slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Elementi di Teoria dei giochi PowerPoint Presentation
Download Presentation
Elementi di Teoria dei giochi

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 77

Elementi di Teoria dei giochi - PowerPoint PPT Presentation


  • 155 Views
  • Uploaded on

Elementi di Teoria dei giochi. Teoria dei giochi S tudio dei modelli matematici di cooperazione e conflitto tra individui intelligenti e razionali . Razionalità : ciascun individuo massimizza la sua utilità attesa rispetto a qualche credenza

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Elementi di Teoria dei giochi' - marietta


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Elementi di

Teoria dei giochi

slide2

Teoria dei giochi

Studio dei modelli matematici di cooperazione e conflitto tra individui intelligenti e razionali.

  • Razionalità: ciascun individuo massimizza la sua utilità attesa rispetto a qualche credenza
  • Intelligenza: ciascun individuo comprende la situazione in cui è coinvolto, compreso il fatto che gli altri individui sono intelligenti e razionali.
slide3

Cos’è un gioco?

Un gioco è descritto da quattro cose:

  • I giocatori
  • Le regole: ordine delle mosse, azioni possibili, informazione
  • Esiti (per ogni possibile profilo di scelte)
  • Vincite o utilità attesa.
slide4

Azioni vs Strategie

Azioni

L’insieme delle “mosse” a disposizione dei giocatori

Strategia

Piano completo di azione.

La strategia specifica un’azione per ognuna delle situazioni in cui il giocatore può essere chiamato a decidere (indipendentemente dal fatto che poi venga effettivamente a trovarsi in quella situazione

NB: In alcuni casi possono coincidere!

slide5

Dilemma del prigioniero

  • Due criminali che hanno commesso in complicità un grave delitto sono detenuti in celle separate (non possono comunicare).
  • Ci sono le prove solo per accusarli di un delitto minore la cui pena è 1 anno di reclusione
  • Ogni prigioniero può confessare il delitto grave o tacere.
  • Se confessa uscirà subito di prigione, mentre il complice avrà una pena di 20 anni di reclusione.
  • Se entrambi confessano saranno condannati ad una pena intermedia di 5 anni.
  • Se nessuno dei 2 confessa la pena sarà di 1 anno.
slide6

Dilemma del prigioniero

Giocatori: I due criminali

Regole: detenuti non possono comunicare, possono confessare o tacere, decidono contemporaneamente.

Azioni: Confessare o tacere

Strategie: confessare o tacere (coincidono con azioni in questo caso!)

Vincite: gli anni di reclusione (vincite negative)

gioco in forma strategica
Gioco in forma strategica
  • Insieme dei giocatori i  N = {1,...,n}
  • Insieme delle strategie si Si
  • Funzione di vincita ui(s):S
  • Gioco in forma strategica

 = {S1,...,Sn;u1,...,un}

NOTAZIONE:

Profilo di strategie (s1,...,sn)  S = S1...Sn

gioco in forma estesa
Gioco in forma estesa

Fornisce l’informazione per rispondere ai seguenti quesiti:

  • Chi gioca quando?
  • Cosa possono fare i giocatori?
  • Che informazione hanno i giocatori?
  • Quali sono le possibili vincite?
slide10

Gioco in forma estesa

-5, -5

confessa

confessa

2

tace

0, -20

1

confessa

-20, 0

tace

2

tace

-1, -1

slide11

Gioco dell’entrata

  • 2 imprese: X e Y
  • Y monopolista di un mercato; X decide se entrare o no
  • Se X entra, allora Y può produrre poco o tanto.
  • Se Y produce poco entrambe hanno profitto 1
  • Se Y produce tanto entrambe avranno profitti -1
  • Se X non entra avrà profitti nulli e Y può sempre produrre poco o tanto, ma resta monopolista
  • Se Y produce poco avrà profitto 2
  • Se Y produce tanto avrà profitto 3
slide12

Gioco dell’entrata

Giocatori: Le 2 imprese

Regole: Impresa X decide per prima, Y può vedere l’azione di X

Vincite: I profitti

slide13

Gioco dell’entrata

Azioni

X ENTRA o NON ENTRA

Y produrre POCO o TANTO

Strategie

Impresa X

ENTRA o NON ENTRA (coincide con azioni)

