graph) Gambar 12.5 Graf semu (pseudograph) 4

    9. 12.3 BERDASARKAN ORIENTASI ARAH: Graf tak-berarah (undirected graph) adalah graf yang tidakmempunyaiorientasiarah. Urutanpasangansimpul yang dihubungkan olehsisitidakdiperhatikan. Jadi (u, v) = (v, u) Graf berarah (directed graph atau digraph) adalahgrafsetiapsisinyamempunyaiorientasiarah. Sisipadagrafberarahseringdisebutbusur. Padagrafberarah (u, v) dan (v, u) menyatakan duabuahbusur yang berbedaatau (u, v)  (v, u). Padabusur (u, v), simpulu menyatakansimpul asal (initial vertex), sedangvmenyatakansimpul terminal (terminal vertex)

    10. C. Graf ganda-berarah (directed multigraph) Perbedaannyaantaragrafberarahgrafgandaberarahadalah: - Padagrafberarah, gelangdiperbolehkanada sedangkansisigandatidakdiperbolehkan. - Padagrafgandaberarahgelangdansisiganda diperbolehkan.

    11. Jenisgrafdansisinya

    12. 12.4 Contohterapangraf - Pengujian program 1. read (x); 2. while x <> 999 do begin 3. if x < 0 then 4. writeln (‘masukantidakbolehnegatif’) else 5. x := x + 10; 6. read (x); end; 7. writeln (x); 4 1 3 2   7 5 6 Gambar 12.6 Pengujian Program

    13. - Vending Machine 10 10 P 5 P a 5 5 5  P 10 b c d 10 P Gambar 12.7 Vending Machine

    14. 12.4 Istilah- istilahpada Graf Bertetangga (Adjacent) Simpul u dan v padagraftakberarah dikatakanbertetanggajikakeduasimpultsb. terhubungolehsebuahsisi (u, v) atausisi e. Jika (u, v) adalahsisipadagrafberarah, maka u dikatakanbertetanggadengan v. Sedangkan v dikatakantetangga u. Ingat ! Sisipadagrafberarahdisebutjugabusur

    15. Simpul 1 dan 2, 1 dan 3, 2 dan 3, 2 dan 4, 3 dan 4 adalahsimpul-simpul yang bertetangga. Sedangkansimpul 1 dan 4 adalah simpul yang tidakbertetangga 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3  Gambar 12.8 4 Simpul-simpul yang bertetangga: 1 bertetanggadengan 2 dan 4. Berarti 2 dan 4 tetangga 1 2 bertetanggadengan 3 Berarti 3 tetangga 2 4 bertetanggadengan 3 berarti 3 tetangga 4 3 1   ▼ ▼ ▼ ▼   4 2 Gambar 12.9

    16. 2. Bersisian (Incident) Padagraftak-berarah, jika e = (u, v), maka e disebutbersisiandengansimpul u dan v. Sisi e jugadisebutsisiygmenghubungkan u dan v. Simpul u dan v disebuttitikujung (endpoints), sedangkanpadagrafberarah, u disebutsimpul asal (initial vertex) dansimpul v disebutsimpul terminal (terminal vertex) 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3  4 e1bersisiandengan simpul 1 dan 2 e2bersisiandengan simpul 1 dan 3 Gambar 12.10

    17. 3. Simpulterpencil (Isolated vertex) Adalahsimpul yang tidakbertetanggadengansimpullainnya, atausimpul yang tidakmempunyaitetangga. dapatjugadikatakanbahwasimpulterpenciadalahsimpul yang tidakmemunyaisisi yang bersisiandengansimpultersebut. 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3  4 5  Padagambar 12.11, Simpul 5 adalah Simpulterpencil Gambar 12.11

    18. 4. Graf kosong (Null graf) Adalahgraf yang tidakmempunyaisisidan ditulisNn . Indeks n menunjukkanjumlahsimpul 1  2  Gambar 12.12   4 3 Gambar 12.12 adalahgrafkosong N4

