بسم الله الرحمن الرحیم

1. بسم الله الرحمن الرحیم

2. موضوع :سیستم اعداد (دستگاههای شمار ) استاد جناب آقای ارکیان دانشجو مهدی زارعی مرکز تربیت معلم شهید مدرس سنندج نیمسال دوم 1390

3. فهرست مطالب 1 – مقدمه الف ) سیستم اعداد دهدهی 2 - سیستم اعداد ب ) سیستم اعداد دو دویی ج ) سیستم اعداد هشت تایی د ) سیستم اعداد شانزده تایی 3 – تبدیل مبنا الف ) تبدیل اعداد دهدهی صحیح به دو دویی و برعکس ب ) تبدیل اعداد دهدهی اعشاری به دو دویی و برعکس الف ) تبدیل اعداد مبنای 2 به مبنای 4 و برعکس 4- تبدیل مستقیم مبناها ب ) تبدیل اعداد مبنای 2 به مبنای 8 و برعکس ج ) تبدیل اعداد مبنای 2 به منای 16 و برعکس د) تبدیل اعداد از مبنای 3 به مبنای 9 و برعکس ه ) تغییر مبنا در اعداد اعشاری 5 – چهار عمل اصلی در مبناهای مختلف : جمع ، تفریق ، ضرب و تقسیم 6- منابع

4. مقدمه چرا بشر برای شمردن ، مبنا دهی را انتخاب کرد ؟ یعنی مبنایی که واحد هر مرتبه آن ده برابر مرتبه قبلی است مثلاً واحد مرتبه هزار ده برابر واحد مرتبه صدگان و واحد مرتبه صدگان ده برابر مرتبه دهگان است. تقریباً دانشمندان و پژوهندگان علت را در این واقعیت می دانند که انسان ده انگشت دارد. پس چرا قبیله هایی در آفریقا وجود دارند که مبنای شمار آنها بر پایه 7 می باشد یا قبیله ای در فیلیپین مبنای شمار را بر2 برگزیده بودند؟ کاری به گذشته نداریم امروزه نیاز علم و صنعت به ویژه در کامپیوتر ایجاب می کند که مبنای دوگانه را برگزینیم مبنای که در آن فقط ارقام صفر و یک وجود دارد این ضرورت علمی مبحثی بنام (( مبنای شمار ))در ریاضی را می گشاید که ما به اختصار به آن اشاره می کنیم

5. یاد آوری را می توان بصورت زیر نوشت N = 123/45 مثال 1 : بسط عدد همانطور که میدانید عدد 10 را مبنا یا پایه این اعداد می نامند. دقت کنید که هر یک از رقم ها از مبنا کوچکتر است. به چند رقم نیاز داریم a برای نوشتن عددها در مبنای بزرگترین و کوچکترین آنها کدامند؟ آیا درست است که بگوییم که مبنای شمار 7 باشد به ارقام (6 ، .... ، 2 ، 1 ، 0 ) نیازمندیم ؟ در این بحث با پنج مسأله اصلی زیر مواجه هستیم: نوشته شده است این عدد را در مبنای دهدهی بنویسید. a در مبنای N اول : عدد چگونه است.a در مبنای دهدهی نوشته شده است نمایش این عدد درمبنایNدوم : عدد بنویسید. b مفروض است این عدد را در مبنای a در مبنای N سوم : عدد چهارم : چهار عمل اصلی در مبناهای مختلف چگونه انجام میشود. پنجم : مقدمه ای در رابطه با تغییر مبنا در اعداد اعشاری

6. سیستم اعداد

7. مثال 1) بسط عدد 45 / 123N= 123/45 = 1 × 102 + 2 × 101 + 3 × 100 + 4 × 10-1 + 5 × 10-2 الف ) سیستم اعداد دهدهی سیستم اعداد دهدهی یکی از سیستم های متداول است که همگان روزانه با آن سر و کار دارند در این سیستم هر عدد می تواند ترکیبی از ارقام 0 تا 9 باشد هر عدد در سیستم دهدهی را بنابر آنچه گفته شد می توان به صورت زیر نمایش داد K ب ) سیستم اعداد دو دویی (B = 2) در این سیستم مبنای اعداد ، 2 است لذا هر عدد در این سیستم می تواند ترکیبی از ارقام 0 و 1باشد مانند 111 ، 1011 ، 10001111 شکل کلی اعداد این سیستم به صورت است. K

8. جدول 1- 1 : معادل دو دویی ارقام دهدهی را نمایش می دهد

10. تبدیل مبناچون در سیستم های کامپیوتری با مبنای 2 و 16 سرو کار داریم ، لازم است.چگونگی تبدیل مبنا های مذکور به یکدیگر را مطالعه کنیم. تبدیلاتی که مورد بحث قرار می گیرند بیشتر عبارتند از : دهدهی به دو دویی و برعکس ، هشت تایی به دو دویی و بر عکس، هگزادسیمال به دو دویی و برعکس و غیره تبدیل اعداد دهدهی صحیح به دو دویی و برعکس برای تبدیل اعداد صحیح دهدهی به دو دویی از روش تقسیم متوالی استفاده می شود. در این روش ، عدد دهدهی بر 2 تقسیم می شود و باقیمانده و خارج قسمت محاسبه می گردند . اگر خارج قسمت صفر نباشد ، خارج قسمت بر 2 تقسیم خواهد شد و این روند تا صفر شدن خارج قسمت ادامه می یابد . باقیمانده های ایجاد شده از هر تقسیم نگهداری می شود و از آخرین باقیمانده به اولین باقیمانده در کنار هم نوشته می شوند عدد حاصل در مبنایی 2 خواهد بود بدیهی است که تقسیم به صورت صحیح انجام می شود.(خارج قسمت اعشاری نیست)

12. تبدیل اعداد اعشاری دهدهی به دو دویی و برعکس برای تبدیل اعداد اعشاری مبنای 10 به 2 باید قسمت صحیح و اعشاری را جداگانه به مبنایی 2 تبدیل کرد. برای تبدیل قسمت صحیح از روش تقسیم متوالی بر 2 و برای تبدیل قسمت اعشاری ، از روش ضرب متوالی در 2 استفاده می گردد. در روش ضرب متوالی در ، قسمت اعشار در 2 ضرب شده ، قسمت صحیح حاصل نگهداری می شود و این روند برای قسمت اعشاری به صفر برسد. سپس قسمت های صحیح حاصل را کنار هم می نویسیم . عدد حاصل تبدیل مبنای 2 قسمت اعشاری است .با تلفیق قسمت اعشاری و قسمت صحیح ، عدد به طور کامل به مبنای دو تبدیل می شود.

13. برای تبدیل اعداد اعشاری مبنای 2 به مبنای 10 از بسط عدد استفاده میکنیم

14. تبدیل مستقیم مبنا ها:آیا می توان بدون استفاده از تبدیل مبنای 10 را به مبنای دیگر برد؟ جواب در مورد بعضی از مبناها درست استمانند تبدیل مبناهای 2 به 4 ، 2 به 8 ، 2 به 16 ، 3 به 9 و برعکس تبدیل اعداد مبنای دو به مبنای چهار و برعکس 16 تایی 8 تایی 4 تایی 2 تایی 1 تایی 1 1 0 1 1 مثال 1) عدد 2(11011)را در نظر می گیریم این عدد به صورت

16. تبدیل اعداد مبنای دو به مبنای هشت و برعکس بزرگترین رقم مبنای هشت ، 7است در جدول 2-1 این رقم معادل111 در مبنای دو است. می توان استنباط کرد که هر رقم مبنای هشت معادل سه رقم مبنای دو است و هر سر رقم در مبنای دو معادل یک رقم در مبنای هشت است. برای تبدیل یک عدد مبنای دو به مبنای هشت ، باید رقم های عدد را از سمت راست ، سه رقم سه رقم جدا کرد وبه جای هر سه رقم مبنای دو ، یک رقم مبنای هشت قرار داد.(مطابق جدول 2-1)چنانچه تعداد ارقام – مضربی از سه نباشد باید به تعداد لازم در سمت چپ عدد ، صفر اضافه کرد.

