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Lógica Proposicional

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Lógica Proposicional - PowerPoint PPT Presentation


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Lógica Proposicional. Lógica Proposicional. Até agora estudamos a Lógica de maneira informal. A Lógica formal é o estudo de formas de argumento , isto é, regras abstratas de raciocínio comum em vários argumentos.

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Presentation Transcript
l gica proposicional2
Lógica Proposicional
  • Até agora estudamos a Lógica de maneira informal.
  • A Lógica formal é o estudo de formas de argumento, isto é, regras abstratas de raciocínio comum em vários argumentos.
  • Iniciaremos nosso estudo formal com a Lógica Proposicional. Abordaremos a sintaxe e a semântica seguindo o seguinte roteiro de estudo:
l gica proposicional roteiro de estudo
Lógica Proposicional(Roteiro de Estudo)
  • Sintaxe: (Cap 3 - Livro do J. Nolt)
    • Linguagem da Lógica Proposicional
      • Formas de Argumento
      • Formalização
    • Regras de Inferência
      • Não-Hipotéticas
      • Hipotéticas
      • Derivadas
    • Sistema Formal
  • Semântica: (Cap 2 - Livro do Chang e Lee)
    • Semântica dos operadores e interpretação
    • Satisfatibilidade, validade e consequência lógica
    • Método de prova: Tabela Verdade
    • Formas Normais
formas de argumento exemplos
Formas de Argumento Exemplos:

1 . Hoje é segunda-feira ou sexta-feira.

. Hoje não é segunda-feira.

 Hoje é sexta-feira.

2 . Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou.

. Não foi Rembrandt quem a pintou.

Michelângelo pintou a Mona Lisa.

3 . Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável.

. Ele não é menor de 18 anos.

Ele é um irresponsável.

formas de argumento
Formas de Argumento
  • Os 3 argumentos são da seguinte forma:

. P ou Q

. Não é o caso que P

 Q

  • As letras P e Q representam sentenças declarativas: (símbolos sentenciais).

P pode representar: Hoje é segunda-feira.

Q pode representar: Hoje é terça-feira.

formas de argumento6
Formas de Argumento
  • Com essa representação, a forma anterior representa o argumento 1 do exemplo.
  • Os argumentos 1, 2 e 3 são variantes gramaticais ou instâncias da forma:

. P ou Q

. Não é o caso que P

 Q

  • Esta forma de argumento (ou regra) é conhecida como silogismo disjuntivo.
formas de argumento7
Formas de Argumento
  • A lógica trata de formas de argumentos consistindo de letras sentenciais combinadas com as expressões:
    • Não é o caso que
    • E
    • Ou
    • Se ... então
    • Se e somente se
  • Estas expressões são chamadas de operadores ou conectivos lógicos.
formas de argumento conectivo n o o caso que
Formas de Argumento Conectivo Não é o caso que
  • Essa expressão prefixa uma sentença para formar uma nova sentença a qual chamamos a negação da primeira.

Exemplo: A sentença

'Não é o caso que ele é fumante‘ é a negação da sentença

'Ele é fumante'.

  • Variações gramaticais da negação:

´Ele é não-fumante’,

´Ele não é fumante’ e

´Ele não fuma’.

formas de argumento conectivo e
Formas de Argumento Conectivo E
  • Uma composição constituindo-se de duas sentenças ligadas por 'e' chama-se conjunção.

Exemplo: Chove e faz calor

  • A conjunção também pode ser expressa por palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo', ...

”Chove mas faz calor”

formas de argumento conectivo ou
Formas de Argumento Conectivo Ou
  • Um enunciado composto consistindo de duas sentenças ligadas por 'ou' chama-se disjunção.

