Изследване и развитие на моделите на криви и повърхнини в компютърната графика

1. СПЕЦИАЛИЗИРАН НАУЧЕН СЪВЕТ ПО ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКО МОДЕЛИРАНЕ ПРИ ВАК Изследване и развитиена моделите на криви и повърхнинив компютърната графика Емилиян Г. Петков Д И С Е Р Т А Ц И Я за присъждане на образователната и научна степен ,,Доктор” по научната специалност 01.01.12 ,,Информатика” Научен консултант: доц. д-р Любен И. Цеков

2. Обект на изследването • Тримерни (3D) графични системи (ГС). • Геометрично моделиране (ГМ). • Графични примитиви и инструменти за моделиране в 3D ГС. • Развитие на 3D ГС в областта синтез на изображения. Обект на изследването са моделите на криви иповърхнини в КГ и методите и алгоритмите за моделиране чрез тях на графични обекти в 3D ГС. Модели на криви и повърхнини в съвременните ГС: Bezier, Spline, B-spline, NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline).

3. Цел:Изследване и развитие на моделите на кривите иповърхнините от втора степен в ГМ, които да служат за разработване на графични инструменти за интерактивен дизайн. Задачи: Да се разработят NURBS модели за интерактивно и в реално време моделиране на: Кривите, които се задават с едно общо уравнение от втора степен:елипса, хипербола и парабола; Повърхнините, които се задават с едно общо уравнение от втора степен: елипсоид, елиптичен параболоид, прост хиперболоид, двоен хиперболоид, конус, хиперболичен параболоид, елиптичен цилиндър, параболичен цилиндър и хиперболичен цилиндър. Да се изследват възможностите на 3DГС за разширяване на графичния им инструментариум и да се разработят и внедрят нови графични инструменти, коитоработят на базата на предложените NURBS модели на криви и повърхнини, в 3D ГС за моделиране. Цел и задачи

4. NURBS криви NURBS криваcот степенp се дефинира с векторното уравнение , където и . са B-сплайн функции от степен pдефинирани върху неравномерен възлов вектор: . са радиус-векторите на характеристични точки и - тегла.

5. NURBS повърхнини NURBS повърхнинаSот степенpв uнаправлението и степен q във vнаправлението се дефинира с векторното уравнение , където . B-сплайн функциите са дефинирани върху възловите вектори и , където r = n + p + 1и s = m + q + 1. са радиус-векторите нахарактеристични точки и - тегла.

6. Построяване на базата на сплайн управителна крива. Подчинена повърхнина. Преобразуване до Пач (patch) и Меш (mesh). Лайминг (Liming) Проузър (Prosser) Роджерс (David Rogers) Голдман (Goldman) Тео Павлидис Воуган (Vaughan) Пигъл (Les Piegl)посочва Лий (Lee) Фарин (Farin) Пигъл Компютърни модели за представяне на кривите и повърхнините от втора степен Възприетият подход в 3D ГС за получаването на парабола и хипербола е намирането на сплайн крива от пресичането на кръгов конус с подходяща равнина.

7. Идеята за представяне на кривите от втора степен чрез NURBS криви • Определени от параметрите в скаларно-параметричните уравнения (СПУ); • Определя се точно мястото на контролните върхове и стойностите на техните тегла в NURBS модела на кривата; • Подразделя се получената крива на сегменти (Алгоритъм 2.3); • Определят се: броя на контролните върхове, броя на възлите и възловия вектор. • На базата на броя на сегментите се подразделя NURBS кривата. • Локална модификация; • Нови възможности и по-голяма гъвкавост в моделирането.

8. Представяне на дъга от елипсачрез NURBS крива • Посока на построяване на дъгата (положителна и отрицателна дъга); • Основна идея за решение; • Афинна трансформация на единичната окръжност в елипса; • Алгоритъм за построяване на NURBS дъга от единичната окръжност; • Алгоритъм за построяване на NURBS дъгата от елипсата чрез NURBS дъгата от единичната окръжност.

9. Представяне на дъга от параболачрез NURBS крива Твърдение 2.1 Графиката на дъгата oт параболата е идентична с NURBSкрива (ур. 2.1) от втора степен с контролни върхове с тегла , дефинирана върху възлов вектор .