    19. 4. Derajad (Degree) Derajadsuatusimpulpadagraftak-berarahadalahjumlahsisiygbersisiandengansimpultsb. Derajadsimpul v ditulis d(v) 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3 d(1) = 2 d(2) = 3 d(3) = 3 d(4) = 4 Ingat! Setiapsisigelang memberikontribusiderajadsebesar 2 padasimpul yang bersangkutan  4 e6 Gambar 12.12

    20. Derajadsimpulpadagrafberarahdinyatakandengan din(v) dandout(v). din (v) = derajad-masuk (in-degree) dout (v) = derajad-keluar (out-degree) d(v) = din (v) + dout (v) din (v) = dout (v) = |e| ▼ 3 1   din(1) = 0 dout(1) = 3 din(2) = 2 dout(2) = 2 din(3) = 3 dout(3) = 0 din(4) = 2 dout(4) = 2 ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼   4 2 Gambar 12.13

    21. 5. TeoremaJabatTangan (Handshaking Theorem) Jumlahderajadsemuasimpuldalamsebuahgrafselalugenap, yaitudua kali jumlahsisi, atau  d(v) = 2 |e| 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3  4 Jumlahderejadseluruh simpuldapagambardi sampingadalah, d(1)+d(2)+d(3)+d(4) = 2 x e 2 + 3 + 3 + 2 = 2(5) = 10 Gambar 12.14

    22. Contoh 12.1 Diketahuigrafdengan 7 buahsimpul. Dapatkahkita menggambargraftersebutjikaderajadmasing-masingsimpuladalah: a) 3, 2, 4, 5, 1, 2, 2 b) 3, 4, 1, 2, 4, 3, 1 Penyelesaian Jumlahderajadpada a) adalahganjil (19). Jadigrafiknyatidakada. Jumlahderajadpada b) adalahgenap (18). Jadigrafiknyaadadanbisadigambar. 1 2 3 6 5 7 4

    23. 6. Untuksembaranggraf G, jumlahsimpul yang mempunyaiderajadganjilselalugenap. 7. Lintasan (Path) Lintasanpadagraf G yang dimulaipadasimpulawal v0kesimpultujuanvnmempunyaipanjang n yang membentukbarisanberselang-seling, yaitusimpulawal, sisi, simpul, sisi, simpul, … , simpulakhir. atau v0, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn

    24. Lintasansederhana Sebuahlintasandikatakansederhanajikasisipadagraf G dilaluisebanyak-banyaknyasatu kali. Lintasantertutup Lintasan yang dimulaidanberakhirpadasimpul yang sama. Lintasanterbuka Lintasan yang dimulaidanberakhirpadasimpul yang berbeda. Panjanglintasan Adalahjumlahsisidalamlintasan.

    25. Contoh 12.2 4 1 Lintasan 1–2–3–4 adalahlintasan sederhanadanterbuka Lintasan 1–2–3–4 –1 adalahlintasan sederhana, dantertutup Lintasan 1–2–4–2–3 adalahlintasan tak-sederhana, danterbuka     3 2

    26. 8. Sirkuit Adalahlintasan yang berawaldanberakhirpadasimpul yang sama (lintasantertutup) Sirkuitsederhana Jikasetiapsisi yang dilaluiberbeda. 4 1   Contoh 12.3   3 2 Lintasan 1–2–4–1 adalah sirkuitsederhana Lintasan 1–2–3–4–2–1 adalah bukansirkuitsederhana karenasisi (2,1) dilalui dua kali

    27. 9. Terhubung (Connected) Graf tak-berarah G disebutgrafterhubung (connected graph) jikauntuksetiappasangsimpul u dan v terdapatlintasandari u ke v (berartijugasebaliknya). Graf berikutadalahgraftak-berarah yang tidakterhubung 1  e1 e2 e5 2 3 e4 e3  4 5 e6 6

    28. Simpulterhubungkuat (strongly connected vertex) Simpul u dan v padasuatugrafberarahdisebut terhubungkuatjikaterdapatlintasandari u ke v, danjugasebaliknya. Simpulterhubunglemah (weakly connected vertex) Simpul u dan v padagrafberarah G disebut terhubunglemahjikaterdapatlintasandari u ke v, tapitidakterdapatlintasandari v ke u.