Exemplo: Chove ou faz calor

formas de argumento conectivo se ent o
Formas de Argumento Conectivo Se ... então
  • Enunciados do tipo se... então ... chamam-se condicionais.
  • O enunciado subsequente ao 'se' chama-se o antecedente e o subsequente ao 'então' chama-se o conseqüente.
  • Forma do condicional:

Se antecedente então consequente

Ex: ‘Se sinto frio então visto o casaco '.

formas de argumento conectivo se ent o12
Formas de Argumento Conectivo Se ... então
  • Se antecedente então consequente
    • O antecedente é condição suficiente para ocorrência do consequente
    • O consequente é condição necessária para ocorrência do antecedente
  • Exemplo:
    • Se é Juiz então é advogado
      • o fato de ser juiz é suficiente para ser advogado
      • para alguém ser juiz é necessário que seja advogado, mas não é o suficiente
formas de argumento conectivo se ent o13
Formas de Argumento Conectivo Se ... então
  • Exemplo: Que condições são necessárias para um aluno ser aprovado em lógica?
    • Se aluno foi aprovado então

assistiu aula,

é estudioso,

fez muitos exercícios de lógica

tem um bom método de estudo

formas de argumento conectivo se ent o14
Formas de Argumento Conectivo Se ... então
  • Exemplo: Que condições são necessárias para um aluno ser aprovado em lógica?
  • Se aluno foi aprovado então

assistiu aula,

é estudioso,

fez muitos exercícios de lógica

tem um bom método de estudo

formas de argumento conectivo se ent o15
Formas de Argumento Conectivo Se ... então
  • Exemplo:

‘O fogo é uma condição necessária para a fumaça´ ou

‘Se houver fumaça haverá fogo’

  • Exemplo:

‘Se chover então molha a rua´

    • é suficiente chover para você deduzir que a rua fica molhada
    • o fato da rua ficar molhada não garante que choveu
formas de argumento conectivo se ent o16
Formas de Argumento Conectivo Se ... então
  • Uma condicional também pode ser expressa na ordem inversa.

‘Visto o casaco se sentir frio‘

mantém a semântica de

‘ Se sentir frio, visto o casaco’

‘ Se sentir frio então visto o casaco’

formas de argumento conectivo se ent o17
Formas de Argumento Conectivo Se ... então
  • Variações gramaticais da condicional: (P e Q sentenças quaisquer)
    • Se P então Q
    • P implicaem Q; P, logo Q
    • P só se Q; P somente se Q
    • P apenas se Q; P só quando Q
    • Q se P ; Q segue de P
    • P é condição suficiente para Q
    • Q é condição necessária para P
formas de argumento conectivo se ent o18
Formas de Argumento Conectivo Se ... então
  • Variações gramaticais da condicional:

Exemplo:

    • Se chove então molha a rua.
    • Chover implica em molhar a rua.
    • Chove somente se molha a rua
    • Se chove, logo molha a rua
    • Molha a rua, se chove
    • Chover é condição suficiente para molhar a rua
    • Molhar a rua é condição necessária para chover
formas de argumento conectivo se ent o19
Formas de Argumento Conectivo Se ... então
  • Os advérbios só, somente e apenas tem significados diferentes dependendo do local em que aparecem na sentença. Representam uma implicação e o conseqüente sempre aparece depois do advérbio
formas de argumento conectivo se ent o20
Formas de Argumento Conectivo Se ... então
  • Exercício. Identifique antecedente e conseqüente das seguintes proposições:
    • Se a chuva continuar o rio vai transbordar.
    • Maria vende o carro, se comprar a casa.
    • Maria vende o carro só se comprar a casa.
    • Os abacates só estão maduros quando estão escuros e macios.
formas de argumento conectivo se e somente se
Formas de Argumento Conectivo Se e somente se
  • Os enunciados formados com a expressão ...se e somente se... são chamados bicondicionais.
  • Um bicondicional pode ser considerado como uma conjunção de dois condicionais.
formas de argumento conectivo se e somente se22
Formas de Argumento Conectivo Se e somente se
  • P se e somente se Q
  • P se Q e P somente se Q
  • Se Q então P e P somente se Q
  • Se Q então P e Se P então Q
  • Se P então Q e Se Q então P
formas de argumento conectivo se e somente se23
Formas de Argumento Conectivo Se e somente se

Exemplo:

'T é um triângulo se e somente se T é um polígono de três lados.‘

Equivale:

T é um triângulo se T é um polígono de três lados; e T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados.