10. Представяне на дъга от хиперболачрез NURBS крива Твърдение 2.5 За всяка дъга от хипербола, определена от два ъгъла и , където , и параметрите и ,съществува представяне чрез NURBSкрива от втора степен дефинирана върху възлов вектор и трите контролни върха с тегла , където

11. Повърхнини от втора степен са разделени условно в три групи по отношение на методите за тяхното представяне чрез NURBS повърхнини: Елипсоид, параболоид, хиперболоид, двоен хиперболоид и конус; Цилиндри: елиптичен цилиндър, параболичен цилиндър и хиперболичен цилиндър; Хиперболичен параболоид. Частите от повърхнините, които се построяват, се определят от стойностите на параметрите от СПУ. Първите две групи се построяват на базата на NURBS генераторни линия (елиптични, параболични, хиперболични), върху които се извършват: ротация (I-ва група) замитане (II-ра група) Даден е един подход за представяне на повърхнина на хиперболичен параболоид. Представяне на повърхнините от втора степен чрез NURBS повърхнини

12. Представяне на повърхнините от I-ва група чрез NURBS повърхнини Нека да бъде NURBS генераторната крива с контролни върхове с тегла и дефинирана върху възлов вектор. Избираме да лежи в равнината. Кривата завъртаме около оста .За търсената повърхнина получаваме с възлови вектори и . Следва да се определят контролните върхове и теглата им. За . Всички контролни върхове за фиксирано , лежат в равнината . Теглата се определят така , където . (3.1)

13. Представяне на повърхнините от I-ва група чрез NURBS повърхнини ХИПЕРБОЛОИД КОНУС ПАРАБОЛОИД ДВОЕН ХИПЕРБОЛОИД ЕЛИПСОИД

14. Представяне на повърхнините от II-ва група чрез NURBS повърхнини Нека да бъде NURBS генераторната крива с контролни върхове с тегла и дефинирана върху възлов вектор . Избираме да лежи в равнината . Кривата замитаме по направление на оста .За търсената повърхнина получаваме: с възлови вектори и като е броят на сегментите, а избираме така: . Контролните върхове са и . Координатите им определяме така: , където . (3.2)

15. Представяне на повърхнините от II-ва група чрез NURBS повърхнини ХИПЕРБОЛИЧЕН ЦИЛИНДЪР ЕЛИПТИЧЕН ЦИЛИНДЪР ПАРАБОЛИЧЕН ЦИЛИНДЪР

16. Представяне на хиперболичния параболоид чрез NURBS повърхнина • Повърхнината се определя от параметрите aи bот СПУ и два допълнителни: W – широчина (по x), L – дължина (по y). • Разработен е алгоритъм (Алгоритъм 3.2) за подразделяна на NURBS биквадратна повърхнина.

17. Представяне на хиперболичния параболоид чрез NURBS повърхнина Резултатите, които получаваме за контролните върхове, които определят повърхнината, са както следва:

18. Прилагане на NURBS моделитев 3D ГСГМ Autodesk 3ds Max Основни етапи • Възможност за функционално разширяване и избор на 3D ГС Autodesk 3ds Max. • Избор на софтуерен инструментариумза разработване на специализираните софтуерни модули (ССМ) – плъгини (от англ. plugins): MaxScript. • Графичен потребителски интерфейс на ССМ. • Функции създаващи новите NURBS модели в ССМ. • Интерактивно създаване на NURBS обектите в различните изгледи на ГС. Сравнителен анализ на работата на ССМ Основните характеристики, които се следят са: • брой на стъпките при конструиране; • време за конструиране; • възможност за локална модификация; • брой на контролните върхове; • ниво на визуализация (само за повърхнините).

19. Дъги от парабола NURBS Parabolical Arc • 3 стъпки при конструирането; • 75 секунди; • NURBSкрива с 37 контролни върхове. • 1 стъпка за създаване; • 5 секунди (15 пъти по-бързо); • NURBS крива с 3, 5, 7 и т.н. контролни върхове. • Лека локална модификация.

20. Дъги от хипербола NURBS Hyperbolical Arc • 3 стъпки при конструирането; • 75 секунди; • NURBSкрива с 31 контролни върхове. • 1 стъпка за създаване; • 5 секунди (15 пъти по-бързо); • NURBS крива с 3, 5, 7 и т.н. контролни върхове. • Лека локална модификация.

21. Повърхнини от елипсоид NURBS Ellipsoid • 5 стъпки при конструирането; • 45 секунди; • NURBSповърхнина с 1280 контролни върхове. • 1 стъпка за създаване; • 5 секунди (9 пъти по-бързо); • NURBS повърхнина с 9, 15, 25 и т.н. контролни върхове. • Лека локална модификация.

22. Повърхнини от параболоид NURBS Paraboloid • 6 стъпки при конструирането; • 180 секунди; • NURBSповърхнина с 2560 контролни върхове. • 1 стъпка за създаване; • 5 секунди (36 пъти по-бързо); • NURBS повърхнина с 9, 15, 25 и т.н. контролни върхове. • Лека локална модификация.

23. Повърхнини от хиперболоид NURBS Hyperboloid • 6 стъпки при конструирането; • 240 секунди; • NURBSповърхнина с 4864 контролни върхове. • 1 стъпка за създаване; • 5 секунди (48 пъти по-бързо); • NURBS повърхнина с 9, 15, 25 и т.н. контролни върхове. • Лека локална модификация.

