§12 ． 8 二阶常系数齐次线性微分方程

1. §12．8 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 特征方程及其根 特征方程的根与通解的关系 求通解的步骤 n阶常系数齐次线性微分方程

2. 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程： 寻找可能的解： 方程 y+py+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方 程，其中p、q均为常数． 将y=erx代入方程 y+py+qy=0 得 (r2+pr+q)erx=0． 由此可见，只要r满足代数方程 r2+pr+q=0， 函数y=erx就是微分方程的解． 如果y1、y2是二阶常系数齐 次线性微分方程的两个线性无关 解，那么 y=C1y1+C2y2 就是它的通解．

3. 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程： 特征方程及其根： 方程 y+py+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方 程，其中p、q均为常数． 方程 r2+pr+q=0 叫做微分方程 y+py+qy=0 的特征方程． 如果y1、y2是二阶常系数齐 次线性微分方程的两个线性无关 解，那么 y=C1y1+C2y2 就是它的通解． 特征方程的两个根r1、r2可 用公式 求出．

4. 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y+py+qy=0的通解 特征方程的根与通解的关系： 两个不相等的实根r1、r2

5. 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y+py+qy=0的通解 特征方程的根与通解的关系： 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2

6. 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y+py+qy=0的通解 特征方程的根与通解的关系： 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=a ib， y=eax(C1cos b x+C2sin b x)． 这是因为y=是方程的解， y eax(cos bxi sin b x)， 可以验证，y1=eaxcos b x、y2=eaxsin b x是方程的线性无关解．

7. 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y+py+qy=0的通解 特征方程的根与通解的关系： 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=a ib， y=eax(C1cos b x+C2sin b x)． 求二阶常数系数齐次线性微分方程的通解的步骤： 第一步 写出微分方程的特征方程 r2+pr+q =0 第二步 求出特征方程的两个根r1、r2． 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况，按照写出微分 方程的通解．

8. 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y+py+qy=0的通解 特征方程的根与通解的关系： 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=a ib， y=eax(C1cos b x+C2sin b x)． 例1求微分方程y-2y-3y=0的通解． 解 所给微分方程的特征方程为 r22r30， 其根r 11，r 23是两个不相等 的实根，因此所求通解为 yC1exC2e 3x．

9. 的特解． 解 所给方程的特征方程为 r22r10， 其根r1r21是两个相等的实根， 因此所微分方程的通解为 s(C1C2t)et． 将初始条件s|t=0=4代入通解，得 C14，从而 s(4C2t)et． 将上式对t求导，得 s(C24C2t)et． 将初始条件s|t=0=-2代入上式， 得 C22． 于是所求特解为 s(42t)et．

10. 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y+py+qy=0的通解 特征方程的根与通解的关系： 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=a ib， y=eax(C1cos b x+C2sin b x)． 例 3求微分方程y-2y+5y= 0的通解． 解 所给方程的特征方程为 r22r50， 其根r1, 212i为一对共轭复根．因此所求通解为 yex(C1cos 2xC2sin 2x)．

11. n阶常系数齐次线性微分方程： 方程 y(n) + p1y(n-1)+p2 y(n-2) + · · · + pn-1y+pny = 0， 称为n阶常系数齐次线性微分方程，其中p1， p2 ，· · · ，pn-1，pn 都是常数． 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形 式，可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去． n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程为 rn+ p1rn-1+p2 rn-2 + …+ pn-1r+pn= 0．

12. 例6求方程y(4)- 2y+ 5y= 0 的通解． 解 这里的特征方程为 r42r35r20，即r2 (r22r5)0， 它的根是r1r20和r3, 412i．因此所给微分方程的通解为 yC1C2xex(C3cos 2xC4sin 2x)．