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Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

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Vortrag über Fraktale. Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan. Inhalt: Was ist ein Fraktal? Einige Dimensionsbegriffe Iterierte Funktionensysteme L-Systeme Strange Attractors Julia-Mengen Die Mandelbrotmenge. Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan.

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Vortrag über Fraktale

Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

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Inhalt:
  • Was ist ein Fraktal?
  • Einige Dimensionsbegriffe
  • Iterierte Funktionensysteme
  • L-Systeme
  • Strange Attractors
  • Julia-Mengen
  • Die Mandelbrotmenge

Vortrag über Fraktale – Erik Müller – Sommerakademie Ftan

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1 – Was ist ein Fraktal?

Benoit Mandelbrot:

Ein fragmentiertes geometrisches Gebilde, das in Teile zerlegt werden kann, die (nahezu) eine kleine Kopie des ganzen Gebildes sind.

Oder:

Eine Menge von Punkten heißt Fraktal, wenn ihre fraktale Dimension ihre topologische übertrifft.

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1 – Was ist ein Fraktal?

Mathematischere Formulierung der Idee von Mandelbrot:

Ein Fraktal ist Attraktor eines iterierten Funktionensystems (IFS).

Beispiel:

Sierpinski-Dreieck zeichnen

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2 – Dimensionsbegriffe

2.1 Minkowski-Dimension

2.2 Box-Dimension

2.3 Hausdorff-Dimension

2.4 Packing-Dimension

2.5 Selbstähnlichkeitsdimension

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2 – Dimensionsbegriffe – Minkowski-Dimension
  • Vorteile:
  • leicht anschaulich zu verstehen
  • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs
  • Nachteile:
  • Nicht immer eindeutige Dimensionszuweisung
  • Keine abzählbare Stabilitätseigenschaft

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2 – Dimensionsbegriffe – Box-Dimension
  • Vorteile:
  • leicht anschaulich zu verstehen
  • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs
  • Nachteile:
  • Keine eindeutige Dimensionszuweisung
  • Keine abzählbare Stabilitätseigenschaft

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2 – Dimensionsbegriffe – Hausdorff-Dimension
  • Vorteile:
  • Eindeutige Dimensionszuweisung
  • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs
  • Abzählbare Stabilitätseigenschaft
  • Nachteile:
  • I.A. sehr schwer zu berechnen
  • Bemerkung: Es gilt

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2 – Dimensionsbegriffe – Packing-Dimension
  • Vorteile:
  • Eindeutige Dimensionszuweisung
  • Verallgemeinerung des normalen Dimensionsbegriffs
  • Abzählbare Stabilitätseigenschaft
  • Nachteile:
  • I.A. sehr schwer zu berechnen
  • Bemerkung: Es gilt
  • Weiterhin:

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2 – Dimensionsbegriffe – Selbstähnlichkeitsdimension
  • Vorteile:
  • Eindeutige Dimensionszuweisung
  • Verallgemeinerter normaler Dimensionsbegriff
  • Einfachste Berechnung
  • Nachteile:
  • I.A. keine sehr große Aussagekraft

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3 – Iterierte Funktionensysteme
  • Satz: Zu jedem IFS existiert genau ein nicht-leerer kompakter Attraktor.
  • Dieser lässt sich sich durch folgende Algorithmen zeichnen:
  • Der Mehrfachverkleinerungskopiermaschine
  • Das Chaos Game

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3 – Iterierte Funktionensysteme
  • Die Mehrfachverkleinerungskopiermaschine:
  • Man starte mit beliebiger nicht-leerer Teilmenge V(0)
  • .
  • Bei hinreichender Genauigkeit stoppe man.
  • Nachteile:
  • - Nahezu nur rekursiv vernünftig programmierbar

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3 – Iterierte Funktionensysteme
  • Das Chaos-Game:
  • Man starte mit beliebigem Punkt
  • Man wähle unter den Zahlen 1,..,n unter Gleichverteilung unabhängig von den bisherigen Wahlen eine Zahl aus.
  • Man setze und zeichne:
  • Man stoppe bei vorher festgelegter Schranke
  • Bemerkungen:
  • Man sollte erst ab einer Schranke anfangen zu zeichnen
  • Anstelle der Gleichverteilung kann man irgendeine Verteilung nehmen, die allerdings die ganze Menge als Träger haben muss