    29. Graf terhubungkuat (strongly connected graph) Graf berarah G disebutterhubungkuatjikauntuksetiappasangsimpul vidanvjterhubungkuat. Jikatidak, makagrafdisebutterhubunglemah (weakly connected graph). 1 Graf (a) terhubungkuat karenasetiappasang simpulnyaterhubungkuat. Graf (b) terhubunglemah, karenaadasebagian pasangsimpulterhubung lemah.  1 2 5 2 5 3 4 (b) (a) Gambar 12.15 3 4

    30. 10. Upagraf (Subgraph) danKomplemenUpagraf Misal G = (V, E) adalahsebuahgraf, maka G1 = (V1, E1) adalahupagrafdari G, jika V1 V dan E1 E. Komplemendariupagraf G1terhadapgraf G adalahgraf G2 = (V2, E2) sedemikian, sehingga E2 = E – E1dan E2bersisian (incident) dengan himpunansimpul V2.

    31. 2 1 1 3 3 6 4 5 5 (a) (b) (c) Sebuah upagrafdari G1 Komplemendariupagraf yang bersesuaian Graf G1 2 1 Gambar 12.16 UpagrafdanKomplemenUpagraf 3 6 4 5

    32. Upagrafmerentang (Spanning Subgraph) Upagraf G1 = (V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan Upagrafmerentangjika V1 = V, atau G1mengandungsemuasimpuldari G. 1 1 1 3 2 2 3 2 3 (c) Bukanupagraf merentangdari G 5 4 5 4 (a) (b) Graf G Upagraf merentangdari G

    33. 12. Cut-set Cut-setdarigrafterhubung G adalahhimpunan sisi, yang biladibuangdari G menyebabkan G tak- terhubung. Nama lain daricut-setadalahbridge. Ingat!Di dalamcut-settidakbolehmengandunghimpunanbagian yang jugacut-set. Contoh 12.4 PerhatikanGambar 12.17. Jikasisi (1,2) dibuangdari G, grafmasihterhubung. Jikasisi-sisi (1,2) dan (1,5) dibuang, G masihtetapterhubung. Jikadibuangsisi-sisi (1,2), (1,5), (3,5), dan (3,4), makagraf G menjaditak-terhubunglagi. Karenaitusisi-sisi (1,2), (1,5), (3,5), dan (3,4) disebutcut-set.

    34. 2 1 2 1         6 5 6 5     4 3 4 3 Gambar 12.17 Cut-set {(1,2), (1,5), (3,5), (3,4)}

    35. Cut-setlainnya 2 1 2 1         6 5 6 5     4 3 4 3 Gambar 12.18 Cut-set {(1,2), (2,5)}

    36. Cut-setlainnya 2 1 2 1         6 5 6 5     4 3 4 3 Gambar 12.18 Cut-set {(1,3), (1,5), (1,2)}

    37. Cut-setlainnya 2 1 2 1         6 5 6 5     4 3 4 3 Gambar 12.18 Cut-set {(2,6}

    38. BukanCut-set. 2 1 2 1         6 5 6 5     4 3 4 3 Gambar 12.18 Cut-set {(1,2), (2,5), (4,5)}

    39. 13. Graf berbobot (Weighted graph) Graf berbobotadalahgraf yang setiapsisinyamempunyaibobotatauharga 8 10 1 12 11 9 15 2 3 14 5 4 Gambar 12.19 Graf berbobot

    40. 14. Graf SederhanaKhusus Graf lengkap (Complete graph) Graf lengkapadalahgrafsederhana yang setiap simpulnyamempunyaisisikesimpullainnya. Graf lengkap yang mempunyai n buahsimpuldilambangkandengan Kn. SetiapsimpulpadaKnmempunyaiderajad n – 1

    41. K1 K2 K3 K4 K5 K6 Gambar 12.20 Graf lengkapKn 1  n  6

    42. B. Graf lingkaran Graf lingkaranadalahgrafsederhana yang setiapsimpulnyaberderajad 2. Graf lingkarandengan n simpuldilambangkandenganCn. Jikasimpul-simpulpadaCnadalah v1, v2 , … , vn, makasisi-sisinyaadalah (v1, v2), (v2, v3), …, (vn-1, vn), dan (vn, v1). Graf lingkaranadalahgrafsederhana yang setiapsimpulnyamempunyaisisikesimpullainnya.

    43.                  Gambar 12.21 Graf lingkaranCn 3  n  6

    44. C. Graf Teratur (Regular Graph) Graf teraturadalahgraf yang mempunyaiderajad yang samapadasetiapsimpulnya. Jikaderajadsetiapsimpuladalahr, makagraftersebutadalahgrafteraturderajadr.                    Gambar 12.22 Graf teratur

    45. Perludiketahuibahwa: Graf lengkapKnadalahgrafteraturderajad n – 1. Graf lingkaranCnadalahgrafteraturderajad 2. Jumlahsisi (e) padagrafteratur = nr/2 Contoh 12.5 Berapajumlahmaksimumdan minimum simpul padagrafsederhana yang mempunyai 12 buahsisidansetiapsimpulberderajadsama? Penyelesian e = nr/2 = 12  n = 2e/r = 2(12)/r = 24/r

    46. Syaratumumgraf : n = bilanganbulatdan n – 1  r Syaratgrafsederhana : r  2 r = 2  n = 24/2 = 12 r = 3  n = 24/3 = 8 r = 4  n = 24/4 = 6 r = 5  n = 24/5 = 4,8 (tidakmungkin; n tidakbulat) r = 6  n = 24/6 = 4 (tidakmungkinkarena n – 1  r) r = 7  n = 24/7 = 3,47 (tidakmungkin; n tidakbulat) r = 8  n = 24/8 = 3 (tidakmungkinkarena n – 1  r)

    47. D. Graf Bipartit (Bipartite Graph) Jikahimpunansimpul V padagraf G dapatdikelompokkanmenjadiduahimpuan V1dan V2 sedemikian, sehinggasetiapsisididalamgraf G menghubungkansebuahsimpulpada V1kesebuah simpuldi V2 , makagraf G disebutgrafbipartit. Jadisetiapsimpulpada V1tidakbertetangga. begitujugasimpulpada V2.      Gambar 12.23 Graf bipartit G(V1, V2

    48. Contoh 12.6 Tunjukkanbahwagrafberikutadalahgrafbipartit a b d        g c e f b a c g f d e

    49. Padagrafbipartit, apabilasetiapsimpuldi V1bertetanggadengansemuasimpuldi V2, makagraf G (V1, V2) disebutgrafbipartitlengkap. Jikajumlahsimpulpada V1 = m dan V2 = n, makagrafbipartitlengkapdilambangdenganKm,n Gambar 12.24 Graf bipartitlengkap K2,3 K3,3 K2,4

    50. 15. Representasi Graf Untuktujuanpemrosesandidalamkomputer, perlu mempertimbangkanuntukmenyajikangrafdalamcara, yaitu: MatriksKetetanggaan (Adjancency Matrix) Matriksketetanggaanadalahmatrikspersegi. Jikamatriks yang mewakilirepresentasigrafadalah A = [aij], makaaij = 1 jikasimpulidan j bertetangga. Jikatidakmakaaij = 0.