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  1. Istituto di Istruzione Secondaria Superiore “ G.G. Adria” Lavoro di gruppo Prodotti notevoli Prof.ssa Erminia Conti Prof.ssa Caterina Piccione Prof.ssa Dora Giacalone prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  2. I Prodotti Notevoli • Quadrato di binomio • Cubo di binomio • Quadrato di polinomio • Potenza n-esima di binomio • Somma per differenza • Altri prodotti notevoli prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  3. Quadrato di un Binomio • Cerchiamo la regola • La regola • Il significato geometrico • Esempi • Esercizi proposti prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  4. Quadrato di binomio:significato algebrico (a+b)2 = (a+b) (a+b) = = a2+ab+ab+b2 = = a2+2ab+b2 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  5. Quadrato di binomio:la regola ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 • Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: • il quadrato del 1° monomio • il doppio prodotto del 1° monomio per il 2° • il quadrato del 2° monomio prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  6. (a + b) (a + b)2 ab b2 a2 ab a b Quadrato di binomio: significato geometrico (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  7. Quadrato di binomio:esempi (2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2 (2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2 (3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) +(+2b)2 = 9a2 +12ab +4b2 (3a -2b)2 = (3a)2 +2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 - 12ab +4b2 (-3a -2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2 +12ab +4b2 (-3a+2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2 -12ab+4b2 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  8. (3a + 5)2 = (2a - 3b)2 = (-2a – 3b)2 = (x2 + 3y)2 = (5x – 3y)2 = (5a2 + 2b2)2 = (-3x3 – 2y2)2 = (2xy – 3y)2 = (7ab – 2a)2 = Quadrato di binomio:esercizi 9a2 + 30 a + 25 4a2 - 12 ab + 9b2 4a2 + 12 ab + 9b2 x4 + 6 x2y + 9y2 25x2 – 30xy + 9y2 25a4 + 20 a2b2 + 4b4 9x6 + 12 x3y2 + 4y4 4x2y2 - 12 xy2 + 9y2 49a2b2 - 28 a2b + 4a2 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  9. Quadrato di binomio: esercizi prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  10. Cubo di un Binomio • Cerchiamo la regola • La regola • Il significato geometrico • Esempi • Esercizi proposti prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  11. Cubo di binomio:significato algebrico (a+b)3 = (a+b)2 (a+b) = = (a2+2ab+b2) (a+b) = = a3+a2b+2 a2b+2ab2+ab2+b3= = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  12. Cubo di binomio:la regola ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 • Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: • il cubo del 1° monomio • il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2° • il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2° • il cubo del 2° monomio prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  13. Cubo di binomio:significato geometrico (a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  14. Cubo di binomio:esempi (2a+b)3 = (2a)3 +3(2a)2(+b) +3(2a)(+b)2 +(+b)3 = = 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3 (2a - b)3 = (2a)3+3(2a)2(-b)+3(2a)(-b)2 +(-b)3 = = 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3 (-3a -2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 = = -27a3 - 54a2 b - 36ab2 - b3 (-3a +2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b)3 = -27a3 + 54a2 b - 36ab2 + b3 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  15. (2a + 1)3 = (3a - b)3 = (-2x - 3y)3 = (a2 + 3b)3 = (a - 3b)3 = (a2 + 2b2)3 = (3a3 - 2b2)3 = (2ab - 3b)3 = Cubo di binomio:esercizi 8a3+12a2+6a+1 27a3-27a2b+6ab2-b3 -8x3-36x2y-54xy2-27y3 a6+9a4 b+27a2b2+27b3 8a3-36a2 b+54ab2 -27b3 a6+6a4 b2+12a2b4+8b6 27a9-54a6b2+36a3b4-8b6 8a2b2-36a2 b3+54ab3-27b3 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  16. Cubo di binomio:esercizi prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  17. Quadrato di un Polinomio • Cerchiamo la regola • La regola • Il significato geometrico • Esempi • Esercizi proposti prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  18. Quadrato di polinomio:significato algebrico (a+b+c)2 = (a+b+c) (a+b+c) = = a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 = = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  19. Quadrato di polinomio:la regola (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc • Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: • il quadrato di tutti i termini • il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  20. ac bc c2 ab b2 bc ab a2 ac a b c Quadrato di polinomio:significato geometrico (a+b+c)2 (a+b+c) (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  21. Quadrato di polinomio: esempi (2a + b + 3c)2 = =(2a)2+(+b)2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c) = 4a2 + b2 + 9c2 + 4ab + 12ac + 12bc (2a - b - c)2 = = (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)= = 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc (-3a - 2b + c )2 = =(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c) = 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  22. (2a + 2b + 7)2 = (3a - 4b - 2c)2 = (-2x - 3y + 1)2 = (a2 + 3b - c)2 = (5a + 2b + c)2 = (-3a3+2b2+1)2= (2ab - 3b - 2)2 = (7xy - 2x - 1)2 = Quadrato di polinomio: esercizi 4a2+4b2+49+8ab+24a+24b 9a2+16b2+4c2-24ab-12ac+16bc 4x2+9y2+1+12 xy - 4x - 6y a4+9b2+c2 + 6a2b - 2a2c - 6bc 25a2+4b2+c2 +20ab+10ac+4bc 9a6 +4b4+1 - 12a3b2- 6a3+4b2 4a2b2 +9b2+4-12ab2-8ab+12b 49x2y2+4x2+1- 28 x2y -14xy+4x prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  