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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I. Soluciones de juegos: conceptos de dominación Rafael Salas marzo de 2006. Soluciones de los juegos. Se trata de predecir lo que los jugadores racionales van a hacer, descentralizadamente:

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  1. UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Soluciones de juegos: conceptos de dominación Rafael Salas marzo de 2006

  2. Soluciones de los juegos • Se trata de predecir lo que los jugadores racionales van a hacer, descentralizadamente: • Proceso de optimización • Compatibilidad entre estrategias • SOLUCIÓN DE UN JUEGO: perfiles de estrategias óptimos y compatibles

  3. Tipos de soluciones • Los basados en principios de dominación • Los basados en conceptos de equilibrio • Existen conexiones entre ambos tipos de solución

  4. Principios de dominación I • (I) Principio de dominancia estricta • Un jugador nunca juega estrategias estrictamente dominadas • NOTACIÓN PREVIA • Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}. • Dado un perfil de estrategias s=(s1,...,sn)  S=S1xS2x...xSn • donde s1S1,..., snSn • Simplificadamente denominamos s=(si,s-i)  S • Nótese que s-i=(s1,...,si-1, si+1 ,...,sn)  S-i

  5. Estrategias estrictamente dominadas • DEFINICIÓN • Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}. • si es una estrategia estrictamente dominada para el jugador i si existe otra s’i tal que Ui(s’i,s-i) >Ui(si,s-i), s-i S-i Es razonable que no use si, pues puede aumentar su utilidad independientemente de lo que haga el resto

  6. 4. Dilema de los presos JUG 2 CA CO 2 4 CA 2 0 JUG 1 0 1 CO 4 1 En rojo, estrategias estrictamente dominadas .

  7. Estrategias estrictamente dominante • DEFINICIÓN • Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}. • s’i es una estrategia estrictamente dominante para el jugador i si Ui(s’i,s-i) >Ui(si,s-i), si s’iSis-i S-i Nos da paso a una primera solución...

  8. 4. Dilema de los presos JUG 2 CA CO 2 4 CA 2 0 JUG 1 0 1 CO 4 1 En azul, estrategias estrictamente dominantes .

  9. Equilibrio en estrategias estrictamente dominantes EEED • SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias estrictamente dominantes EEED • (si*,s-i*)es un EEED si y sólo si Ui(si*,s-i) > Ui(si,s-i), si si*Si, s-i S-i, i Es decir si y sólo si (si*,s-i*)son estrategias estrictamente dominantes

  10. 4. Dilema de los presos JUG 2 CA CO 2 4 CA 2 0 JUG 1 0 1 CO 4 1 .

  11. 4bis. Oligopolio JUG 2 A B 1000 , 1000 -200 , 1200 A JUG 1 1200 , -200 600 , 600 B .

  12. 4bis. Oligopolio JUG 2 A B 1000 1200 A 1000 -200 JUG 1 -200 600 B 600 1200 .

  13. Ejemplo5: Halcón-paloma JUG 2 H P 2-k 0 H 2-k 4 JUG 1 4 2 P 0 2 Para k<2 .

  14. Ejemplo9: Empresas rivales JUG 2 L NL 40 -50 L 40 100 JUG 1 100 -50 NL -50 -50 .

  15. Propiedades del EEED • Si existe, es único • Puede que no exista • Ejemplo 5 con k  2 • Ejemplo10: Jugador 1 tiene dos estrategias puras {s1, s2 } y el jugador 2 tiene tres {t1, t2, t3}. Si U1(si, tj)= ij y U2(si, tj)= (i-2)(j-2) Binmore, p. 131 • Si existe es muy potente, requiere muy poca información. Por contrapartida es muy restrictivo

  16. Principios de dominación II • (II) Principio de dominancia débil • Un jugador nunca juega estrategias débil dominadas

  17. Estrategias débilmente dominadas • DEFINICIÓN • Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}. • si es una estrategia débilmente dominada para el jugador i si existe otra s’i tal que Ui(s’i,s-i) Ui(si,s-i), s-i S-i En ese caso decimos que s’i domina débilmente a si El jugador no usará si

  18. Estrategias débilmente dominante • DEFINICIÓN • Dado un juego G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un}. • s’i es una estrategia débil dominante para el jugador i si Ui(s’i,s-i) Ui(si,s-i), si Sis-i S-i Nos da paso a una nueva solución...

  19. Equilibrio en estrategias débilmente dominantes EEDD • SOLUCIÓN: Equilibrio en estrategias débilmente dominantes EEDD • (si*,s-i*)es un EEDD si y sólo si Ui(si*,s-i) ≥ Ui(si,s-i), si si*Si, s-i S-i, i Es decir si y sólo si (si*,s-i*)son estrategias débilmente dominantes

  20. Ejemplo 11: EEDD múltiple JUG 2 L R 1 1 L 1 0 JUG 1 0 0 R 1 0 .

  21. Propiedades del EEDD • De existir, puede ser múltiple (Ejemplo 11) • Puede que no exista • Ejemplo 5 con k > 2 • Ejemplo 10 ampliado a más estrategias • Ejemplo 1 Batalla de los sexos • Ejemplo 2 Juego de las monedas • Ejemplo 3 • Sigue siendo muy restrictivo y por tanto impreciso (aunque menos que EEED). • EEED (si existe) implica EEDD (Ejemplo4, 5 k<2, 9) • EEDD (si existe) no implica EEED (Ejemplo 10) • No obstante, requiere muy poca información.

  22. Principios de dominación III • (III) Principio de eliminación iterativa estricta • Un jugador nunca juega estrategias estrictamente dominadas • Todos los jugadores lo saben • Se pueden eliminar • Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general que el EEED, pero con una racionalidad aceptable...

  23. Solución: • Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas EEIEED • El orden de eliminación no influye en el resultado • Si existe, es único • Es más general que EEED, pero no que EEDD

  24. Ejemplo12: no EEED ni EEDD, pero si EEIEED JUG 2 I C D 0 2 1 A 1 1 0 JUG 1 3 1 0 B 0 0 2 .

  25. Ejemplo 13: no EEED ni EEDD, pero si EEIEED JUG 2 I D 2 100 A 0 4 JUG 1 40 0 B 20 8 .

  26. 4. Dilema de los presos EEED y EEIEED JUG 2 CA CO 2 4 CA 2 0 JUG 1 0 1 CO 4 1 .

  27. Ejemplo10: EEDD y no EEIEED JUG 2 t1 t2 t3 1 0 -1 s1 1 2 3 JUG 1 0 0 0 s2 2 4 6 .

  28. Principios de dominación IV • (IV) Principio de eliminación iterativa débil • Un jugador nunca juega estrategias débilmente dominadas • Todos los jugadores lo saben • Se pueden eliminar (todas las existentes en cada fase) • Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más general todos los anteriores, pero con una racionalidad dudosa...

  29. Solución: • Equilibrio por eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas EEIEDD • El orden de eliminación si influye en el resultado (para evitarlo quitamos todas las estrategias débilmente dominadas en cada fase) • Puede ser múltiple • Es más general que EEED, EEDD y que EEIEED

  30. Ejemplo 14: no EEED ni EEDD, ni EEIEED, pero si EEIEDD JUG 2 A B 5 4 A 2 3 JUG 1 3 3 B 3 0 .

  31. Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 15 con los conceptos de equilibrio vistos. JUG 1 H T O 1 -1 3 H -1 1 1 JUG 2 -1 1 2 T 1 -1 1 .

  32. Práctica: soluciona el siguiente ejemplo 16 con los conceptos de equilibrio vistos. JUG 2 I M D 0 1 -2 U 10 5 4 JUG 1 1 0 -1 D 10 5 1 .

  33. UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Soluciones de juegos: conceptos de dominación Rafael Salas marzo de 2006

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