vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 5

vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 5

Wortels • x² = 10 • x = √10 v x = -√10 • kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffen • √10 = 2√10 • √10 = 10 • √10 ≈ 3,16 • (√10)² = 10 • daarom heet √10 ook wel de tweedemachtswortelvan 10 GR 1 y1 = x2 en y2 = 10 plotten  intersect coördinaten v/h snijpunt 2 optie x√ gebruiken 5.1

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p • kun je 4 verschillende situaties onderscheiden. 5.1

1 p is positief( n = oneven )er is één oplossingx = p = n√p x³ = 3 x = 3 x ≈ 1,44 n = oneven grafiek is puntsymmetrisch in (0, 0) 1,44 5.1

2 p is negatief( n = oneven )er is één oplossingx = p = n√p x³ = -3 x = -3 x ≈ -1,44 -1,44 5.1

3 p is positief( n = even )er zijn twee oplossingenx = p = n√p v x = -p = - n√p n = even grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as x4 = 3 x = 3¼ x ≈ 1,32 v x ≈ -1,32 -1,32 1,32 5.1

4 p is negatief( n = even )er zijn geen oplossingen x4 = -3 x = -3¼ Er is geen oplossing 5.1

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden 1 schets de grafieken van f en g 2 los de vergelijking f(x) = g(x) op 3 lees uit de schets de oplossingen af los op (exact) x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x² = 2x + 3 x²- 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 y f lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g -1 0 3 x g 5.1

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) < g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan, mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR) y los op (2 decimalen) x³ - 2x² > 3x – 4 voer in y1 = x³ - 2x² y2 = 3x - 4 optie intersect x ≈ 1,56 v x = 1 v x ≈ 2,56 aflezen uit de schets -1,56 < x < 1 v x > 2,56 y1 1 -1,56 0 2,56 x lees het antwoord af op de x-as f(x) > g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g y2 5.1

Lineaire groei en exponentiële groei 5.2

groeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis Bij de formule N = b · gt onderscheiden we 2 gevallen g > 1 0 < g < 1 y y 1 1 x x O O 5.2

Groeifactor en groeipercentage • Neemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan heb je met exponentiële groei te maken. • Neemt een bedrag met 250 euro per jaar met 4,5% toe, • dan is de groeifactor 1,045. • 100% + 4,5% = 104,5%  × 1,045 • formule : B = 250 × 1,045t • Dus bij een groeifactor van 0,956 • is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4%. • We zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is. • Bij een verandering van p% per tijdseenheid hoort exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100. • Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g – 1 ) × 100%. 5.2

Rekenregels van machten • a4 = a · a · a · a • a2· a3 = a · a · a · a · a = a5 • = = a2 • (a2)3 = a2· a2· a2 = a6 • (ab)3 = ab · ab · ab = a3b3 bij vermenigvuldigen de exponenten optellen bij delen trek je de exponenten van elkaar af a5 a · a · a · a · a a3 a · a · a bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten bij de macht van een product krijg je een product van machten 5.3

Algemeen • ap· aq = ap + q • = ap – q • (ap)q = apq • (ab)p = apbp ap aq 5.3

Negatieve exponenten Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken. • 4° = 1 • a° = 1 (a ≠ 0) • 2-1 = ½ • 8-1 = ⅛ • a-n = (a ≠ 0) • de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten 1 an 5.3

p q Machten met gebroken exponenten • x = √x • x = √x • 4 = √4 = 2 • 64 = √64 = 4 • algemeen:a = n√a • ook geldt:a = √a (a > 0) 3 3 q p 5.3

Evenredig • als er een getal a bestaat zo, dat P = a · Q • dan is P evenredig met Q • het getal a heet de evenredigheidsconstante • y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a · xn 5.3

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid • is g de groeifactor per tijdseenheid, dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn • bij een groeifactor van 1,5 per uur • hoort een groeifactor van 1,524 ≈ 16834,11 per dag • en een groeifactor van 1,5¼ ≈ 1,11 per kwartier • 1,11  111%  toename per kwartier is 11% • het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via groeifactoren 5.4

Werkschema: • herkennen van exponentiële groei bij een tabel • 1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotiënt • aantal aan het eind van het interval • aantal aan het begin van het interval • 2 verschillen de quotiënten weinig, dan mag je uitgaan van exponentiële groei 5.4

Verdubbelings- en halveringstijd • de verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin • de hoeveelheid verdubbelt • bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door de • vergelijking gT = 2 op te lossen • de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid • gehalveerd wordt • bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de • vergelijking gT = ½ op te lossen 5.4

vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 5