Problemas de Valores en la Frontera en Otros Sistemas Coordenados

1. Problemas de Valores en la Frontera en OtrosSistemasCoordenados CAPÍTULO 14

2. Contenido • 14.1 Coordenadas Polares • 14.2 Coordenadas Polares y Cilíndricas • 14.2 Coordenadas Esféricas

3. 14.1 Problemas en Coordenadas Polares • Laplaciano Coordenadas PolaresYa sabemos que

4. Por tanto (1) (2)

5. Al sumar (1) y (2) tenemos

6. Ejemplo 1 Resuelva la ecuación de Laplace (3) sujeta a u(c,) = f(), 0 <  < 2. Solución Puesto que (r,  + 2) equivale a (r,  ), se debe tener u(r, ) = u(r,  + 2). Si se busca una función poducto u = R(r)(), entonces (r,  + 2) = (r,  ).

7. Ejemplo 1 (2) Introduciendo la constante de separación, se tieneBuscamosunasolución de forma (6)

8. Ejemplo 1 (3) De lastresposiblessolucionesgenerales de (5): (7) (8) (9)se puededescartar la (8) comoinherentemente no periódica, a menosquec1 = c2 = 0. De modo similar (7) es no periódica a menosquec2 = 0. A la solución = c1 0 se le puedeasignarcualquierperíodo, por lo tanto = 0 es un valor propio.

9. Ejemplo 1 (4) Cuandoescogemos = n, n = 1, 2, …, (9) es 2 periódica. Los valorespropios de (6) son 0 = 0 y n = n2, n = 1, 2, …. Si hacemoscorrespondes 0 = 0 con n = 0, lasfuncionespropias sonDonde n = n2, n = 0, 1, 2, … lassoluciones de (4) son

10. Ejemplo 1 (5) Note we should define c4 = 0 to guarantee that the solution is bounded at he center of the plate (r = 0). Finally we have

11. Ejemplo 1 (6) Aplicando la condición límite en r = c, obtenemos

12. Ejemplo 2 Determine la temperatura de estado estable u(r, ) en la placa semicircular mostrada en Fig 14.3.

13. Ejemplo 2 (2) Solución El problema de valor en la frontera es

14. Ejemplo 2 (3) y (16) (17)Las condiciones en los límites se traducen en (0) = 0 y () = 0.

15. Ejemplo 2 (4) Junto con (17) tenemos (18)Este problema (Ej. 2 de la Sec. 3.9) posee valores propios n = n2 y funciones propias () = c2 sin n, n = 1, 2, … De modo similar, R(r) = c3rn y un = R(r)() = An rnsin n

16. Ejemplo 2 (5) Por tanto tenemos

17. 14.2 Problemas en Coordenadas Polares y Cilíndricas: Funciones de Bessel • Simetría RadialLas ecuaciones de calor y onda bidimensionales expresadas en coordenadas polares son, a su vez: (1)donde u = u(r, , t). La solución producto se define como u = R(r)()T(t). Cosideramos problemas más simples, que poseen simetría radial, esto es, u es independiente de .

18. En este caso, (1) toman las formas, a su vez, (2)donde u = u(r, t).

19. Ejemplo 1 Determine el desplazamiento u(r, t) de una sembrana circular de radio c sujeta a lo largo de su circunferencia si su desplazamiento inicial es f(r) y su velocidad inicial es g(r). Fig 14.7.

20. Ejemplo 1 (2) SoluciónEl problema de valor en la frontera es

21. Ejemplo 1 (3) sustituyendou = R(r)T(t) en la EDP, entonces (3)Las dos ecuacionesobtenidas de (3) son (4) (5)Este problemaindicaquesólo se usa = 2 > 0,  > 0.

22. Ejemplo 1 (4) Ahora (4) es la ecuacióndiferencialparamétrica de Bessel de ordenv = 0, estoes, rR” + R’ + 2rR = 0. La solución general es (6) La solución general de (5) de T = c3cosat + c4 sin at RecuerdequeY0(r)  − cuandor  0+asíque la suposiciónimplícita de que el desplazamientou(r, t) debeestaracotado en r = 0 obliga a definirc2 = 0 en (6).

