differentiering og funktioner generelt n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Differentiering og funktioner generelt PowerPoint Presentation
Download Presentation
Differentiering og funktioner generelt

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 14

Differentiering og funktioner generelt - PowerPoint PPT Presentation


  • 240 Views
  • Uploaded on

Differentiering og funktioner generelt. Sonny Singh & Julie Meldgaard. Disposition. Udledning af f’(x) Kontinuert Tangentligningen Vendetangent Monotoniforhold og ekstremaer Nulpunkter Værdimængde Sammensatte funktioner Irrationelle funktioner. Udledning af f’(x).

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Differentiering og funktioner generelt' - lee-humphrey


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
differentiering og funktioner generelt

Differentiering og funktioner generelt

Sonny Singh & Julie Meldgaard

disposition
Disposition
  • Udledning af f’(x)
  • Kontinuert
  • Tangentligningen
  • Vendetangent
  • Monotoniforhold og ekstremaer
  • Nulpunkter
  • Værdimængde
  • Sammensatte funktioner
  • Irrationelle funktioner
udledning af f x
Udledning af f’(x)
  • defineret som hældningskoefficienten for en tangent i et bestemt punkt på grafen for en funktion
  • f(x)=axn& f’(x)=naxn-1
  • Eksempel:
  • f(x)=2x2+4x+5f’(x)=2*2x2-1+1*4x1-1+0*5f’(x)=4x+4
kontinuert

Kontinuert

Ikke kontinuert

x

x

Kontinuert

Sammenhængende funktion

tangentligningen
Tangentligningen

Udledning af tangentligningen

Eksempel

Tx0 : y=f’(x0)(x-x0)+f(xo)

f(x)= x3 - 6x2 + 5x

f’(x)= 3x2 - 12x + 5

f’(1) = 3*12 – 12*1 + 5 = 3 – 12 + 5 = -4

f(1)= 13 -6*12 +5*1=0

T1:y = f’(1)(x-1)+f(1) 

y = -4(x-1) + 0 -4x + 4

Hermed har man: y= -4x + 4

Ligningen for en ret linje er y=ax+b

a =

vendetangent
Vendetangent
  • Der hvor en funktion er ens på begge sider af tangenten (ekstrema)
  • Skifter fra konkav til konveks og omvendt.
  • Differentieres to gange – det vil altså sige F’’(x) findes.
  • EKSEMPEL:
  • Bestemmelse af punktet med vendetangent for funktionen: f(x)=x3+12x2-5x-12
  • f’’’(x)=0  vendetangent
  • 3x2+24x-5
  • 6x+24
  • 6x+24=0  6x=-24x=-4  x-værdien
  • (-4)3+12*(-4)2-5*(-4)-12 = -64+192+20-12=200  y-værdien
  • Punktet hedder: (-4,200)
monotoniforhold og ekstremer
Monotoniforhold og ekstremer
  • Hvornår er funktionen voksende og aftagende?
  • Ekstrema f’(x)=0 (vandret tangent)
  • EKSEMPEL
  • f(x)= 13x3-3x2+8x+2
  • f’(x)= x2-6x+8
  • f’(x)=0x2-6x+8=0
  • Sættes ind i nulpunktsformlen. Resultat: x=2 v x=4
  • 3’grads funktion, og den har en positiv a værdi. Derfor er den voksende til at starte med. Derfor er det første ekstrema et max og det næste et minimum.
  • For at finde y-værdiener sætter vi x-værdierne ind i den oprindelige funktion
  • F(2)= 13(2)3-3(2)2+8(2)+2= 8,66
  • F(4)= 13(4)3-3(4)2+8(4)+2= 7,33

Lokalt maksimum i (2,86)Lokalt minimum i (4,73)

grafen starter med at vokse, frem til første ekstrema, og så aftager den, og så vokser den igen. Monotoniforholdene kan derfor nu let findes. Funktionen er voksende i intervallet ]-∞;2]Funktionen er aftagende i intervallet [2;4]Funktionen er voksende i intervallet [4;∞[

nulpunkter
Nulpunkter
  • Der hvor F(x) rammer x aksen
  • Nulpunktsformel: (Nulregel kan benyttes)
  • Eksempel
  • F(x)=x2+2x.
  • x=
  • x=
  • =2
  • x=
  • x= -2 V x=0
  • Parablen rammer altså x-aksen ved -2 og 0
  • L = {-2;0}
v rdim ngde
Værdimængde

Dm(f)= alle de x-værdier, som kan benyttes

Vm(f)= alle de y-værdier, som kan benyttes

Løsning skrives i intervaller

Eksempel:F(x)=x: Dm(f)=[-8;7[ & Vm(f)=[8;7[

Når klammen er lukket indgår tallet i intervallet (Omvendt hvis åben) I dette tilfælde er 8 altså med og 7 er ikke

Koordinatsystem:

Lukket bolle = punktet inkluderesÅben bolle = punktet inkluderes ikke

sammensatte funktioner
Sammensatte funktioner
  • To funktioner ”regnes” ind i hinanden
  • g(f(x))
  • Den indre funktion (den der virker først) kaldes f
  • Den ydre funktion (den der virker sidst) kaldes g
  • EKSEMPEL:
  • f(x) = 3x - 6 g(x) = -2x + 4
  • g(f(x)) = g(3x-6) = -2(3x-6) + 4 = -6x + 12 + 4 = -6x + 16
  • g(f(x))= -6x + 16
irrationelle funktioner
Irrationelle funktioner

Nulreglen benyttes

till gssp rgsm l
Tillægsspørgsmål

1. Redegør for hvordan man bestemmer vendetangentpunktet på en funktion

2. Redegør for begrebet omvendt funktion – og hvilken sammenhæng der er mellem en funktion og dens omvendte funktion.

Du må gerne tage udgangspunkt i en eller flere konkrete funktioner

till gssp rgsm l 1
Tillægsspørgsmål 1
  • F’’(x) (Funktionen differentieres 2 gange)
  • For at finde røringspunkt: F‘‘(x)=0
  • Sætter punktets x koordinat ind i den oprindelige funktion
  • Eksempel
  • f(x) = x3 – 6x2 + 5xf'(x) = 3x2 -12 x + 5 f ''(x) = 6x -12 f''(x) = 06x -12 = 0 6x = 12 x = 2 X værdi sættes ind i f(x)f(2) = 23 – 6*22 + 5*2 = 8 – 24 + 10 = -6røringspunkt = (2,-6)
till gssp rgsm l 2
Tillægsspørgsmål 2

F-1(x): Formel: f-1(x)= (Modsat lineær)

”Én - til - én” funktion (Invertibel)

F-1(x) kan spejles i y=x, Punkt (x,y) på f(x) vil hedde (y,x) på f-1(x).

Eksempel:

F(x)=2x+12

F-1(x)== ½x-6

F(x) = blå F-1(x) = rød