Chapter 5: 数字控制

Chapter 5: 数字控制 • Objectives • 数字控制系统的基本结构 • 离散系统动态分析－Z变换 • 混叠现象及采样问题 • 数字控制器的设计和性能评估 • 例子学完本章后，应该能够设计、分析并实现数字控制系统。

数字控制介绍 • 问题提出 • 前面研究的控制器大部分是用L变换或微分方程描述的，基于这样的系统，其实现均是以模拟电子电路为基础而构建； • 计算机的出现对控制系统的设计和实现提出了新的要求； • 基于数字控制所存在的混叠现象和平均延迟问题需要在数字控制中得到解决； • 模拟电路可以对信息进行积分和微分，而在使用数字控制来完成这样的任务时，则必须要用包含加法、减法和乘法的代数方程来近似微分方程

连续控制器 ＋ u(t) y(t) e(t) D(S) G(s) － y(t) 1 数字控制器 u(kt) ＋ DA和保持器 e(kt) 差分方程 G(s) － r(kt) y(t) 1 数字化问题 y(t)

两种基本结构的根本区别在于： 数字系统不处理连续信号，而是对受控对象的量测输出进行采样并对采样值进行处理，而且由D(s)提供的控制必须用代数递归方程产生。 A/D转换器作用 1：对物理信号（通常为电压信号进行采样，并将其转换成一个10至16位的二进制数； 2：实现从模拟y(t)到采样值y(kt)的转换每隔 T秒时间间隔重复一次，T位采样周期； 3：y(kt)为采样后的信号，为离散信号； D/A数模转换器作用 1：将离散信号u(kt)转换成为连续信号u(t)并保持下来； 2：将二进制数转换成为模拟电压值； 3：零阶保持(ZOH)将电压值保持一个采样周期；

采样速率 1：要求采样的速率取决于系统闭环带宽，一般来说，采样速率应为系统带宽的20倍以上；以确保数字控制器与连续控制器的性能匹配；保持延迟 1：对实现控制系统数字化影响最大的因素；P443，图8.2

离散系统的动态分析 Z变换是用来分析线性离散系统的数学工具；其价值及作用与L变换在连续系统分析所起的作用是相同的 Z变换其中：f(k)为f(t)的采样值 K=0,1,2,3,…对应离散采样时刻t0,t1,t2,t3…

给定系统的差分方程，利用上述关系，可以很容易地求出离散系统的传递函数。给定系统的差分方程，利用上述关系，可以很容易地求出离散系统的传递函数。例：一般二阶差分方程：重复利用Z变换，将转换为变量 y(k),u(k)的Z变换形式：其离散传递函数为：

终值定理 连续系统的终值定理离散系统的终值定理终值定理主要用来求系统的稳态误差或求控制系统各部分的稳态增益例：求系统的直流增益当0≤k时，令u(k)=1.有：利用终值定理，.有： DC=1 可见，为了求出任意稳定传递函数的 DC增益，仅需将z=1带入计算就可

S与Z关系 Z平面与s平面之间的等效性关系

e(kT) u(kT) u(t) u(t) e(t) e(t) D（s） D（z） ZOH T 数字控制器设计数字化过程并分析数字控制系统的性能三种方法： 1：仿真设计 2：离散设计 3：状态空间设计 1：仿真设计方法 1：利用连续系统设计方法设计控制器 2：连续控制器离散化 3：用离散分析、仿真或实验来验证该设计的可行性 STEP：问题的提出：

寻找一个最佳的D(z)来匹配图b中由D(s)所表示的连续系统寻找一个最佳的D(z)来匹配图b中由D(s)所表示的连续系统 D(z)仅是近似D(S)。因为 D(z)仅仅响应采样值e(kT),而D(s)响应e(t)的所有时间序列，因此，各种数字方法的区别仅仅是对采样点间的e(t)做了不同的假设。 Tustin方法一种数字方法就是把一个问题作为一种数值积分，假设：为一个积分式，Tustin法中每一步任务就是使用梯形积分法，即将两个采样点之间的e(t)用一条直线近似代替：

详细推导见P450. 结论：在获得D(s) 后，对任何一处s做如下的替换：例：用Tustin近似求如下系统的数字控制器采样速率为25倍的带宽，将其性能与连续系统的性能比较

求系统采样频率： 问题：此处如何求得系统带宽？？？采样周期为：对D(s)中的每处s做Tusin代换： Matlab实现： SysDs=tf(10*[0.5 1],[0.1 1]); SysDd=c2d(SysDs,0.025,’tustin’);