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3 – Iterierte Funktionensysteme
  • Fazit:
  • Attraktoren von IFS sind fraktale Strukturen, deren Informationen sämtlich in den Funktionen gespeichert sind
  • Bemerkung:
  • Erfüllt das IFS die offene Menge Bedingung, dann gilt für den Attraktor C des IFS und für die Ähnlichkeitsdimension s: s = dim C.

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4 – L-Systeme
  • L-Systeme bestehen aus einem Urahn und Axiomen, was sich aus diesen im nächsten Zeitschritt entwickelt (siehe etwa die MVKM).
  • Beispiel (Cantorsche Menge):
  • Reduktion der Information auf Urahn und Axiome.
  • Baumstruktur  Baumfraktale
  • Möglichkeit der stochastischen Auswahl der angewandten Vererbungsregeln
  • Möglichkeit der sukzessiven Erschaffung von komplexen Gebilden: (Büschen, Landschaften)

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5 – Strange Attractors
  • Versuch einer Definition:
  • Eine beschränkte Menge A ist ein chaotischer und seltsamer Attraktor der Transformation T, wenn eine Menge R mit den folgenden Eigenschaften existiert:
  • R ist eine Umgebung von A. R ist ein Gefangenenbereich. A ist in R attraktiv.
  • Bahnen in R hängen sensitiv von den Daten ab
  • A hat eine fraktale Struktur
  • A kann nicht in zwei verschiedene Attraktoren aufgespalten werden, d.h. es gibt Anfangspunkte aus R, deren Bahnen jedem Punkt von A beliebig nahe kommen.
  • Probleme:
  • Definition kaum beweisbar für spezielle Strukturen

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5 – Strange Attractors
  • Beispiele für diskretes Erzeugungsgesetz:
  • Newton-Approximation der Nullstellen im Komplexen von
  • Henon-Attraktor

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5 – Strange Attractors
  • Beispiel für stetiges Erzeugungsgesetz:
  • Lorenz-Attraktor:

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6 – Julia Mengen

Definition: Eine Julia-Menge J im weiteren Sinne zu einer Funktion

Ist definiert durch:

Definition: Eine Julia-Menge J(c) ist eine Julia-Menge i.w.S. für:

Man kann zeigen, dass es bei Julia-Mengen genügt zu zeigen, dass gilt:

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6 – Julia Mengen
  • Julia-Mengen sind entweder zusammenhängend oder Punktwolken
  • Möglichkeit der schrittweisen Einkreisung der Gefangenenmenge
  • Auch den Rand der Gefangenenmenge nennt man Julia-Menge
  • Die Invertierung von f liefert für den Rand oft ein IFS, so dass der Attraktor des IFS eben die Julia-Menge darstellt
  • Ist 0 in der Gefangenenmenge der Julia-Menge, dann ist J zusammenhängend

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7 – Die Mandelbrotmenge
  • Definition: Mandelbrotmenge M
  • Man kann die Mandelbrotmenge als Inhaltsverzeichnis sehen, d.h. die Struktur der zugehörigen Juliamenge wird im gewissen Maße induziert von der Lage des Punktes in der Mandelbrotmenge
  • Man kann Mandelbrotmengen natürlich im weiteren Sinne für andere f in Abhängigkeit von einem komplexen Parameter c definieren.

Starte Fractint

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Quellen
  • An introduction to fractals, Paul Bourke, 1991, http://astronomy.swin.edu.au/pbourke/fractals/fracintro
  • Fractal Geometry, Paul Mörters, Basierend auf Vorlesung WS 2000/2001, http://www.mathematik.uni-kl.de/~peter/fract.ps
  • Bausteine des Chaos: Fraktale, Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Springer Verlag, 1992
  • Chaos: Bausteine der Ordnung, Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Springer Verlag, 1994

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