1 / 24

Lineární zobrazení

Lineární zobrazení. Zobrazení f množiny A do množiny B f: A  B. je taková relace f mezi množinami A , B , která splňuje vlastnost: ke každému x  A existuje právě jedno y  B tak, že f(x) = y. Zobrazení f: U  W je lineární ( U, W jsou vektorové prostory ).

misha
Download Presentation

Lineární zobrazení

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Lineární zobrazení

  2. Zobrazení f množiny A do množiny B f:AB je taková relace f mezi množinami A, B, která splňuje vlastnost: ke každému x A existuje právě jedno y B tak, že f(x) = y

  3. Zobrazení f: U  W je lineární (U, W jsou vektorové prostory ) f(u + v) = f(u) + f(v) f(au) = af(u) • u, v U a • aR

  4. Příklady lineárního zobrazení • Zobrazení, které přiřadí každé matici matici k ní transponovanou.(aA + bB)T = aAT + bBT • Zobrazení, které přiřadí každému polynomu jeho první derivaci. (af + bg)´ = a(f´) + b(g´ ) • Zobrazení, které přiřadí každému polynomu jeho druhou derivaci.

  5. Obraz nulového vektoru Obrazem nulového vektoru je v lineárním zobrazeníopět nulový vektor

  6. Nechť U, W jsou vektorové prostory, f: U  W je lineární zobrazení. • f(U) = {y  W: y = f(x), x  U }Označme f(U) = Im f • f(U) je podprostor ve W • Nazývá se obraz vektorového prostoru U v zobrazení f a značí se Im f. • Jeho dimenzi nazveme hodností lineárního zobrazení f. Platí tedy: hod f = dim f(U).

  7. Zobrazení je určeno obrazy vektorů báze Nechť B = b1, b2, …, bn je uspořádaná báze vektorového prostoru U a nechť w1, w2, …, wn jsou vektory z prostoru W. Pak existuje právě jedno zobrazení f: UW takové, že f(bi) = wi, i = 1, 2, ..., n.

  8. Lineární zobrazení přiřazuje lineárně závislým vektorům opět lineárně závislé vektory. • Lineární zobrazení může lineárně nezávislým vektorům přiřadit vektory lineárně závislé.

  9. U, W jsou vektorové prostory, f: U  W je lineární zobrazení • Množinu všech vektorů z U, které se zobrazí do nulového vektoru prostoru W, nazýváme jádro zobrazení f. • Značíme: Ker f = {x U: f(x) = oW } • Jádro lineárního zobrazení je podprostor v U • Dimenze jádra lineárního zobrazení f se nazývá defekt lineárního zobrazení f.def f = dim Ker f

  10. Matice lineárního zobrazení • Nechť f: UW je lineární zobrazení, B = b1, b2, …, bn je uspořádaná báze vektorového prostoru U a F = f1, f2, …, fm je uspořádaná báze vektorového prostoru W. • Vyjádřeme obrazy vektorů báze B v bázi F:f(b1) = a11f1 + a12f2 + … + a1mfmf(b2) = a21f1 + a22f2 + … + a2mfmf(bn) = an1f1 + an2f2 + … + anmfm Matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím B, F

  11. Lineární zobrazení f: R3R3 je definováno vztahem f((x1, x2, x3)) = (x2 + x3, 2x1 + x3, x1 – 3x2 + x3) Najděte matici tohoto lineárního zobrazení Najdeme obrazy vektorů kanonické báze prostoru R3. (1, 0, 0)  (0, 2, 1) (0, 1, 0)  (1, 0, –3) (0, 0, 1)  (1, 1, 1)

  12. Hodnost lineárního zobrazení je rovna hodnosti matice A tohoto lineárního zobrazení hod f = dim f(U) = dim Im f hod f = hod A

  13. Hodnost lineárního zobrazení hod f = hod A= dim f(U) = dim Im f def f = dim Ker f dim f(U) + dim Ker f = dim U hod f + def f = dim U

  14. Lineární zobrazení je definováno vztahy: f(1, 2) = (–2, 1), f(2, 1) = (6, –3). • Určete matici tohoto zobrazení • Určete hod f, Ker f a def f • Najděte všechny vektory u, které se zobrazí do vektoru (4, –2), tj. f(u) = (4, –2).

  15. Na které vektory se při daném zobrazení zobrazí vektory kanonické báze?  

  16. hod A = hod f = 1 def f = dim R2 – hod f = 2 – 1 = 1

  17. Jádro zobrazení soustava dvou závislých rovnic o dvou neznámých 7x1 – 5x2 = 0 x = k.(5, 7), kde k R Ker f = {xR2 : x = k.(5, 7), k R}

  18. Pro všechny vektory u, které se zobrazí na vektor (4, –2) platí: soustava dvou závislých rovnic o dvou neznámých 7u1 – 5u2 = 6 u = (3, 3) + t.(5, 7), kde t R

  19. Změna matice lineárního zobrazení při změně báze Lineární zobrazení f: R3R3 je určeno maticí A vzhledem ke kanonické bázi E. Najděte matici B tohoto zobrazení vzhledem k bázi F = (0, 1, 1), (2, 0, –1), (–1, 1, 1).

  20. 1. obrazy vektorů báze Fve zobrazení f  f(f1) = (1, 0, –2) f(f2) = (0, 1, 4) f(f3) = (0, 0, –3)

  21. 2. souřadnice obrazů vektorů báze vyjádříme vzhledem k bázi F (1, 0, –2) = –3.(0, 1, 1) + 2.(2, 0, –1) + 3.(–1, 1, 1) (0, 1, 4) = 7.(0, 1, 1) – 3.(2, 0, –1) – 6.(–1, 1, 1) (0, 0, –3) = –6.(0, 1, 1) + 3.(2, 0, –1) + 6.(–1, 1, 1) matice B tohoto zobrazení vzhledem k bázi F je

  22. Lineární zobrazení f: R3R2 je určeno maticí A vzhledem ke kanonickým bázím E, F. Najděte matici B tohoto zobrazení vzhledem k bázím G, H, je-li G = (1, 1, 1), (0, 1, 2), (2, –1, 1), H = (1, 1), (2, 3)

  23. 1. obrazy vektorů báze Gve zobrazení f  f(g1) = (0, 3) f(g2) = (–1, 3) f(g3) = (8, 2)

  24. 2. souřadnice obrazů vektorů báze vyjádříme vzhledem k bázi H (0, 3) = –6.(1, 1) + 3.(2, 3) (–1, 3) = –9.(1, 1) + 4.(2, 3) (8, 2) = 20.(1, 1) – 6.(2, 3) matice B tohoto zobrazení vzhledem k bázím G, H je

More Related