PROBLEMAS DE POTENCIAL CON VALORES EN LA FRONTERA ECUACIONES DE POISSON y LAPLACE

1. Electricidad y Magnetismo PROBLEMAS DE POTENCIAL CON VALORES EN LA FRONTERA ECUACIONES DE POISSON y LAPLACE Antonio J Barbero Departamento de Física Aplicada UCLM

2. Electricidad y Magnetismo PROBLEMA 1 Z z = z0 V(z0) = +V0 Entre dos planos conductores indefinidos paralelos separados una distancia z0 y conectados a potenciales 0 y +V0, según se muestra en la figura, existe una distribución continua de carga negativa dada por la ecuación z=0 V(0) = 0 Determine el potencial en cualquier punto entre los dos planos conductores y las densidades superficiales de carga en los mismos (suponga la permitividad del medio entre los planos igual a 0). Ecuación de Poisson en coordenadas cartesianas aplicada a este caso: Al resolver esta ecuación y aplicar a la solución las condiciones de contorno expresadas en el enunciado obtendremos el potencial en todos los puntos z0 z  0. Integrando dos veces: Integrando una vez: Condiciones de contorno:  C2 = 0 En z = 0  V(0) = 0 En z = z0 V(z0) = V0

3. Electricidad Plano inferior z = 0. Aquí y Magnetismo Plano superior z = 0. Aquí PROBLEMA 1 (Continuación) Densidad superficial de carga en los planos conductores: calculemos primero el campo eléctrico El campo eléctrico en la superficie de un conductor está dado en función de la densidad superficial de carga σ por:

4. Electricidad Vb b y Magnetismo a Va PROBLEMA 2 Una esfera conductora de radio a está rodeada por otra esfera conductora, hueca y concéntrica con ella, de radio b > a. El espacio entre las dos esferas se rellena con un dieléctrico, y entre ambas esferas se mantiene una diferencia de potencial Va-Vb. a) Calcule el potencial y el campo en cualquier punto situado entre ambas esferas. b) Si la permitividad del dieléctrico es , determine las densidades superficiales. c) Determine el desplazamiento y la polarización en el dieléctrico. Como no hay densidad de cargas libres entre ambas esferas, la ecuación de Poisson se reduce en este caso a la de Laplace. Por la simetría esférica del problema el potencial únicamente va a depender de la coordenada radial, y entonces el laplaciano es Integrando dos veces Para r = a V(a) = Va Para r = b V(b) = Vb

5. Electricidad σa σb Vb b y Magnetismo a Va σa >0 Por simetría σb <0 Cargas ligadas + Cargas ligadas - a b Cargas libres - Cargas libres + PROBLEMA 2 (Continuación) Relación entre campo y densidades superficiales de carga Si Va > Vb (esfera interna positiva), como a < b Cálculo del desplazamiento. Aplicamos el T. de Gauss a una esfera gaussiana de radio ar b y superficie Srconcéntrica con la esfera interna de radio a y superficie Sa que contiene la carga q. Va > Vb Polarización

6. Electricidad y Magnetismo PROBLEMA 3 Se construye un condensador cilíndrico usando dos armaduras cilíndricas concéntricas de radios a y b (b > a) e introduciendo un dieléctrico de permitividad  en la mitad inferior del mismo, según se muestra en la figura. El condensador se carga a V0 voltios, siendo positiva la armadura interna. Suponiendo despreciables los efectos de los bordes, se pide: a) Resuelva la ecuación del potencial y determine el campo en cualquier punto entre las dos armaduras. b) Determine las densidades superficiales de carga libre y la capacidad por unidad de longitud. c) Determine el desplazamiento y la polarización. b 0 a  Como no hay densidad de cargas libres en la región entre armaduras, la ecuación de Poisson se reduce en este caso a la ecuación de Laplace, y dada la simetría del problema, el potencial sólo dependerá de la coordenada radial. Para r = a V(a) = V0 Condiciones de contorno Para r = b V(b) = 0

7. Electricidad Vector unitario radial sentido hacia afuera I II Armadura interna y Armadura externa Magnetismo Tanto en la armadura interna como en la externa podemos distinguir dos zonas, la del vacío (I) y la del dieléctrico (II). PROBLEMA 3 (Continuación) Campo eléctrico b 0 El campo eléctrico es el mismo en ambas zonas, puesto que la diferencia de potencial es la misma a Densidades superficiales de carga libre  Estas dos densidades de carga son positivas, puesto que ln(a/b) < 0 Densidades de carga negativas, puesto que ln(a/b) < 0 Carga por unidad de longitud en la armadura interna Capacidad por unidad de longitud (Esta carga es positiva, en la armadura externa hay una carga igual pero negativa)

8. Electricidad b 0 I Sr r a II  En todos los puntos de la superficie lateral Sr el vector desplazamiento es radial y por tanto paralelo a ; en las bases del cilindro su flujo es nulo por ser perpendicular a las superficies. y Magnetismo PROBLEMA 3 (Continuación) Desplazamiento eléctrico: aplicamos el teorema de Gauss a un cilindro cerrado y coaxial con las armaduras, de superficie lateral Sr y longitud L En la superficie de separación entre el vacío y el dieléctrico, las componentes tangenciales del campo eléctrico deben ser iguales y debe verificarse Polarización:

9. Electricidad y Magnetismo a b PROBLEMA 4 Dos esferas metálicas concéntricas de radios a y b (b > a) se conectan ambas a tierra y en el espacio comprendido entre ellas se coloca una distribución de carga de permitividad  y densidad volumétrica de carga donde r representa la distancia radial desde el centro del sistema (b r  a). Calcule cuánta carga adquiere la esfera interna. Para calcular la carga de la esfera interna tendremos que determinar la densidad superficial de carga en dicha esfera. Para hacer esto, empezaremos calculando el potencial en cualquier punto de la región comprendida entre ambas esferas. Ecuación de Poisson En este caso hay simetría esférica, por lo que el potencial sólo dependerá de la coordenada radial.

10. Electricidad y Magnetismo PROBLEMA 4 (Continuación) Condiciones de contorno: No hace falta calcular C2 porque a partir del potencial vamos a derivar para obtener el campo eléctrico El vector desplazamiento es En r = a el módulo del vector desplazamiento nos da la densidad superficial de carga. La carga en la esfera interna es:

11. Electricidad y Magnetismo PROBLEMA 4 (Continuación) Interpretación del resultado Si la densidad 0 es positiva, entonces la esfera interna se encuentra cargada negativamente.