18. تبدیل اعداد مبنای دو به مبنای شانزده و برعکس این تبدیلات مشابه تبدیلات مبنای دو به هشت و برعکس می باشند . با این تفاوت که هر رقم مبنای شانزده معادل چهار رقم مبنای دو است و هر چهار رقم مبنای دو معادل یک رقم مبنای شانزده است مبنای

19. تبدیل اعداد ازمبنای 3 به 9 و برعکس برای تبدیل مبنای 3 به 9و بر عکس به صورت زیر عمل میکنیم

20. تغییر مبنا در اعداد اعشاری برای تغییر مبنا به مبنای دو یا مبناهای دیگر در اعداد اعشاری قسمت اعشاری را در مبنای مورد نظر 2 یا 3 یا . .. ضرب می کنیم و این کار را آنقدر ادامه می دهیم تا به عدد صحیح برسیم یا به دوره گردش ، بعد ضرب کردن را متوقف می کنیم و اعداد صحیح که بوجود می آیند را می نویسیم

21. را به مبنای 10 ببرید(10001/011)2مثال 5) عدد

22. چهار عمل اصلی در مبناهای مختلف 1)جمع برای جمع در مبنای شمار مانند جمع در مبنای دهدهی ، اعداد را زیر هم می نویسیم به طوری که رقمهای مرتبه اول در یک ستون قرار گیرند.تمام ارقام مرتبه اول را با هم جمع میکنیم اگر حاصلجمع از مبنا کوچکتر باشد ان را می نویسیم و اگر برابر مبنا شد و یا از مبنا بزرگتر شد انقدر مبنا ویا مضارب مبنا را از حاصل جمع بر می دارم تا باقیمانده از مبنا کوچکتر شود باقیمانده را نوشته و برای انکه حاصل تغییر نکند به ازای هر مبنا که بر می داریم در ستون بعد یک واحد اضافه می کنیم.

23. 2) تفریق : باز هم مانند تفریق در مبنای دهدهی عمل میکنیم بااین تفاوت که اگر رقم مفروق منه (رقم بالایی) کمتر از رقم نظیرش از مفروق باشد یک مبنا به رقم مفروق منه می افزاییم و تفریق می کنیم. 3از 6 کوچکتر است از رقم 7تایی یعنی 4 یک واحد کم می کنیم.(که برابرهفت است) و به رقم یکی اضافه می کنیم (ده منهای 6 برابر4شد) و به همین ترتیب

24. جمع وتفریق در مبنای 16: جمع و تفریق در این مبنا مانند 2 و 10 است با این تفاوت که در این مبنا به جای 10 بر یک و 2 بر یک ،16 بر یک خواهیم داشت این کار وقتی انجام می شود که حاصل جمع دو رقم مساوی و یا بیشتر از 16 باشد. مثال چند عمل جمع و تفریق در مبنا

25. ضرب و تقسیم در مبنای 2 ضرب وتقسیم در مبنای 2 مانند ضرب و تقسیم در مبنای 10 است. ضرب یک عدد در عددی با مبنای غیر از ده برای ضرب یک عدد در عددی با مبنای غیر از ده چنین عمل میکنیم :

26. منابع 1) بابلیان ، اسماعیل ، (1389) آنالیز عددی 1 (رشته ریاضی) ،انتشارات دانشگاه پیام نور 1381، چاپ هفدهم ، تهران 2) جعفر نژاد قمی، عین الله و کریم پور ، انیس (1389) مبانی کامپیوتر و الگوریتم ها، نشر علوم رایانه 1385 ، چاپ نوزدهم ، بابل 3) گروه ریاضی (1377) کارشناس گروههای آموزشی آموزش عمومی ، بولتن آموزشی ، دستگاههای شمار ، شماره 1 ، مهرماه 1377

27. گردهم آمدن فقط شروع است • همبستگی، پیشرفت وهمکاری موفقیت است • هنری فورد • پایان