element rn funkce n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE PowerPoint Presentation
Download Presentation
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 54

ELEMENTÁRNÍ FUNKCE - PowerPoint PPT Presentation


  • 223 Views
  • Uploaded on

ELEMENTÁRNÍ FUNKCE. Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava. Elementární funkce. Obsah:. 1. Lineární a konstantní funkce. 2. Kvadratická funkce. 3. Mocninná funkce. 4. Lineární lomená funkce. 5. Exponenciální funkce. 6. Logaritmická funkce. Ű.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'ELEMENTÁRNÍ FUNKCE' - minda


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
element rn funkce

ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

Mgr. Vladimír Wasyliw

- s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava

slide2

Elementární funkce

Obsah:

1. Lineární a konstantní funkce

2. Kvadratická funkce

3. Mocninná funkce

4. Lineární lomená funkce

5. Exponenciální funkce

6. Logaritmická funkce

slide3

Ű

Zpět na obsah

Lineární a konstantní funkce

Lineární funkcí nazýváme každou funkci f: y = ax+b , a,b R,

D(f)max = R.

Př.: f1: y = 2x - 3 , f2: y = - 0,5x +1 , f3: y = x , f4: y = 10x apod.

Grafem každé lineární je přímka.

(pro D(f) R je grafem část přímky)

U

Graf lineární funkce je určen dvěma libovolnými různými body (pro dvě různá

x D(f) určíme f(x)).

y = ax + b

f(x2)

x1

x2

f(x1)

slide4

Ű

Zpět na obsah

Lineární a konstantní funkce

Vlastnosti lineární funkce:

1) Je-li a = 0, stává se lineární funkce f: y = ax + b funkcí konstantní

f: y = b. Grafem konstatní funkce je přímka (nebo její část), která je

rovnoběžná se souřadnicovou osou x a procházející bodem [0; b].

D(f)= R *)

H(f) = {b}

je omezená

není prostá

v každém x D(f) je maximum i minimum

je sudá

y = b

b

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

slide5

Ű

Zpět na obsah

Lineární a konstantní funkce

Vlastnosti lineární funkce:

2) Je-li b = 0 , a ą 0, jde o tzv. přímou úměrnost f: y = ax.

Grafem přímé úměrnosti je přímka (nebo její část) různoběžná

se souřadnicovými osami a procházející bodem [0;0].

D(f)= R *)

H(f) = R

není omezená shora

není omezená zdola

pro a > 0 je rostoucí

pro a < 0 je klesající

je prostá

nemá maximum

nemá minimum

je lichá

y = ax , a > 0

y = ax , a < 0

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

slide6

Ű

Zpět na obsah

Lineární a konstantní funkce

Vlastnosti lineární funkce:

3a) Pro a > 0, b ą 0 , má funkce f: y = ax + b tyto vlastnosti:

D(f)= R *)

H(f) = R

je rostoucí

není omezená shora

není omezená zdola

je prostá

nemá maximum

nemá minimum

y = ax + b

a > 0

[0;b]

[-b/a;0]

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

U

slide7

Ű

Zpět na obsah

Lineární a konstantní funkce

Vlastnosti lineární funkce:

3b) Pro a < 0, b ą 0 , má funkce f: y = ax + b tyto vlastnosti:

D(f)= R

H(f) = R

je klesající

není omezená shora

není omezená zdola

je prostá

nemá maximum

nemá minimum

*)

y = ax + b

a < 0

[0;b]

[-b/a;0]

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

slide8

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Kvadratickou funkcí nazýváme každou funkci f: y = ax2+ bx + c ,

a, b, c R, a ą 0, D(f)max = R.

Grafem každé kvadratické funkce je křivka zvaná parabola , která je

osově souměrná podle osy rovnoběžné se souřadnicovou osou y.

Průsečík osy paraboly a paraboly se nazývá vrchol paraboly (většinou

označen V).

(pro D(f) R je grafem část paraboly)

U

kvadratický člen

absolutní člen

Př.: f1: y = 2x2 - 3x + 5

f2: y = x2 +1

f3: y = -4x2+x

f4: y = 3x2

apod.

f: y = ax2 + bx + c

lineární člen

kvadratický trojčlen

ax2 + bx + c

slide9

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Vlastnosti kvadratické funkce:

1) Je-li b = c = 0 , jde o tzv. ryze kvadratickou funkci f: y = ax2.

Grafem každé ryze kvadratické funkce je parabola s osou

totožnou se souřadnicovou osou y a s vrcholem v bodě [0;0].

1a)Pro a > 0 :

D(f)= R *)

H(f) =  0; +Ą)

je omezená zdola

není omezená shora

je klesající na (-Ą; 0 

je rostoucí na  0; +Ą)

není prostá

má ostré abs. minimum v xm = 0

nemá maximum

je sudá

y = ax2 , a > 0

V=[0;0]

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

U

slide10

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Vlastnosti kvadratické funkce:

1) Je-li b = c = 0 , jde o tzv. ryze kvadratickou funkci f: y = ax2.

Grafemem každé ryze kvadratické funkce je parabola s osou

totožnou se souřadnicovou osou y a s vrcholem v bodě [0;0].

1b)Pro a < 0 :

D(f)= R *)

H(f) = (-Ą ; 0 

je omezená shora

není omezená zdola

je rostoucí na (-Ą; 0 

je klesající na  0; +Ą)

není prostá

má ostré abs. maximum v xM = 0

nemá minimum

je sudá

V=[0;0]

y = ax2 , a < 0

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

U

slide11

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Tvar paraboly - grafu ryze kvadratické funkce y = ax2ovlivňuje hodnota

koeficientu a .

Nejjednodušší kvadratickou funkcí (tzv. základní kvadratickou funkcí) je

funkce : y = 1.x2 = x2 (tj. a = 1, b = c = 0). Grafy ostatních ryze

kvadratických funkcí y = ax2 jsou v porovnání s ní

a) užší . . . pro |a| > 1 b) širší . . . pro 0 < |a| < 1

y = ax2

y = ax2

a = 1

a = -1

a = 2

a = -2

a = 3

a = -3

slide12

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Graf funkce y = ax2+ k vznikne posunutím grafu funkce y = ax2ve směru

osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Vrchol paraboly je

bod V = [ 0 ; k ].

y = ax2+ k

a > 0, k > 0

a < 0, k < 0

y = ax2+ 2

y = ax2 + 1

y = ax2

y = ax2 - 1

y = ax2

y = ax2 - 3

vrchol V = [ 0 ; k ]

slide13

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Graf funkce y = a(x-m)2 vznikne posunutím grafu funkce y = ax2ve

směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva).

Vrchol paraboly je bod V = [ m ; 0 ].

y = a(x-m)2

a > 0, m < 0

a < 0, m > 0

y = ax2

y = a(x-1)2

y = a(x+1)2

y = ax2

y = a(x-3)2

y = a(x+3)2

vrchol V = [ m ; 0 ]

slide14

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Graf funkce y = a(x-m)2+ k vznikne posunutím grafu funkce y = ax2ve

směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva) a ve

směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Vrchol

paraboly je bod V = [ m ; k ].

y = a(x-m)2+ k

a > 0, m < 0, k > 0

y = a(x+1)2 + 2

y = ax2

vrchol V = [ m ; k ]

slide15

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Vlastnosti kvadratické funkce:

2) Graf každé kvadratické funkce f: y = ax2+ bx + c lze získat

posunutím grafu ryze kvadratické funkce y =ax2. Vrchol

paraboly, která je grafem kvadratické funkce f: y = ax2+ bx + c ,

je bod V = [xV;yV], kde

Funkční předpis každé kvadratické funkce (kvadratický trojčlen) lze

upravit na tvar . Hodnota m určuje posun grafu

funkce y = ax2 ve směru osy x, hodnota k posun ve směru osy y.

-m

k

slide16

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Vlastnosti kvadratické funkce - příklad:

y = x2 - 2x - 3

y = x2

V = [ 1; -4 ]

y = x2- 2x - 3 = (x-1)2- 4

V = [ 0; 0 ]

V = [ 1; -4 ]

slide17

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c :

y

Pro a > 0 :

D(f)= R *)

H(f) = ; +Ą)

je omezená zdola

není omezená shora

je rostoucí na ; +Ą)

je klesající na (-Ą; 

není prostá

má ostré abs. minimum v xm =

nemá maximum

x

0

V

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

U

slide18

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c :

y

V

Pro a < 0 :

D(f)= R *)

H(f) = (- Ą; ´ 

je omezená shora

není omezená zdola

je rostoucí na (-Ą;

je klesající na; +Ą)

není prostá

má ostré abs. maximum v xM =

nemá minimum

x

0

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

U

slide19

Ű

Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2+ bx + c :

Při sestrojování grafu kvadratické funkce f: y = ax2+ bx + c

nám mohou pomoci další jeho body (pokud existují)

- průsečíky se souřadnicovými osami:

průsečík s osou y - bod [ 0 ; f(0) ]

průsečíky s osou x - body [ x1; 0 ], [ x2 ; 0 ] , kde x1, x2 jsou

řešení kvadratické rovnice ax2+ bx + c = 0

y

[ 0 ; f(0) ]

[ x1; 0 ]

[ x2 ; 0 ]

x

0

slide20

Ű

Zpět na obsah

Mocninná funkce

Mocninnou funkcí s přirozeným exponentemn je každá funkce

f: y = xn, n N, D(f)max = R.

Grafem této mocninné funkce je pro n = 1 přímka (jde o

nejjednodušší lineární funkci y = x), pro n >1 parabola n-tého stupně

(pro n = 2 jde o nejjednodušší kvadratickou funkci y = x2).

Př.: y = x3

y = x4

y = 2x5

y = -x3+2

slide21

Ű

Zpět na obsah

Mocninná funkce

y = x5

Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  N :

y = x3

a) Pro n liché :

D(f)= R *)

H(f) = R

není omezená shora

není omezená zdola

je rostoucí

je prostá

nemá maximum

nemá minimum

je lichá

y = x1

[1;1]

[-1;-1]

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

U

slide22

Ű

Zpět na obsah

Mocninná funkce

Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  N :

b) Pro n sudé :

D(f)= R *)

H(f) = R

je omezená zdola

není omezená shora

je klesající na (-Ą;0 

je rostoucí na  0;+Ą)

není prostá

má ostré abs. minimum v xm = 0

nemá maximum

je sudá

y = x6

y = x4

y = x2

[-1; 1]

[1;1]

[0;0]

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

U

slide23

Ű

Zpět na obsah

Mocninná funkce

Mocninnou funkcí se záporným celočíselným exponentemn je

každá funkce f: y= xn , n Z-, D(f)max = R - {0}.

Grafem této mocninné funkce je hyperbola s asymptotami

splývajícími se souřadnicovými osamu x, y.

Př.: y = x-1

y = x-2

y = 4x-3

slide24

Ű

Zpět na obsah

Mocninná funkce

Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  Z-

y = x-3

a )Pro n liché :

D(f)= R- {0} *)

H(f) = R - {0}

není omezená shora

není omezená zdola

je klesající v (-Ą; 0) U (0;+Ą)

je prostá

nemá maximum

nemá minimum

je lichá

y = x-5

[1;1]

y = x-1

[0;0]

[-1; -1]

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R-{0},

pro D(f) R-{0} se mohou změnit

U

slide25

Ű

Zpět na obsah

Mocninná funkce

Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n  Z-

y = x-4

b )Pro n sudé :

D(f)= R- {0} *)

H(f) = R - {0}

není omezená zdola

není omezená shora

je rostoucí v (-Ą; 0)

je klesající v (0;+Ą)

není prostá

nemá maximum

nemá minimum

je sudá

y = x-6

[-1; 1]

[1;1]

y = x-2

[0;0]

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R-{0},

pro D(f) R-{0} se mohou změnit

U

slide26

Ű

Zpět na obsah

Mocninná funkce

Speciálním případem mocninné funkce se záporným celým exponentem

je funkce nepřímá úměrnost, tj. funkce f: y = , D(f)max = R- {0}, k R,

k ą 0.

k

x

Grafem nepřímé úměrnosti je rovnoosá hyperbola (souměrná posle os

kvadrantů a podle počátku k.s.s.) s asymptotami v osách x, y.

Pro k > 0:

D(f)= R- {0} *)

H(f) = R - {0}

není omezená shora

není omezená zdola

je klesající v (-Ą; 0) U (0;+Ą)

je prostá

nemá maximum

nemá minimum

je lichá

1,5

y =

x

[1;k]

[k;1]

[0;0]

[-k; -1]

[-1; -k]

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R-{0},

pro D(f) R-{0} se mohou změnit

U

slide27

Ű

Zpět na obsah

Mocninná funkce

  • Pro posuny a změny tvaru mocninných funkcí platí stejná pravidla
    • jako pro funkci kvadratickou. Graf funkce y = a(x-m)n+ k vznikne
    • posunutím grafu funkce y = axnve směru osy x o m jednotek (pro
    • m > 0 doprava, pro m < 0 doleva) a ve směru osy y o k jednotek
    • (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Střed popř. vrchol křivky je
    • bod V = [ m ; k ].

2

+ 1

(x-3)2

2

x2

slide28

Ű

Zpět na obsah

Exponenciální funkce

Exponenciální funkce se základem a je funkce f: y = ax ,

a (0; +Ą),a ą 1, D(f)max = R.

( pro a = 1 by šlo o funkci konstatní y = 1x = 1 ):

Př.: y = 2x , y =( )x , y = 10x

1

3

Speciální případy:

dekadická exponenciální funkce - exponenciální funkce se základem

a = 10 , tj. funkce f: y = 10x

přirozená exponenciální funkce - exponenciální funkce se základem

a = e , tj. funkce f: y = ex

e - Eulerovo číslo , e = 2,718

Grafem exponenciální funkce je křivka nazývaná exponenciální křivka

(nebo exponenciála), která prochází body [0;1], [1;a] , [-1; ] a která se

asymptoticky blíží k ose x.

1

a

slide29

Ű

Zpět na obsah

Exponenciální funkce

Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a (0; +Ą),a ą 1:

Pro 0 < a < 1 :

D(f)= R *)

H(f) = (0; +Ą)

je omezená zdola

není omezená shora

je klesající

je prostá

nemá maximum

nemá minimum

y = ax

0 < a < 1

1

[-1; ]

a

[1;a]

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

slide30

Ű

Zpět na obsah

Exponenciální funkce

Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a (0; +Ą),a ą 1:

Pro a > 1 :

D(f)= R *)

H(f) = (0; +Ą)

je omezená zdola

není omezená shora

je rostoucí

je prostá

nemá maximum

nemá minimum

y = ax

a > 1

[1;a]

1

[-1; ]

a

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R,

pro D(f) R se mohou změnit

U

slide31

Ű

Zpět na obsah

Exponenciální funkce

Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a R+,a ą 1:

Graf funkce y = ax se pro a >1 s rostoucím (resp. pro a < 0 < 1 s klesajícím)

a stává "strmějším".

Graf funkce f: y = ax-m+ k je posunutým grafem funkce f: y = ax.

y = 0,33x

y = 0,25x

y = 4x

y = 3x

y = 2x

y = 2x

y = 0,5x

y = 2x+1 - 3

slide32

Ű

Zpět na obsah

Logaritmická funkce

Logaritmická funkce se základem a je funkce f: y = log a x ,

a (0; +Ą),a ą 1, D(f)max = (0; +Ą).

