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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I. Soluciones de juegos: conceptos de dominación Rafael Salas marzo de 2006. Soluciones de los juegos. Se trata de predecir lo que los jugadores racionales van a hacer, descentralizadamente:

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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universidad complutense de madrid d epartamento de fundamentos del an lisis econ mico i

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Soluciones de juegos:

conceptos de dominación

Rafael Salas

marzo de 2006

soluciones de los juegos
Soluciones de los juegos
  • Se trata de predecir lo que los jugadores racionales van a hacer, descentralizadamente:
    • Proceso de optimización
    • Compatibilidad entre estrategias
  • SOLUCIÓN DE UN JUEGO: perfiles de estrategias óptimos y compatibles
tipos de soluciones
Tipos de soluciones
  • Los basados en principios de dominación
  • Los basados en conceptos de equilibrio
  • Existen conexiones entre ambos tipos de solución
principios de dominaci n i
Principios de dominación I
  • (I) Principio de dominancia estricta
    • Un jugador nunca juega estrategias estrictamente dominadas
  • NOTACIÓN PREVIA
    • Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
    • Dado un perfil de estrategias s=(s1,...,sn)  S=S1xS2x...xSn
    • donde s1S1,..., snSn
    • Simplificadamente denominamos s=(si,s-i)  S
    • Nótese que s-i=(s1,...,si-1, si+1 ,...,sn)  S-i
estrategias estrictamente dominadas
Estrategias estrictamente dominadas
  • DEFINICIÓN
    • Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
    • si es una estrategia estrictamente dominada para el jugador i si existe otra s’i tal que

Ui(s’i,s-i) >Ui(si,s-i), s-i S-i

Es razonable que no use si, pues puede aumentar su utilidad independientemente de lo que haga el resto

4 dilema de los presos
4. Dilema de los presos

JUG 2

CA

CO

2

4

CA

2

0

JUG 1

0

1

CO

4

1

En rojo, estrategias estrictamente dominadas

.

estrategias estrictamente dominante
Estrategias estrictamente dominante
  • DEFINICIÓN
    • Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
    • s’i es una estrategia estrictamente dominante para el jugador i si

Ui(s’i,s-i) >Ui(si,s-i), si s’iSis-i S-i

Nos da paso a una primera solución...

4 dilema de los presos1
4. Dilema de los presos

JUG 2

CA

CO

2

4

CA

2

0

JUG 1

0

1

CO

4

1

En azul, estrategias estrictamente dominantes

.

equilibrio en estrategias estrictamente dominantes eeed
Equilibrio en estrategias estrictamente dominantes EEED
  • SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias estrictamente dominantes EEED
  • (si*,s-i*)es un EEED si y sólo si

Ui(si*,s-i) > Ui(si,s-i), si si*Si, s-i S-i, i

Es decir si y sólo si (si*,s-i*)son estrategias estrictamente dominantes

4 dilema de los presos2
4. Dilema de los presos

JUG 2

CA

CO

2

4

CA

2

0

JUG 1

0

1

CO

4

1

.

4bis oligopolio
4bis. Oligopolio

JUG 2

A

B

1000 , 1000

-200 , 1200

A

JUG 1

1200 , -200

600 , 600

B

.

4bis oligopolio1
4bis. Oligopolio

JUG 2

A

B

1000

1200

A

1000

-200

JUG 1

-200

600

B

600

1200

.

ejemplo 5 halc n paloma
Ejemplo5: Halcón-paloma

JUG 2

H

P

2-k

0

H

2-k

4

JUG 1

4

2

P

0

2

Para k<2

.

ejemplo 9 empresas rivales
Ejemplo9: Empresas rivales

JUG 2

L

NL

40

-50

L

40

100

JUG 1

100

-50

NL

-50

-50

.

propiedades del eeed
Propiedades del EEED
  • Si existe, es único
  • Puede que no exista
    • Ejemplo 5 con k  2
    • Ejemplo10: Jugador 1 tiene dos estrategias puras {s1, s2 } y el jugador 2 tiene tres {t1, t2, t3}. Si U1(si, tj)= ij y U2(si, tj)= (i-2)(j-2) Binmore, p. 131
  • Si existe es muy potente, requiere muy poca información. Por contrapartida es muy restrictivo
principios de dominaci n ii
Principios de dominación II
  • (II) Principio de dominancia débil
    • Un jugador nunca juega estrategias débil dominadas
estrategias d bilmente dominadas
Estrategias débilmente dominadas
  • DEFINICIÓN
    • Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
    • si es una estrategia débilmente dominada para el jugador i si existe otra s’i tal que