23. Potenza n-esima di Binomio • Cerchiamo la regola • Triangolo di Tartaglia • La regola • Esempi • Esercizi proposti prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  24. Potenza n-esima di binomio:cerchiamo una regola • (a+b)0 = 1 • (a+b)1 = a+b • (a+b)2 = a2+2ab+b2 • (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 • (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 • (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 • (a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 • lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini • i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali • in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da an ad a0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b0=1 a bn • i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto“ Triangolo di Tartaglia” prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  25. Potenza n-esima di binomio:Triangolo di Tartaglia • (a+b)0 = 1 • (a+b)1 = 1 1 • (a+b)2 = 1 2 1 • (a+b)3 = 1 3 3 1 • (a+b)4 = 1 4 6 4 1 • (a+b)5 = 1 5 10 10 5 1 • (a+b)6 = 1 6 15 20 15 6 1 • In questo prospetto: • ogni riga inizia e termina con 1 • ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga precedente prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  26. Potenza n-esima di binomio:la regola (a+b)n = an+nan-1b + ……. + nabn-1+bn • La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dalTriangolo di Tartaglia. • In pratica, si procede nel seguente modo: • si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono(da 0 ad n) • si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  27. Potenza n-esima di binomio: esempi (a + b)4 = (a)4+4(a)3(+b)+6(a)2(+b)2+4(a)(+b)3+(+b)4 = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a - b)4 = (a)4+4(a)3(-b)+6(a)2(-b)2+4(a)(-b)3+(-b)4 = = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4 (2a+b)5 = =(2a)5+5(2a)4(b)+10(2a)3(b)2+10(2a)2(b)3 +5(2a)(b)4+(b)5 =32a5+5(16a4)(b)+10(8a3)(b2)+10(4a2)(b3)+5(2a)(b4)+b5=32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5 (3a-2b)4 = =(3a)4 +4(3a)3(-2b)+6(3a)2(-2b)2+4(3a)(-2b)3+(-2b)4 = =81a4 +4(27a3)(-2b)+6(9a2 )(+4b2)+4(3a)(-8b3)+16b4= = 81a4 - 216a3b + 216a2b2 - 96ab3 + 16b4 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  28. (2a - b)4 = (a +b)7 = (a - b)7 = (a - b)6 = (a +2b)4 = (a - 2b)4 = (a +2b)5 = (-x - y)5 = Potenza n-esima di binomio: esercizi 16a4 - 32a3b + 24a2b2 - 8ab3 + b4 a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7 a7-7a6b+21a5b2-35a4b3+35a3b4-21a2b5+7ab6-b7 a6- 6a5b +15a4b2 - 20a3b3+15a2b4 - 6ab5+ b6 a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4 a4 - 8a3b + 24a2b2 - 32ab3 + 16b4 a5 +10a4b+ 40a3b2+ 80a2b3 +80ab4+32b5 - x5 - 5x4 y - 10x3y2 - 10x2y3 - 5xy4 - y5 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  29. Somma per differenza • Cerchiamo la regola • La regola • Esempi • Esercizi proposti prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  30. Somma per differenza:significato algebrico (a+b) (a-b) = = a2 - ab + ab - b2 = = a2 - b2 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  31. Somma per differenza:la regola ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  32. Somma per differenza: esempi (2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2 (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2 (3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2 (-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2 (4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2 (-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  33. (2a + 7)(2a - 7)= (3a - 4b)(3a+ 4b) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (a2 + 3b)(a2 - 3b) = (5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a2+2b2)(5a2 -2b2) = (-3a3+2b2)(-3a3-2b2)= (2a + 3b)( -2a + 3b) = (7xy - 2x)( -7xy - 2x)= Somma per differenza: esercizi 4a2 - 49 9a2 - 16b2 4x2 - 9y2 a4 - 9b2 25a2 - 9b2 25a4 - 4b4 9a6 - 4b4 9b2 - 4a2 4x2 - 49x2y2 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  34. Somma per differenza: esercizi [(a+b) - 1] [(a+b) +1] = (a+b)2 - 1 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  35. Altri Prodotti Notevoli • Somma di cubi • Differenza di cubi • La regola • Esempi • Esercizi proposti prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  36. Somma di Cubi:significato algebrico (a+b) (a2 - ab + b2 ) = = a3 - a2b + ab2 + a2b- ab2 + b3 = = a3 + b3 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  37. Differenza di Cubi:significato algebrico (a - b) (a2 + ab + b2 ) = = a3 + a2b + ab2 - a2b- ab2 - b3 = = a3 - b3 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  38. Somma o differenza di cubi:la regola (a+b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine (a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  39. Somma o Differenza di Cubi:esempi (2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = (2a)3 + (b)3 = 8a3 + b3 (2a - b)(4a2 + 2ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a3 - b3 (3a+2b)(9a2- 6ab +4b2)= (3a)3 + (2b)3 = 27a3 + 8b3 (3a - 2b)(9a2+ 6ab +4b2)= (3a)3 - (2b)3 = 27a3 - 8b3 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone

  40. (2a + 7)(4a2 - 14ab + 49)= (3a - 4b)(9a2+12ab+16b2) = (2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = (a2 + 3b)(a4 +9b2 - 3a2b ) = (5a - 3b)(25a2+15ab+9b2) = (x2 + 2y2)(x4 - 2x2y2 + 4y4) = (3a3+ b2)(9a6- 3a3b2 + b4)= (2a + 3b)( 4a2 - 6ab+9b2) = (x - 2y)( x2 +2xy + 4y2)= Somma o Differenza di Cubi: esercizi 8a3 + 343 27a3 - 64b3 8x3 - 27y3 a6 + 27b3 125a3 - 27b3 x6 + 8y6 27a9 + b6 8a2 + 27b2 x3 - 8y3 prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone