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  1. Fundamentos Matemáticos • Semana 13 – clase 1 y 2 • Medidas de tendencia central

  2. Parámetros y estadísticos • Parámetro:Es una cantidad numérica calculada sobre una población - La altura media de los individuos de un país - La idea es resumir toda la información que hay en la población en unos pocos números (parámetros). • Estadístico:Es una cantidad numérica calculada sobre la muestra. • La altura media de los que estamos en este aula. • Somos una muestra (¿representativa?) de la población. • Si un estadístico se usa para aproximar un parámetro también se le suele llamar estimador. • Normalmente nos interesa conocer un parámetro, pero por la dificultad que conlleva estudiar a *TODA* la población, calculamos un estimador sobre una muestra y “confiamos” en que sean próximos. Más adelante veremos como elegir muestras para que el error sea “confiablemente” pequeño.

  3. Un brevísimo resumen sobre estadísticos • Centralización • Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. • Media, mediana y moda • Posición • Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. • Cuantiles, percentiles, cuartiles, deciles,... • Dispersión • Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. • Desviación típica, coeficiente de variación, rango, varianza • Forma • Asimetría • Apuntamiento o curtosis

  4. Medidas de tendencia central Una medida de tendencia central localiza el centro de un conjunto de datos e indica la tendencia a que las observaciones individuales se desvían de dicho centro Principales medidas de tendencia central • La media aritmética • Mediana • Moda • Media ponderada

  5. Centralización En este caso son medidas que buscan posiciones (valores) con respecto a los cuales los datos muestran tendencia a agruparse. • MediaEs la media aritmética (promedio) de los valores de una variable. Suma de los valores dividido por el tamaño muestral. • Media de 2,2,3,7 es (2+2+3+7)/4=3,5 • Conveniente cuando los datos se concentran simétricamente con respecto a ese valor. Muy sensible a valores extremos. • Centro de gravedad de los datos • MedianaEs un valor que divide a las observaciones en dos grupos con el mismo número de individuos (percentil 50). Si el número de datos es par, se elige la media de los dos datos centrales. • Mediana de 1,2,4,5,6,6,8 es 5 • Mediana de 1,2,4,5,6,6,8,9 es (5+6)/2=5,5 • Es conveniente cuando los datos son asimétricos. No es sensible a valores extremos. • Mediana de 1,2,4,5,6,6,800 es 5. ¡La media es 117,7! • Moda Es el/los valor/es donde la distribución de frecuencia alcanza un máximo.

  6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS MEDIA ARITMÉTICA • Para unapoblación

  7. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS MEDIA ARITMÉTICA • Para una muestra

  8. Ejemplo • Un estudiante obtuvo en 5 prácticas calificadas del ciclo anterior las siguientes notas: 15, 14, 17, 11, 13. Calcule e interprete la nota media de este estudiante. • Solución: nota promedio = 14

  9. Ejemplo La media aritmética se ve afectada por valores extremos Las notas de dos estudiantes en el semestre anterior son

  10. La media ponderada • La media ponderada de un conjunto de observaciones: x1, x2, …, xn , ponderado por los pesos w1, w2, …, wn se calcula mediante:

  11. Ejemplo Una compañía vende cuatro tipos de vallas a los propietarios de locales. La instalación de la valla del tipo A le cuesta a la compañía 20 nuevos soles por metro lineal, la tipo B le cuesta 12 nuevos soles por metro lineal, la tipo C le cuesta 8 nuevos soles por metro lineal y la tipo D le cuesta 6,5 nuevos soles por metro lineal. Ayer la compañía instaló 100 metros de A, 150 metros de B, 75 metros de C y 200 metros de D. ¿cuál fue el costo medio del metro de valla instalado ayer?