Ui(s’i,s-i) Ui(si,s-i), s-i S-i

En ese caso decimos que s’i domina débilmente a si

El jugador no usará si

estrategias d bilmente dominante
Estrategias débilmente dominante
  • DEFINICIÓN
    • Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}.
    • s’i es una estrategia débil dominante para el jugador i si

Ui(s’i,s-i) Ui(si,s-i), si Sis-i S-i

Nos da paso a una nueva solución...

equilibrio en estrategias d bilmente dominantes eedd
Equilibrio en estrategias débilmente dominantes EEDD
  • SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias débilmente dominantes EEDD
  • (si*,s-i*)es un EEDD si y sólo si

Ui(si*,s-i) ≥ Ui(si,s-i), si si*Si, s-i S-i, i

Es decir si y sólo si (si*,s-i*)son estrategias débilmente dominantes

ejemplo 11 eedd m ltiple
Ejemplo 11: EEDD múltiple

JUG 2

L

R

1

1

L

1

0

JUG 1

0

0

R

1

0

.

propiedades del eedd
Propiedades del EEDD
  • De existir, puede ser múltiple (Ejemplo 11)
  • Puede que no exista
    • Ejemplo 5 con k > 2
    • Ejemplo 10 ampliado a más estrategias
    • Ejemplo 1 Batalla de los sexos
    • Ejemplo 2 Juego de las monedas
    • Ejemplo 3
  • Sigue siendo muy restrictivo y por tanto impreciso (aunque menos que EEED).
    • EEED (si existe) implica EEDD (Ejemplo4, 5 k<2, 9)
    • EEDD (si existe) no implica EEED (Ejemplo 10)
  • No obstante, requiere muy poca información.
principios de dominaci n iii
Principios de dominación III
  • (III) Principio de eliminación iterativa estricta
    • Un jugador nunca juega estrategias estrictamente dominadas
    • Todos los jugadores lo saben
    • Se pueden eliminar
    • Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general que el EEED, pero con una racionalidad aceptable...
soluci n
Solución:
  • Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas EEIEED
  • El orden de eliminación no influye en el resultado
  • Si existe, es único
  • Es más general que EEED, pero no que EEDD
ejemplo 12 no eeed ni eedd pero si eeieed
Ejemplo12: no EEED ni EEDD, pero si EEIEED

JUG 2

I

C

D

0

2

1

A

1

1

0

JUG 1

3

1

0

B

0

0

2

.

4 dilema de los presos eeed y eeieed
4. Dilema de los presos EEED y EEIEED

JUG 2

CA

CO

2

4

CA

2

0

JUG 1

0

1

CO

4

1

.

ejemplo 10 eedd y no eeieed
Ejemplo10: EEDD y no EEIEED

JUG 2

t1

t2

t3

1

0

-1

s1

1

2

3

JUG 1

0

0

0

s2

2

4

6

.

principios de dominaci n iv
Principios de dominación IV
  • (IV) Principio de eliminación iterativa débil
    • Un jugador nunca juega estrategias débilmente dominadas
    • Todos los jugadores lo saben
    • Se pueden eliminar (todas las existentes en cada fase)
    • Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general todos los anteriores, pero con una racionalidad dudosa...
soluci n1
Solución:
  • Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas EEIEDD
  • El orden de eliminación si influye en el resultado (para evitarlo quitamos todas las estrategias débilmente dominadas en cada fase)
  • Puede ser múltiple
  • Es más general que EEED, EEDD y que EEIEED
pr ctica soluciona el siguiente ejemplo 15 con los conceptos de equilibrio vistos
Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 15 con los conceptos de equilibrio vistos.

JUG 1

H

T

O

1

-1

3

H

-1

1

1

JUG 2

-1

1

2

T

1

-1

1

.

pr ctica soluciona el siguiente ejemplo 16 con los conceptos de equilibrio vistos
Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 16 con los conceptos de equilibrio vistos.

JUG 2

I

M

D

0

1

-2

U

10

5

4

JUG 1

1

0

-1

D

10

5

1

.

universidad complutense de madrid d epartamento de fundamentos del an lisis econ mico i1

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Soluciones de juegos:

conceptos de dominación

Rafael Salas

marzo de 2006