Logaritmická funkce se základem a je tzv. inverzní funkce k funkci

exponenciální se základem a. Pro každé x (0;+Ą), y R, a (0; +Ą),

a ą 1 platí:log a x = yay = x.

Grafem logaritmické funkce je křivka zvaná logaritmická křivka, která

je osově symetrická podle osy I. a III. kvadrantu souř.soustavy s

exponenciální křivkou se stejným základem a asymptoticky se blíží k

souřadnicové ose y. Každá logaritmická křivka prochází body [1;0],

[a;1] , [ ;-1].

1

a

Speciální případy:

dekadická logaritmická funkce - logaritmická funkce se základem a = 10,

tj. funkce f: y = log10x = log x

přirozená logaritmická funkce - logaritmická funkce se základem a = e ,

tj. funkce f: y = ln x

(e - Eulerovo číslo , e = 2,718)

slide33

Ű

Zpět na obsah

Logaritmická funkce

Vlastnosti logaritmické funkce f: y = loga x , a (0; +Ą),a ą 1 :

Pro a > 1 :

D(f)= (0; +Ą) *)

H(f) = R

není omezená zdola

není omezená shora

je rostoucí

je prostá

nemá maximum

nemá minimum

y = logax

a > 1

[a;1]

[1;0]

1

[ ;-1 ]

a

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = (0;+Ą),

pro D(f) (0;+Ą) se mohou změnit

U

slide34

Ű

Zpět na obsah

Logaritmická funkce

Vlastnosti logaritmické funkce f: y = loga x , a (0; +Ą),a ą 1 :

Pro 0 < a < 1 :

D(f)= (0; +Ą) *)

H(f) = R

není omezená zdola

není omezená shora

je klesající

je prostá

nemá maximum

nemá minimum

y = logax

0 < a < 1

[ a ; 1 ]

[1;0]

1

[ ;-1]

a

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = (0;+Ą),

pro D(f) (0;+Ą) se mohou změnit

U

slide35

Ű

Zpět na obsah

Logaritmická funkce

Vlastnosti logaritmické funkce f: y = loga x , a (0; +Ą),a ą 1 :

Graf funkce y = log ax se při a >1 s rostoucím (resp. pro a < 0 < 1 s klesajícím)

a stává "pozvolnějším".

Graf funkce f: y = log a(x-m) + k je posunutým grafem funkce f: y = log a x.

y = log2x

y = log3x

y = log2(x-1)+2

y = log4x

y = log2x

y = log0,25x

y = log1/3x

y = log0,5x

slide36

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Zobrazení množiny R do jednotkové kružnice

Každému reálnému číslux lze přiřadit na jednotkové kružnici právě

jeden bod K = [ xK ; yK ] tak, že délka oblouku JK je rovna x.

(délka oblouku je měřena po jednotkové kružnici proti směru hodinových

ručiček pro x > 0, po směru pro x < 0; měří se ve stejných jednotkách

jaké jsou v k.s.s., J = [1;0])

y

y

|JK| = x

1

1

x

K

yK

x

K

yK

J

J

x

x

-1

xK

0

-1

0

1

1

xK

-1

-1

Každému reálnému číslu x lze tedy takto jednoznačně přiřadit dvě reálná

čísla xK ( x-ová souřadnice bodu K ) a yK (y-ová souřadnice bodu K).

slide37

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Každý bod K jednotkové kružnice je obrazem nekonečně mnoha reálných

čísel v uvedeném zobrazení. Jejich velikost se liší o násobek hodnoty 2p

(délka jednostkové kružnice).

Jestliže x = x0 + k.2p , kde k Z , x0 0; 2p) , je číslům x i x0 přiřazen

stejný bod K na jednotkové kružnici.

y

y

1

1

K

K

yK

yK

x = x0 + 1.2p

x0

J

J

x

x

-1

0

xK

1

-1

xK

0

1

-1

-1

slide38

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Funkcí sinus nazýváme funkci, která každému reálnému číslux přiřazuje

číslo yK(y-ová souřadnice bodu K).

y

y

1

1

x

K

yK

x

sin x

J

J

x

x

-1

0

-1

1

0

1

sin x

yK

K

-1

-1

x K yK = sin x

sinus_4.fig

přechod do programu Cabri Geometry II Plus Ü

slide39

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Funkcí kosinus nazýváme funkci, která každému reálnému číslux

přiřazuje číslo xK(x-ová souřadnice bodu K).

y

y

1

1

x

K

x

cos x

xK

J

J

x

x

-1

0

-1

1

0

xK

cos x

1

K

-1

-1

x K xK = cos x

slide40

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Velikost oblouku JK může vyjadřovat velikost úhlu J0K v obloukové míře -

|JK| = | J0K | = x rad. Funkce sinus a kosinus lze tedy definovat i pro

každý úhel (libovolný úhel aumístit v k.s.s. tak, aby bod 0 byl jeho vrcholem

a polopřímky 0J a 0K jeho ramena, a > 0 proti směru, a > 0 po směru

hodinových ručiček)

y

y

a ş J0K

1

x

|a| = | J0K| = x rad

1

K

yK

x

a

sin a = sin x

cos a = cos x

J

a

J

x

-1

0

1

sin a = sin x

x

-1

0

1

cos a = cos x

yK

K

-1

-1

a K yK = sin a = sin x

a K xK = cos a = cos x

slide41

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Vlastnosti funkce f: y = sin x:

D(f)= R *)

H(f) = -1;1

je omezená zdola

je omezená shora

je klesající pro x + 2kp; + 2kp

je rostoucí pro x + 2kp;+ 2kp

je lichá

není prostá

má minimum v xm = + 2kp

má maximum v xM = + 2kp

je periodická s periodou 2p

} je omezená

p

3

p

2

2

p

p

2

2

3

p

2

p

2

p

p

3

-2p

3

p

( k Z )

-p

p

p

2p

2

2

2

2

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit. Protože jde o funkci

periodickou s periodou p = 2p, často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na

intervalu 0; 2p ) .

U

slide42

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Vlastnosti funkce f: y = cos x:

D(f)= R *)

H(f) = -1;1

je omezená zdola

je omezená shora

je klesající pro x 0+ 2kp; p+ 2kp

je rostoucí pro x p+ 2kp; 2p+ 2kp

je sudá

není prostá

má minimum v xm = p+ 2kp

má maximum v xM = 2kp

je periodická s periodou 2p

} je omezená

p

3

p

-2p

( k Z )

3

p

-p

p

2p

p

2

2

2

2

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit. Protože jde o funkci

periodickou s periodou p = 2p, často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na

intervalu 0; 2p ) .

U

slide43

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Význačné hodnoty goniometrických funkcísin x a cos y pro x 0;2p

p

p

p

p

2

3

3

5

11

7

7

5

5

4

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

2p

0

X

2

3

3

6

4

3

4

6

2

4

6

6

4

3

30

135

240

315

330

360

0

45

120

150

180

210

225

270

300

60

90

X (°)

1

1

1

1

3

2

2

3

2

2

3

3

0

1

0

1

0

sin x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

3

3

2

2

3

3

cos x

1

1

0

1

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

slide44

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

y = cos x , D(f) = 0; 2p)

y = sin x , D(f) = 0; 2p)

p

p

3

3

p

( ; )

( ; )

p

( ; )

(0; )

p

p

2p

x

2

2

2

2

-

-

+

+

sin x

-

-

+

+

cos x

y = cos x

p

3

p

2p

p

2

2

y = sin x

p

p

3

3

p

( ; )

( ; )

p

( ; )

(0; )

p

p

2p

x

2

2

2

2

rost.

rost.

kles.

kles.

sin x

cos x

kles.

kles.

rost.