24. Рендерирани изображенияна повърхнини получени чрез ССМ NURBS Hyperbolic Paraboloid NURBS Paraboloid NURBS Ellipsoid NURBS Hyperboloid

25. Обобщени резултатиот сравнителния анализ Представените модели, алгоритми и ССМ позволяват кривите и повърхнините да се създават: • с брой на стъпките – 1, а при другите подходи – 3 - за кривите, и 5 и 6 - за повърхнините; • в реално време – за около 5 секунди, което е от 9 до 48 пъти по-бързо от другите подходи; • с отлична възможност за локална модификация; • с минимизиран брой на контролните върхове: 3 - за кривите и 9 - за повърхнините, а при другите подходи от 31 до 73 - за кривите и от 256 до 4864 - за повърхнините; това показва, че в определени случаи (при повърхнините) се постига 540 пъти по-малък брой на контролните върхове; • с отлична визуализация при рендериране (за повърхнините).

26. Апробация на резултатите Дванадесетте плъгина са одобрени и приети от HighEnd3D и са достъпни за изтегляне както следва: NURBSConicalArcs 1.4 http://www.highend3d.com/f/4368.html, NURBSQuadraticSurfaces 1.2 http://www.highend3d.com/f/4369.html. В Интернет от 11.10.2007 г. Не са постъпили забележки за възникнали проблеми при използването им от повече от 1900 потребители за NURBSConicalArcs и повече от 3100 – за NURBSQuadraticSurfaces. Положителен отзивот реалните приложения на плъгините в работата на фирма “Монблан Дизайн” ЕООД, гр. Варна. Придружени са с: - инсталационни файлове и инструкции за инсталиране; - с указание за експлоатация.

27. Научни и научно-приложни приноси • Изследвана е методологията за създаване на ССМ в триизмерните графични системи и е определен единен подход за алгоритмична реализация на плъгини за моделиране. • Разработени са NURBS модели на криви от втора степен, с чиято помощ се построяват дъги от елипса, парабола и хипербола в положителна и отрицателна посока спрямо дефинираната координатна система. Те са реализирани в зависимост от стойностите на параметрите от скаларно-параметричното задаване на кривите. • Дъгите от елипса се построяват за стойности по-малки, равни и по-големи от 360˚, което разширява приложните области на моделите. • Представянето на дъги от параболи и хиперболи следва директно от доказани твърдения, в които са изведени формули за стойностите на координатите на контролните върхове и техните тегла на NURBS кривите. • Предложен е алгоритъм за подразделяне на NURBS кривите според дефинирани критерии и нуждите на приложенията.

28. Научни и научно-приложни приноси • Разработени са NURBS модели на повърхнините от втора степен. За получаването им се използват генераторни NURBS криви (елиптични, параболични и хиперболични) и индивидуален подход за представяне на хиперболичния параболоид. Подразделени са по двете си направления, което дава възможност за локална модификация. • Разработен и внедрен е алгоритъм за построяване на ротационни биквадратни NURBS повърхнини-парчета, които се построяват за стойности на ъгъла на завъртане по-малки, равни и по-големи от 360˚. • Разработен е алгоритъм за подразделяне на биквадратна NURBS повърхнина на зададен брой сегменти. • На база на създадените NURBSмодели на криви и повърхнини са разработени дванадесет ССМ за 3D графичната система за моделиране Autodesk 3dsMax. Те са одобрени и приети от Интернет портала за високи 3D технологии и приложенияHighEnd3D.

29. Публикации по дисертацията • Петков Емилиян. Развитие на NURBS модели на квадратични повърхнини за 3Dграфичните системи. Списание “Computer Engineering”, София. 2008. • Petkov Emiliyan. Three Quadratic Surfaces as Design Tools for 3D Graphic Systems, South East European Research Centre by the University of Sheffield: International conference DSC’2007, Thessaloniki, Greece. 2007. • Petkov Emiliyan, Liuben Cekov. A Software Design Tool for Constructing Arcs of Parabola in Graphics Systems, International conference Automatics and informatics’05, Sofia. 2005. • Petkov Emiliyan, Liuben Cekov. One Method for Representing an Arc of Hyperbola by a NURBS Curve. 19th International Conference SAER-2005, St. Konstantin Resort, Varna. 2005. • Petkov Emiliyan, Liuben Cekov. One Method for Representing an Arc of Ellipse by a NURBS Curve, International conference Automatics and informatics’05, Sofia. 2005. • Petkov Emiliyan, Liuben Cekov. A B-spline Model of a Hyperbolic Paraboloid for Graphics Systems, Anniversary Conference 60 Years University of Russe ‘Angel Kanchev’ 2005, Russe. 2005. • Петков Емилиян, Любен Цеков. NURBS коники – програмен модел. Международна научна конференция УниТех’04, Габрово. 2004. • Petkov Emiliyan. Computer Modelling of Surfaces. International conference of computer systems and technologies CompSysTech’2002, Sofia. 2002.

30. Моделиране сNURBS Elliptical Arc

31. Моделиране сNURBS Ellipsoid