其差分方程为： 含义：给定控制信号的过去值，误差信息的现在值与前一时刻值e(k+1),e(k) 可以计算出现在的值u(k+1). Simulink性能仿真与比较

MPZ-匹配零极点法 原理：由描述s平面与z平面之间的关系推导：其实质就是将关系式应用到传递函数的零极点上。 Step: 1：更加关系式映射零极点； 2：若分子的阶数低于分母的阶数，就在分子中加入（z+1）的幂项；直到分子分母阶数相等； 3：令D(z)的直流增益与D(s)相等； MPZ 详细推导见:452

E U Y D(s) 1/s2 R 例子：空间站姿态数字控制器的仿真设计设计一个数字控制器，使其自然频率为0.3弧度/秒，阻尼比为0.7 根据连续系统的设计方法，可找出一个超前补偿器可满足指标要求：数字化D(s)需要先确定一个采样频率（20倍系统自然频率）采样周期：

计算机 被控对象 u(k) u(t) y(t) r(k) ZOH 采样器（T=1s）数模转换 y(k) MPZ数字化：差分方程：其中：

性能比较--仿真分析：

+ R(s) Y(s) D(z) ZOH G(s) - + D(z) G(z) R(z) Y(z) - 纯离散等效数字系统 2：离散设计原则：混合系统 1：被控对象纯数字离散化模型 2：控制器设计以数字化模型为设计基础 3：其设计方法有别于仿真系统设计方法

+ D(z) G(z) R(z) Y(z) Im(s) Z=a - Z=-1 Re(s) S=-a 纯离散等效数字系统分析方法：前串一个ZOH的被控对象，其离散传递函数为：对数字系统，其闭环传递函数为：可用根轨迹方法设计其控制器，但一定要注意：在Z平面里，其稳定范围是一个单位园而不是s平面内的虚轴；

连续系统中，控制器设计过程一般采用： 比例、微分或积分控制规律或它的组合形式，有时还带一个滞后环节离散系统中，控制器设计过程也可以采用这样思想离散数字控制设计方法就是对上面的这些基本反馈环节进行设计并对设计参数反复迭加，逐步逼近，直到所有性能指标都满足要求。

E U Y D(s) 1/s2 R 例：空间站数字控制器的直接离散设计用离散设计方法设计一个数字控制器，使该控制器满足：使其自然频率为0.3弧度/秒，阻尼比为0.7 Solution：前串一个零阶保持器ZOH 的受控对象，其离散模型为：当T=1s,

分析系统性能，控制律如下： 比例+微分环节其补偿式为：根据根轨迹方法，确定其控制器为：控制律为：

设计的离散分析 任何数字控制器均可以用离散分析法分析，其步骤： 1：求出受控对象和零阶保持器(ZOH)的离散模型G(z)； 2：构建包括D(z)的反馈系统； 3：对所得离散系统进行分析；例：分析上例联系控制系统和离散控制系统的性能 Matlab CC sysGs=tf(1,[1 0 0]); sysDs=tf(0.81*[1 0.2],[1 2]); sysGDs=series(sysGs,sysDs); sysCLs=feedback(SysGDs,1,1); Step(sysCls) Damp(sysCLs) Matlab CC T=1; sysGz=c2d(sysGs,T,’zoh’); sysDz=tf([0.389 -0.319], [1 -0.135]); sysDGz=series(sysGz,sysDz); sysCLs=feedback(SysGDz, 1); Step(sysClz,T) Damp(sysCLz, T) 连续系统离散系统

跃阶信息下的响应曲线

结论： 1：与连续系统性能比较，两种数字控制器的性能之间存在一定的差别； 2：但控制方程和性能的差别不是很大，这种相似性的产生是因为与系统自然频率相比，采用速度太快了； 3：若降低采用速度，则补偿中的数字值的差别越来越大，尤其对仿真设计方法的性能将严重恶化。 4：如果采用频率低于20倍固有频率，则应该采取离散设计；

混叠与采样 奈奎斯特-香农采样定理：要根据采样值把信号准确地重新构建，信号中必须不含有高于1/2采样速率（ ωs/2 ）的频率成分。即：能够用离散采样值明确表示的最高频率为奈奎斯特频率ωs/2。也就是说，当系统的采用频率低于被采用信号的中最高频率的两倍时，所得到的采用信号就存在失真。混叠对数字控制系统的影响很大；解决办法---模拟滤波器

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