  12. 50% de observaciones son mayores que la me 50 % son menores o iguales a me me La mediana • La mediana es una medida de tendencia que separa a las observaciones ordenadas en forma ascendente o descendente en dos grupos de igual tamaño. • Se denota por mey Me para una muestra y para una población respectivamente

  13. n impar n par Calculo de la mediana • Ordene los datos (en forma creciente o decreciente) • Ubique el valor central de las observaciones, si el número de observaciones es impar, la mediana es la observación que ocupa el valor central; si el número de observaciones es par la mediana es la semisuma de los valores centrales, es decir

  14. Ejemplo • En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de 10 ancianos que pueden caminar sin dificultades. Los resultados fueron: 69   73   65   70   71   74   65   69   60   62 • Calcule e interprete la edad mediana Solución:   Mediana:     60    62    65    65    6969    70   71   73 74     X1    X2    X3    X4X5    X6   X7   X8   X9 X10 Interpretación:

  15. Moda • La moda para un conjunto de observaciones, es el valor o valores que se repiten con mayor frecuencia. • Según lo anterior, una muestra o una población, pueden tener una o más modas. Si una muestra o población tiene dos modas, se denominan bimodalesy si tienen tres o más modas se denominan multimodales • Se calcula para variables medidas en escala nominal, ordinal, intervalo o razón • Es el promedio menos importante por su ambigüedad • Se denota por mo ó Mo (muestral o poblacional)

  16. Cálculo de la moda • Ejemplo En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de 10 ancianos que pueden caminar sin dificultades. Los resultados fueron: 69   73   65   70   71   74   65   69   60   69 65 Determine la moda: Existe dos modas : 65 y 69

  17. Media para datos cuantitativos discretos: Medidas de tendencia central para datos agrupados Para una muestra Para una población

  18. Mediana y moda • La mediana se encuentra en la clase que contenga como valor 50% o más en la columna de la frecuencia acumulada porcentual. • La moda: se encuentra en la clase que tiene la mayor frecuencia absoluta

  19. Ejemplo • La distribución del número de programas de videos juegos vendidos diariamente por 50 tiendas de cierta galería limeña. Se muestra a continuación • Calcule e interprete la media mediana y la moda del número de programas de videojuegos vendidos diariamente

  20. Solución • Mediana: me = 3 • Moda: mo = 3

  21. Ejemplos de aplicación de las medidas de tendencia central

  22. Ejemplo 1 Durante los 12 meses del 2002, un departamento de policía registró 4,3,5,5,10,8,9,6,3,4,8 y 7 asaltos a mano armada. Obtenga interprete la media. • Ejemplo 2. • Si el salario anual medio pagado a los tres ejecutivos principales de una empresa es de $ 156 000, es posible que uno de ellos reciba $ 500 000?.

  23. Ejemplo 3 • Las edades de seis estudiantes que asistieron a una investigación de campo de geología son 18, 19,20,17,19 y 18 años y la edad del profesor que los acompañó es de 52 años. Obtenga la edad media de estas siete personas. • Como vemos en este ultimo ejemplo, un valor muy alto o muy bajo de uno de los datos puede afectar a la media por ellos algunas veces es preferible usar otra medida de tendencia central.

  24. Ejemplo 4 Sean los números 5, 5, 7, 12, 15, 9, 18, 11. Obtener la mediana. Solución: Ordenamos los datos de menor a mayor: 5 5 7 9 11 12 15 18 Me =

  25. Ejemplo 5. En el tercer hoyo de cierto campo de golf, nueve golfistas registraron las calificaciones: 4, 3, 4, 5, 4, 4, 3, 4 y 3. Obtenga la mediana Solución: Ordenamos los datos de mayor a menor 3 3 3 3 4 4 4 4 5Me = 4 Lo que se interpretaría como: El 50% de los golfistas registró calificaciones mayores a 4 ó El 50% de los golfistas registró calificaciones menores a 4 En este caso vemos que sería erróneo considerarla como Mediana porque ésta no excede ni es excedida por tantos valores. Nos conviene usar La Moda.