Impresa Y

Produrre POCO sia se X ENTRA, sia se X NON ENTRA

Produrre POCO se X ENTRA, TANTO se X NON ENTRA

Produrre TANTO sia se X ENTRA, sia se X NON ENTRA

Produrre TANTO se X ENTRA, POCO se X NON ENTRA

slide14

Gioco in forma estesa

-1, -1

tanto

Y

entra

poco

1, 1

X

tanto

0, 3

Non entra

Y

poco

0, 2

slide16

Informazione

  • Informazione Perfetta: ciascun insieme informativo è composto da un nodo singolo (ad esempio gli scacchi, gioco di entrata)
  • Informazione imperfetta: in un qualche punto dell’albero di gioco un giocatore non è sicuro della storia passata del gioco, cioè ignora qualche azione passata. In altre parole qualche insieme di informazione contiene più di un nodo. (dilemma del prigioniero)
cos la soluzione di un gioco
Cos’è la SOLUZIONE di un gioco?
  • Se desideriamo prevedere l’esito verosimile di una situazione di interazione strategica dobbiamo prevedere il comportamento dei giocatori, cioè dobbiamo individuare la SOLUZIONE del gioco.
  • La soluzione di un gioco è un modello di comportamento dei giocatori che soddisfa delle condizioni di “plausibilità”.
come definire la soluzione di un gioco
Come definire la soluzione di un gioco?
  • Solitamente gli economisti usano l’IPOTESI DI RAZIONALITA’.
  • Problema: come definire la razionalità in situazioni di interazione strategica?

Ricordiamo la definizione di teoria dei giochi:

i giocatori sono razionalie intelligenti

Il problema è formalizzare razionalità E intelligenza.

applicazione dell ipotesi di razionalit nei gfn
Applicazione dell’ipotesi di razionalità nei GFN
  • Per ogni giocatore ricerco la strategia che massimizza la vincita PER OGNI POSSIBILE SCELTA DEGLI ALTRI,
  • In altre parole cerco le RISPOSTE OTTIME in funzione di tutte le possibili strategie altrui.
slide22

Il dilemma del prigioniero

2

1

Non confesso

Confesso

Non confesso

-0.5, -0.5

-3, 0

Confesso

0, -3

-1, -1

I numeri sono gli anni di prigione

un concetto di equilibrio come soluzione l equilibrio di nash
Un concetto di equilibrio come soluzione: l’equilibrio di Nash

Dato un gioco in forma strategica, un profilo di strategie s* S è unequilibrio di Nash in strategie pure se per tutti i giocatori i

interpreta z ion i dell equilibri o di nash
INTERPRETAZIONIDELL’EQUILIBRIO DI NASH
  • NB: è definito come un profilo di strategie, non come un prodotto cartesiano, come abbiamo visto nel caso precedente.Questo dipende dal fatto che stiamo considerandoun concetto di equilibrio.
  • TreINTERPRETAZIONI:
  • Equilibrio di Nash come soluzione eduttiva
  • Equilibrio di Nash come punto di equilibrio di un processo dinamico (implicito)
  • Equilibrio di Nash come equilibrio di aspettative razionali.
strateg ie miste
Strategie miste
  • Due tipi di strategie:
    • pure
    • miste
  • Due tipi di equilibrio
    • In strategie pure
    • In strategie miste
defini z ion e
Definizione
  • Un profilo di strategie miste = (1,...,n) èun equilibrio di Nash se per ogni i,
slide28