Que equivale:

Se T é um polígono de três lados então T é um triângulo; e se T é um triângulo entãoT é um polígono de três lados.

formas de argumento conectivo se e somente se24
Formas de Argumento Conectivo Se e somente se

'T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados'.

equivale a:

'Se T é um triângulo então T é um polígono de 3 lados'.

formas de argumento formaliza o
Formas de Argumento Formalização
  • Para facilitar o reconhecimento e a comparação de formas de argumento, cada operador lógico é representado por um símbolo especial:
    • Não é o caso que: ~ ou ┐
    • E: ^ ou &
    • Ou: v
    • Se ... então: 
    • Se e somente se: 
formas de argumento formaliza o26
Formas de Argumento Formalização
  • O Silogismo disjuntivo é simbolizado:

. P v Q

. ~P

 Q

Ou assim,

{ P v Q , ~P} ├ Q

formas de argumento formaliza o27
Formas de Argumento Formalização

{ P v Q , ~P} ├ Q

o traço de asserção (afirmação), ├ ,

significa dizer que Q é deduzido (provado) apenas dos enunciados (premissas) P v Q e ~P.

formas de argumento formaliza o28
Formas de Argumento Formalização
  • A linguagem consistindo das letras sentenciais e dos operadores lógicos juntamente com as regras a serem empregadas chama-se a Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional.
  • O objetivo fundamental do Cálculo /Lógica:

Mostrar a Validade de certas formas de argumento.

formas de argumento formaliza o29
Formas de Argumento Formalização
  • Uma forma de argumento é válida se todas as suas instâncias são válidas.
  • Uma forma de argumento é inválida se pelo menos uma de suas instâncias é inválida.
  • Uma instância de uma forma de argumento (um argumento particular) é válida somente quando é impossível que a sua conclusão seja falsa enquanto suas premissas são verdadeiras. Caso contrário ela é inválida.
formas de argumento formaliza o30
Formas de Argumento Formalização
  • Mesmo para uma forma de argumento válida, nem todas as instâncias são corretas.

Exemplo:

O argumento da Monalisa (exemplo 2) tem a forma válida mas é incorreto

‘ Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou’ é uma premissa Falsa.

  • O Silogismo disjuntivo é uma forma de argumento válida, pois para qualquer instância ocorre que: se as suas premissas forem verdadeiras, a sua conclusão será verdadeira.
formas de argumento formaliza o31
Formas de Argumento Formalização
  • Observe a seguinte forma de argumento:

. Se P então Q.

. Q.

 P

Ou: {P Q, Q} |-- P

  • Essa forma é inválida, pois a seguinte instância é notoriamente inválida:

Se você está dançando na Lua então você está vivo.

Você está vivo.

Você está dançando na Lua.

formas de argumento formaliza o32
Formas de Argumento Formalização
  • Exemplo de formalização: Simbolize o argumento que segue.

A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até Sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira.

solu o
Solução:
  • 1[A proposta de auxílio está no correio]. 2[Se os árbitros a receberem até Sexta-feira, eles a analisarão]. Portanto, 3[eles a analisarão] porque 4[se a proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira]. (C,S,A)

C: A proposta de auxílio está no correio.

S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.

A: Os árbitros analisarão a proposta.

{C, SA, CS} |-- A

1 + 2 + 4

3

f rmula bem formada wff well formed formula
Fórmula bem formada – wff – well-formed formula
  • Qualquer letra sentencial é uma wff.
  • Se Φ é uma wff, então ~Φ

também o é.

  • Se Φ e Ψ são wff, então

(Φ &Ψ), (Φ v Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) também o são.

exerc cios
Exercícios:

1) Quais das expressões seguintes são fórmulas (wff's) e quais não são:

a) ~~~R

b) (~R)

c) PQ

d) ~(PQ)

e) ~(~P ^ ~Q)

exerc cios36
Exercícios:

2) Formalize os seguintes argumentos usando as letras sentenciais indicadas. Utilize os indicadores de inferência para facilitar.

a) Se Deus existe, então a vida tem significado. Deus existe. Portanto, a vida tem significado.

c) Como hoje não é Quinta-feira, deve ser Sexta-feira. Hoje é Quinta-feira ou Sexta-feira.

d) Hoje é um fim de semana se somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado.

exerc cios37
Exercícios:

d) "Hoje é quarta-feira ou sexta-feira. Mas não pode ser quarta-feira, pois o consultório do médico estava aberto esta manhã, e aquele consultório está sempre fechado às quartas. Portanto, hoje deve ser sexta-feira."

exerc cios38
Exercícios:

Q: hoje é quarta-feira

X: hoje é sexta-feira

C: consultório aberto

{Q v X, (C ^(Q -> ~C))} |- X

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