  26. Ejemplo 6 A las 15 juntas de un club deportivo asistieron 26, 25, 28, 23, 25, 24, 24, 21, 23, 26, 27, 26, 29, 30 y 24 de sus miembros. Obtenga la moda. • En este caso vemos que 26 y 24 asistencias son las que se dan con mayor frecuencia, por lo tanto tenemos dos Modas 24 y 26.

  27. Media para datos cuantitativos continuos: Para una muestra Para una población Medidas de tendencia central para datos agrupados

  28. Mediana • La medianase encuentra en la clase que contenga como valor 50% o más en la columna de la frecuencia acumulada porcentual.

  29. Moda • La moda se encuentra en la clase que tiene la mayor frecuencia absoluta

  30. Ejemplos de aplicación de las medidas de tendencia central en datos agrupados

  31. Ejemplo • Las inversiones anuales, en miles de dólares, de una muestra de 40 empresas fueron: • 31 17 27 20 10 34 25 28 4 24 15 39 18 30 26 12 46 41 18 23 36 19 29 37 27 27 24 33 26 31 25 28 33 28 23 31 29 22 35 21 Determine las medidas de tendencia central: media, mediana y moda. Interprete los resultados.

  32. Solución: • n = 40, • Xmax = 46, Xmin = 4, entonces: • Rango = R = 46 – 4 = 42. • 2.k = 1 + 3.3 log 40 = 6.28679, entonces: • k = 7. • 3.Amplitud = 42 / 7 = 6.

  33. Título:“Inversión anual de empresas” • Unidades:miles de dólares. • Frecuencias Frecuencias • Intervalo mi Conteo absolutas acumuladas • fi hi Fi Hi •  4, 10 7 / 1 0,025 1 0,025 • 10, 16 13 /// 3 0,075 4 0,100 • 16, 22 19 //// / 6 0,150 10 0,250 • 22, 28 25 //// //// // 12 0,300 22 0,550 • 28, 34 31 //// //// / 11 0,275 33 0,825 • 34, 40 37 //// 5 0,125 38 0,950 • 40, 46 43 // 2 0,050 40 1,000 • 40 1,000

  34. Frecuencias Frecuencias • Intervalo mi absolutas acumuladas • fi hi Fi Hi •  4, 10 7 1 0,025 1 0,025 • 10, 16 13 3 0,075 4 0,100 • 16, 22 19 6 0,150 10 0,250 • 22, 28 25 12 0,300 22 0,550 • 28, 34 31 11 0,275 33 0,825 • 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 • 40, 46 43 2 0,050 40 1,000 • 40 1,000 • Ejemplo:Título:“Inversión anual de empresas” • Unidades:miles de dólares.

  35. Frecuencias Frecuencias • Intervalo mi absolutas acumuladas • fi hi Fi Hi •  4, 10 7 1 0,025 1 0,025 • 10, 16 13 3 0,075 4 0,100 • 16, 22 19 6 0,150 10 0,250 • 22, 28 25 12 0,300 22 0,550 • 28, 34 31 11 0,275 33 0,825 • 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 • 40, 46 43 2 0,050 40 1,000 • 40 1,000 • Ejemplo:Título:“Inversión anual de empresas” • Unidades:miles de dólares. 1°Hallamos n:2=20 y buscamos en Fi que clase lo contiene. Li = 22 fmediana=12 F i-1 =10

  36. Frecuencias Frecuencias • Intervalo mi absolutas acumuladas • fi hi Fi Hi •  4, 10 7 1 0,025 1 0,025 • 10, 16 13 3 0,075 4 0,100 • 16, 22 19 6 0,150 10 0,250 • 22, 28 25 12 0,300 22 0,550 • 28, 34 31 11 0,275 33 0,825 • 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 • 40, 46 43 2 0,050 40 1,000 • 40 1,000 • Ejemplo:Título:“Inversión anual de empresas” • Unidades:miles de dólares. 1°Hallamos la clase modal Li = 22 d1=12-6=6 d2=12-11=1