Il gioco dell’entrata

0, 0

Guerra

Entra

IBM

Accomoda

Telex

2, 2

Fuori

1, 5

slide29

La forma normale del gioco dell’entrata

IBM

Telex

Guerra

Accomoda

Entra

0, 0

2, 2

Fuori

1, 5

1, 5

slide30

Equilibri nel gioco dell’entrata: le strategie ottime per Telex

IBM

Telex

Guerra

Accomoda

Entra

0, 0

2, 2

Fuori

1, 5

1, 5

slide31

Le strategieottime perIBM

IBM

Telex

Guerra

Accomoda

Entra

0, 0

2, 2

Fuori

1, 5

1, 5

slide32

Due equilibri

IBM

Telex

Guerra

Accomoda

Entra

0, 0

2, 2

Fuori

1, 5

1, 5

slide33

L’equilibrio credibile

0, 0

Guerra

Entra

2

Accomoda

1

2, 2

Fuori

1, 5

slide34

L’equilibrio non credibile

0, 0

Guerra

Entra

Accomoda

1

2, 2

Fuori

1, 5

problem i con gli equilibri di nash
Problemicon gli equilibri di Nash

Equilibrio di Nash: ogni giocatore deve agire ottimamente date le strategie altrui, cioè ogni giocatore gioca una risposta ottima alle strategie degli altri giocatori.Problema: la condizione di ottimizzazione è posta solo all’inizio del gioco.Perciò qualche equilibrio di Nash nei giochi dinamici può coinvolgere minacce non credibili.

perfe z ion e nei sottogiochi selten 1965
Perfezione nei sottogiochi(Selten, 1965)
  • Applica una nozione di comportamento razionale (in particolare l’equilibrio di Nash) ogni volta che si fronteggia una situazione strategica ben definita.
  • La nozione di sottogioco proprio modella l’idea di “una situazione strategica ben definita”.
slide38

Il concetto di sottogioco

Sottogioco

0, 0

Guerra

Entra

IBM

Accomoda

Telex

2, 2

Fuori

1, 5

slide39

Un esempio di non esistenza di sottogiochi propri

0, 0

Guerra

Entra

2, 2

Accomoda

IBM

Telex

Guerra

1, 5

Fuori

Accomoda

1, 5

c redibilit e perfezione nei sottogiochi
Credibilità e perfezione nei sottogiochi
  • Equilibri perfetti nei sottogiochi: gioca un equilibrio in tutti i sottogiochi.
  • Questo implica che i giocatori fanno minacce e promesse che poi hanno un incentivo a rispettare effettivamente.
defini z ion e1
Definizione

Un equilibrio Nashdièperfetto nei sottogiochi se specifica delle strategie di equilibrio Nash in ogni sottogioco proprio di .

In altre parole, i giocatori devono scegliere razionalmente in ogni occasione durante il gioco.

un principio generale
Unprincipio generale
  • L’idea di giocare in modo ottimale ad ogni occasione del gioco è chiamata induzione a ritroso.
  • L’induzione a ritroso induce un equilibrio perfetto nei sottogiochi
  • Nei giochi ad informazione perfetta, si giocano delle risposte ottime ad ogni nodo decisionale.
il gioco in forma n ormal e
Il gioco in forma normale
  • Tre equilibri Nash in strategie pure: {R,ll}, {L,lr}, and {R,rl}.
  • {L,lr} e {R,rl} coinvolgono minacce non credibili.
e sempio 3 stackelberg
Esempio 3: Stackelberg
  • Un impresa per prima stabilisce quanto produrre, successivamente una seconda impresa, dopo aver osservato la decisione della prima, decide a sua volta quanto produrre.
  • E’ un gioco ad informazione perfetta
  • La strategia dell’impresa che muove per seconda è una funzione.
calcolo degli equilibri per i giochi con un continuo di possibili strategie
Calcolo degli equilibri per i giochi con un continuo di possibili strategie
  • Uso del calcolo differenziale per massimizzare l’utilità e risolvere i giochi
  • Equilibrio come soluzione di condizioni del primo e secondo ordine.
concorrenza nelle q uantit tra due imprese
Concorrenza nelle quantità tra due imprese
  • Concorrenza alla Cournot
  • L’equilibrio di Cournot si colloca tra monopolio e concorrenza perfetta
slide51

Concorrenza alla Cournot tra due imprese

Funzione di domanda: P = 130 - Q se Q  130 = 0 altrimenti

Quantità di mercato: Q = x1 + x2 + … + xn = xi

Vettore delle quantità individuali:x= (x1, x2, … , xn) dove xi rappresenta la quantità dell’impresa i