rost.

slide45

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus:

Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla

jako pro jiné funkce.

y = a.sin x ( resp.y = a.cos x )

y = sin x

y = 2.sin x

y = 0,5.sin x

slide46

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus:

Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla

jako pro jiné funkce.

y = sin x + n (resp. y = cos x + n)

y = sin x

y = sin x + 1

y = sin x - 2

slide47

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus:

Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla

jako pro jiné funkce.

y = sin(x - m) (resp. y = cos(x - m) )

y = sin x

p

p

y = sin( x - )

3

3

y = cos x

p

p

y = cos( x+ )

4

4

slide48

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus:

Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla

jako pro jiné funkce.

y = sin(k.x) (resp. y = cos(k.x) ) , k ą 0

y = sin x

y = sin(2x)

Perioda funkce y = sin(kx) resp. y = cos(kx)

je

2p

p =

k

y = cos x

1

y = cos( x)

2

slide49

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

sin x

Funkce tangens se nazývá funkce daná rovnicí y =

cos x

p

p

D(f) = R - U{(2k+1). }

sin x

, x ą (2k+1).

tj.

Je tedy f:

tg x =

2

2

cos x

k Z

Funkci tangens lze také definovat pomocí jednotkové kružnice a její tečny

bodem J = [1;0]:

t

y

1

K

tg x

x

J

x

-1

xK

0

1

p

D(f) = R - U{(2k+1). }

2

k Z

-1

slide50

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

cos x

Funkce kotangens se nazývá funkce daná rovnicí y =

sin x

p

cos x

p

, x ą 2k.

D(f) = R - U{2k. }

tj.

Je tedy f:

cotg x =

2

sin x

2

k Z

Funkci tangens lze také definovat pomocí jednotkové kružnice a její tečny

bodem L = [0;1]:

y

L

cotg x

1

t

K

x

J

x

-1

xK

0

1

-1

slide51

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Vlastnosti funkce f: y = tg x:

y = tg x

p

D(f) = R - U{(2k+1). }

*)

H(f) = R

není omezená zdola

není omezená shora

je periodická s periodou p

je rostoucí pro x ( + kp; + kp)

je lichá

není prostá

nemá minimum

nemá maximum

2

k Z

p

p

2

2

p

p

-2p

3

3

-p

p

p

p

2p

2

2

2

2

( k Z )

p

D(f) = R - U{(2k+1). }

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = , pro D(f) D(f)max se

moho u změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = p, často se její graf studuje

pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; p ) nebo ; ) .

2

U

k Z

p

p

2

2

slide52

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Vlastnosti funkce f: y = cotg x:

y = cotg x

p

D(f) = R - U{2k. }

*)

H(f) = R

není omezená zdola

není omezená shora

je periodická s periodou p

je klesající pro x ( 0 +kp ;p+ kp)

je lichá

není prostá

nemá minimum

nemá maximum

2

k Z

p

p

-2p

3

3

-p

p

p

p

2p

2

2

2

2

( k Z )

p

D(f) = R - U{(2k. }

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = , pro D(f) D(f)max se

moho u změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = p, často se její graf studuje

pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; p ) .

2

U

k Z

slide53

Ű

Zpět na obsah

Goniometrické funkce

Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí tangens a kotangens platí stejná

pravidla jako pro funkce sinus a kosinus.

slide54

Zdroje:

Použitá literatura:

Doc. RNDr. Josef Polák, CSc. - Přehled středoškolské matematiky (Prometheus)

Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, RNDr. Jana Řepová, RNDr. Ladislav Skříček - Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU 2.

(Prometheus)

Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, RNDr. Jana Řepová - Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU 3.

(Prometheus)

Použitý software:

Cabri Geometry II plus - vlastník licence: SŠS Jihlava

ACTIVstudio PE - vlastník licence: SŠS Jihlava

TI Inter Active! - vlastník licence: SŠS Jihlava

ACTIVstudio PE - vlastník licence: SŠS Jihlava