对偶理论 (Duality Theory)

对偶理论 (Duality Theory) 对偶问题的提出线性规划的对偶理论对偶问题的经济解释----影子价格对偶单纯形法灵敏度分析

单件产 消耗品资源甲乙资源限制 A 5 2 170（钢材） B 2 3 100（煤炭） C 1 5 150（设备）单件利润 10 18 对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每一个线性规划（ LP）必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP都有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原问题”，记为“P”，另一个称为“对偶问题”，记为“D”。一、问题的提出例一、资源的合理利用问题已知资料如表所示，问应如何安排生产计划使得既能充分利用现有资源有使总利润最大？

下面从另一个角度来讨论这个问题： 假定：该厂的决策者不是考虑自己生产甲、乙两种产品，而是将厂里的现有资源用于接受外来加工任务，只收取加工费。试问该决策者应制定怎样的收费标准（合理的）？

分析问题： 1、每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可获利润； 2、定价又不能太高，要使对方能够接受。

一般而言，W 越大越好，但因需双方满意，故 为最好。该问题的数学模型为：

模型对比：

例二、合理配料问题，其数学模型为： 假设工厂想把这m种营养成分分别制成一种营养丸销售，问如何定价（以保证总收入为最多）？

例三、

二、线性规划的对偶理论（一）、对偶问题的形式二、线性规划的对偶理论（一）、对偶问题的形式 1、对称型对偶问题：已知P，写出 D。

例一、写出线性规划问题的对偶问题 解：首先将原式变形

注意：以后不强调等式右段项 b≥0，原因在对偶单纯型表中只保证而不保证，故 b可以是负数。

2、非对称型对偶问题

例二、原问题

2、混合型对偶问题

例三、 原问题

对偶问题

综上所述，其变换形式归纳如下：

例四、线性规划问题如下：

练习：

对偶的定义 min W= Y b s.t. YA ≥ C Y ≤ 0 max Z=C X s.t. AX≥b X ≥0 对偶的定义（二）、对偶问题的性质 1、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。 min Z’= - CX s.t. - AX≤- b X ≥0 max W’ = -Yb s.t. YA≥ C Y ≤ 0

2、弱对偶原理（弱对偶性）：设和 分别是问题（P）和（D）的可行解，则必有推论⑴.若和分别是问题（P）和（D）的可行解，则是（D）的目标函数最小值的一个下界；是（P）的目标函数最大值的一个上界。

如：（原）无界关于无界性有如下结论：原问题对偶问题（对）问题无界无可行解问题无界无可行解推论⑵.在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。无可行解

推论⑶.在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问题无界。推论⑶.在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问题无界。例一、（P）试估计它们目标函数的界，并验证弱对偶性原理。

由观察可知： =（1.1.1.1）T， =（1.1），分别是（P）和（D）的可行解。Z=10 ，W=40，故有，弱对偶定理成立。由推论⑴可知，W的最小值不能小于10，Z的最大值不能超过40。＜解：（D）

解： =（0.0.0）T是 P 的一个可行解，而 D 的第一个约束条件不能成立（因为y1 ,y2 ≥0)。因此，对偶问题不可行，由推论⑶可知，原问题无界。例二、已知试用对偶理论证明原问题无界。

例3、已知 显然，这两个问题都无可行解。

3、最优性判别定理： 若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D的可行解且 CX* = Y* b，则X*. Y*分别是问题 P和D的最优解。例如，在例1中，可找到 X*=（0.0.4.4）T， Y*=（1.2，0.2）,则Z* =28，W* =28.故X* .Y*分别是 P和D 的最优解。

4、对偶定理（强对偶性）： 若一对对偶问题 P 和 D都有可行解，则它们都有最优解，且目标函数的最优值必相等。推论⑷.若 P 和 D 的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数的最优值相等。综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一出现： ①.都有最优解，分别设为X* 和 Y*，则必有CX* =Y*b； ②. 一个问题无界，则另一个问题无可行解； ③.两个都无可行解。

5、互补松弛定理： 设X*和Y*分别是问题 P 和 D 的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是同时成立一般而言，我们把某一可行点（如X*和Y*）处的严格不等式约束（包括对变量的非负约束）称为松约束，而把严格等式约束称为紧约束。所以有如下推论：设一对对偶问题都有可行解，若原问题的某一约束是某个最优解的松约束，则它的对偶约束一定是其对偶问题最优解的紧约束。

例4、已知 试通过求对偶问题的最优解来求解原问题的最优解。解：对偶问题为

（4） (1 . 3) （1）（3）（2）用图解法求出： Y*=（1 . 3）， W=11。将y*1=1， y*2=3 代入对偶约束条件，（1）（2）（5）式为紧约束，（3）（4）为松约束。令原问题的最优解为X* = （x1.x2.x3.x4.x5）T，则根据互补松弛条件，必有x3 = x4 =0 （5）

又由于y*1＞0， y*2＞0，原问题的约束必为等式，即化简为此方程组为无穷多解令x5 =0,得到x1=1，x2=2 即X*1 =（1.2.0.0.0）T为原问题的一个最优解，Z=11。再令 x5 =2/3，得到x1=5/3，x2=0 即X*2（5/3.0.0.0.2/3）T 也是原问题的一个最优解，Z* =11。

例5、已知原问题的最优解为X* =（0.0.4）T，Z=12 试求对偶问题的最优解。解：（1）（2）（3）

将X* =（0 . 0 . 4）代入原问题中，有下式： 所以，根据互补松弛条件，必有y*1= y*2=0，代入对偶问题（3）式， y3 =3。因此，对偶问题的最优解为 Y*=（0 . 0 . 3），W=12。

C CB CN 0 CB XB b XB XN XS CB XB B-1b I B-1N B-1 Z －CB B-1b 0 CN－CB B-1N －CB B-1 利用原问题的最优单纯形表和改进单纯形表求解对偶问题的最优解。 6、对偶问题的解 ⑴.设原问题为： maxZ=CX AX ≤b X≥0 引入xs，构建初始基变量，然后，用单纯形法求解。当检验数满足σj≤0 ，则求得最优解。此时， xs对应的σjs为- Y*，故求对偶Y*，只要将最优单纯形表上xs 对应的检验数反号即可。

例一、

初始表最终表

由上表可知： X*=（50/7 . 200/7）T，Z* =4100/7 对偶问题的最优解： Y*=（0 . 32/7 . 6/7），W* =4100/7 也就是外加工时的收费标准。 ⑵.设原问题： maxZ=CX AX=b X≥0 此时，矩阵A中没有现成的矩阵I，必须通过加入人工变量来凑一个单位矩阵，再用大M法或两阶段法求解。如何求Y* ，经分析得出如下结论： σB =0 最优基变量检验数向量 σI =CI－CB B-1初始基变量检验数向量 σD = CD－CB B-1D 非基变量检验数向量所以， Y* = CI－ σI

例二、

所以， X*=（4 . 1 . 9），Z* = 2 初始基变量的检验数σ4 =－1/3，σ6 =1/3－M, σ7 =2/3－M ∴ y*1= (0－ σ4 )=1/3 y*2=(－M－ σ6 )= －M－(1/3－M)=－1/3 y*3 =(－M－ σ7 )= －M－(2/3－ M)=－2/3 Y*=（1/3 . －1/3 . －2/3） W* = 2

三、对偶问题的经济解释——影子价格 定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常数bi 增加一个单位时，所引起的目标函数最优值Z*的改变量y*i称为第 i 个约束条件的影子价格，又称为边际价格。

C CB CN 0 CB XB b XB XN XS CB XB B-1b I B-1N B-1 －Z －CB B-1b 0 CN－CB B-1N －CB B-1 设：B是问题 P的最优基，由前式可知， Z*=CB B-1b = Y*b =y*1b1+ y*2b2+…+y*Ibi+…+y*mbm 当bi变为bi+1 时（其余右端项不变，也不影响B），

目标函数最优值变为： Z′*= y*1b1+ y*2b2+…+y*I （ bi+1 ）+…+y*mbm ∴ △Z*= Z′*－ Z* = y*i 也可以写成：即y*i表示Z*对 bi的变化率。其经济意义是：在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 个约束条件的影子价格。也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数（但问题中所有其它数据都保持不变）。

若第i 种资源的单位市场价格为mi，当yi > mi时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为yi－mi，则有利可图；如果yi < mi，则企业有偿转让这种资源，，可获单位纯利mi－yi，否则，企业无利可图，甚至亏损。

x2 ( 50/7. 200/7 ) 10 2 0 3 0 4 0 50 3 x1 0 10 20 30 40 50 60 2 1

x2 ( 55/7. 199/7 ) 10 2 0 3 0 4 0 50 3 0 10 20 30 40 50 60 x1 2 1 多了 32/7

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