 Perciò per un mercato con due imprese Q = x1+ x2ex= (x1, x2)

Costo marginale costante = c

slide52

Concorrenza alla Cournot

Profitti dell’impresa i:

ui(x)= ricavi - costi

= Pxi - cxi

= (P - c)xi

 u1(x)= (P - c)x1 e u2(x)= (P - c)x2

calcolo della funzione di risposta ottima
Calcolo della funzione di risposta ottima

Funzione di vincita dell’impresa i:

ui(x)= (P - c)xi

Condizioni del primo ordine:

L’impresa 1 massimizza il suo profitto producendo fino al punto in cui il profitto marginale è nullo: 0 = u1/x1 = (P - c) + x1P/x1

 0 = (120 - x1 - x2) + x1(-1)

 0 = 120 - 2x1 - x2

slide54

La funzione di risposta ottima nella concorrenza alla Cournot

  • La condizione del primo ordine per l’impresa 1 è:

2x1 + x2 = 120

  • Risolvendola per x1in funzione di x2otteniamo la funzione di risposta ottima dell’impresa 1:

x1 = f1(x2) = 60 - x2/2

  • Analogamente, la funzione di risposta ottima dell’impresa 2 è:

x2 = f2(x1) = 60 - x1/2.

slide55

L’equilibrio di Cournot x*

x2

120

x2 = f2(x1) = 60 - x1/2

(40, 40) = x*

0

x1

0

120

x1 = f1(x2) = 60 - x2/2

concorrenza perfetta con due imprese
Concorrenza perfetta con due imprese
  • Prezzo uguale al costo marginale
  • In questo mercato il costo marginale = c = $10
  • Q = 130 - P = 130 - 10 = 120
  • x* = (60, 60)
  • Il profitto per ogni impresa è
  • (10 - 10)  60 = 0.
equilibri o di monopolio per due imprese
Equilibrio di monopolio per due imprese
  • Un monopolista massimizzerà il profitto totale:

u = u1 + u2 = (P - c) Q

 u = (120 - Q) Q

  • Condizioni del primo ordine per massimizzare il profitto totale:

 0 = u/Q = 120 - 2Q

 Q* = 60 and

profitti totali = (120-60)  60 = $3600

concorrenza alla cournot concorrenza perfetta e monopolio
Concorrenza alla Cournot, concorrenza perfetta e monopolio

La concorrenza alla Cournot tra due imprese ha un equilibrio che si colloca tra monopolio e concorrenza perfetta

slide59

Caratteristiche dell’equilibrio di Cournot

  • Il monopolio è associato al prezzo più alto, la minore quantità e il profitto più alto
  • La concorrenza perfetta è associata al prezzo più basso, la quantità più alta e a un profitto nullo
  • L’equilibrio di Cournot si colloca in una posizione intermedia rispetto a tutte e tre queste dimensioni.
slide60

Caratteristiche dell’equilibrio di Cournot

P

$130

Equilibrio di monopolio

$70

Equilibrio di Cournot

$50

Equilibrio di concorrenza perfetta

$10

Q

60

80

120

concorrenza alla cournot con molte imprese
Concorrenza alla Cournot con molte imprese
  • Profitto dell’impresa i:ui(x)= (P - 10)xi
  • Poiché tutte le imprese fronteggiano gli stessi costi e vendono lo stesso prodotto, il gioco è simmetrico. Quindi la strategia di massimizzazione del profitto sarà la stessa per tutte le imprese.
  • Consideriamo una generica impresa i.
concorrenza alla cournot con molte imprese1
Concorrenza alla Cournot con molte imprese
  • L’impresa i desidera massimizzare il profitto ui(x)= (P - 10)xi
  • Condizioni del primo ordine:

0 = ui/xi = (P - 10) + xi(P/xi)

= 120 - xs- xi

Per simmetria, xs = nxi

 0 = 120 - (n+1) xi

xi* = 120/(n+1)

concorrenza alla cournot con molte imprese2
Concorrenza alla Cournot con molte imprese
  • Quantità di mercato: Q* = x1 = nx1 = 120n/(n+1)

prezzo di mercato:

P* = 130 - Q*

=130 - [120n/(n+1)]

  • n    P* = $10 and Q* = 120
  • L’equilibrio di Cournot coincide con l’equilibrio di concorrenza perfetta quando il numero di imprese tende ad infinito.
concorrenza di prezzo tra due imprese il modello di bertrand
Concorrenza di prezzo tra due imprese: il modello di Bertrand
  • La concorrenza di prezzo è diversa dalla concorrenza nelle quantità
  • La concorrenza di prezzo porta al prezzo uguale al costo marginale con appena due imprese.
slide68

Concorrenza di prezzo tra due imprese

Domanda di mercato: Q = 130 - P

Vettore dei prezzi: p= (p1, p2) dovep1 e p2sono i prezzi rispettivamente dell’impresa 1 e dell’impresa 2

xi(p) è la domanda fronteggiata dall’impresa i

Profitto dell’impresa i: ui(p) = (pi - c) xi(p)

slide69

Le domande fronteggiate dalle due imprese

La curva di domanda dell’impresa 1:

x1(p) = 130 - p1 se p1 < p2 = (130 - p1)/2 se p1 = p2 = 0 se p1 > p2

La curva di domanda dell’impresa 2:

x2(p) = 130 - p2 se p2 < p1 = (130 - p2)/2 se p2 = p1 = 0 se p2 > p1

slide70

La curva di domanda fronteggiata dall’impresa 1

P1

x1 = 0

x1 = 65 - P1/2

P2

x1 = 130 - P1

0

x1

0

130

l equilibrio nel modello di bertrand
L’equilibrio nel modello di Bertrand

Se n è maggiore o uguale a 2, tutti i prodotti sono sostituti perfetti e nessuna impresa ha un vantaggio di costo, allora nell’equilibrio del gioco di Bertrand il prezzo è uguale al costo marginale.

differen z ia zione del prodotto
Differenziazione del prodotto

La caratteristica comune a tutti i modelli con differenziazione del prodotto è che se il prezzo è leggermente maggiore del prezzo medio di mercato, un’impresa non perde tutta la domanda per i suoi prodotti.

concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto
Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto
  • La funzione di domanda fronteggiata dall’impresa 1:

x1(p) = 180 - p1 - (p1 – prezzo medio)

  • La funzione di domanda fronteggiata dall’impresa2:

x2(p) = 180 - p2 - (p2 – prezzo medio)

concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto1
Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto
  • Profitto dell’impresa 1:

u1(p1,p2) = (p1 - 20) x1

= (p1 - 20) (180 - 2p1 + prezzo medio)

= (p1 - 20) (180 - 1.5p1 + 0.5p2)

  • Profitto dell’impresa 2:

u2(p1,p2) = (p2 - 20) (180 - 1.5p2 + 0.5p1)

concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto2
Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto

Condizioni del primo ordine per la massimizzazione del profitto dell’impresa 1:

0 = u1/p1

= (p1 - 20) (-1.5) + (180 - 1.5p1 + 0.5p2)

 0 = 210 - 3p1 + 0.5p2

Funzione di risposta ottima dell’impresa 1:

p1 = f1(p2) = 70 + p2/6

Analogamente, funzione di risposta ottima dell’impresa 1 :

p2 = f2(p1) = 70 + p1/6

slide76

Equilibrio con concorrenza di prezzo tra due imprese e differenziazione del prodotto

p1 = f1(p2) = 70 + p2/6

p2

p2 = f2(p1) = 70 + p1/6

p* = (84, 84)

p1

equilibri o con differenziazione del prodotto
Equilibrio con differenziazione del prodotto
  • L’equilibrio si trova in corrispondenza del vettore di prezzi (84, 84)
  • Il prezzo di mercato è quindi 84, significativamente più alto del costo marginale, che è 20
  • Ogni impresa vende (180 - 84) = 96
  • Il profitto di ciascuna impresa è = (84 - 20)  96

= 6144

  • Di conseguenza ogni impresa può spendere più di 6000 per differenziare il proprio prodotto, ed averne ancora un vantaggio per il profitto.