23. Ejemplo 1 (5) PortantoR = J0(r). Puestoque la condición de fronterau(c, t) = 0 esequivalente a R(c) = 0, se debetenerc1J0(c) = 0. Se desechac1 = 0, portanto: J0(c) = 0 (7) Si xn = ncson lasraícespositivas de (7), entoncesn = xn/c y portanto los valorespropios son n = n2 = xn2/c2 y lasfuncionespropias son c1J0(nr). Las solucionesproducto son: (8)

24. Ejemplo 1 (6) Donde se ha realizado la redonominación usual de constantes. El principio de superposiciónda (9) Al establecert = 0 en (9) y usaru(r, 0) = f(r) se obtiene (10)El últimoresultado se reconocecomodesarrollo de Fourier-Bessel de f en el intervalo (0, c).

25. Ejemplo 1 (7) Ahora tenemos (11)A continuación se diferencia (9) con respecto a t, se fija t = 0, y se emplea ut(r, 0) = g(r):

26. Ondas Estacionarias • Las soluciones (8) se llaman ondas estacionarias. Para n = 1, 2, 3, …, son básicamente la gráfica de J0(nr) con la amplitud que varía con el tiempoAncos nt + Bnsin nt Los ceros de cada onda estacionaria en el intervalo (0, c) son las raíces de J0(nr) = 0 y corresponden al conjunto de puntos en una onda estacionaria donde no hay movimiento. Este conjunto se llama línea nodal.

27. Como en Ejemplo 1, los ceros de las ondas estacionarias se determinan a partir de J0(nr) = J0(xnr/c) = 0Ahora de la Tabla 5.2 y para n = 1, la primera raíz positiva es J0(x1r/c) = 0 es 2.4r/c = 2.4 ó r = c • Puesto que el intervalo deseado es (0, c), el último resultado significa que la primera onda estacionaria no tiene línea nodal. Para n = 2, las raíces de J0(x2r/c) = 0 son 5.5r/c = 2.4 y 5.5r/c = 5.5Tenemos r = 2.4c/5.5 que tiene una línea nodal. Fig 14.8.

28. Fig 14.8

29. Laplaciano en Coordenadas Cilíndricas • Observe Fig 14.10. Tenemosx = r cos, y = r sin , z = zy

30. Fig 14.10

31. Ejemplo 2 • Determine una temperatura de estado estable u en el cilindro circular recto mostrado en la Fig 14.11.

32. Ejemplo 2 (2) SoluciónLas condiciones de frontera indican que la temperatura u tiene simetría circular. Por tanto

33. Ejemplo 2 (3) Si se empleau = R(r)Z(z) y se separan variables, (13) (14) (15) Si se elige = 2 > 0,  > 0, la solución de (14) esR(r) = c1J0(r) + c2Y0(r)Puestoque la solución de (15) estádefinida en [0, 2], tenemosZ(z) = c3coshz + c4sinhz

34. Ejemplo 2 (4) Como en Ejemplo 1, la suposición de que u está acotada en r = 0 requiere que c2 = 0. La condición u(2, z) = 0 implica que R(2) = 0. EntoncesJ0(2) = 0 (16)define los valores propios n = n2. Por último, Z(0) = 0 implica que c3 = 0. Puesto que se tiene R(r) = c1J0(r), Z(z) = c4 sinh z,

35. Ejemplo 2 (5)

36. Ejemplo 2 (6) Para la última integral, se emplea t = nry d[tJ1(t)]/dt = tJ0(t), entonces

37. 14.3 Problemas en Coordenadas Esféricas: Polinomios de Legendre • Laplaciano en Coordenadas EsféricasObserveFig 14.15. Ya sabemos que (1)y (2)Sólo consideraremos algunos problemas que son independientes del ángulo azimutal .

38. Fig 14.15

39. Ejemplo 1 • Determine la temperatura de estado estable u(r, ) dentro de la esfera mostrada en Fig 14.16.

40. Ejemplo 1 (2) SoluciónEl problema se define como

41. Ejemplo 1 (3) y por tanto (2) (3)Después de sustituir x = cos, 0    , (3) se transforma en (4) Es una forma de la ecuación de Legendre. Ahora las únicas soluciones de (4) que son continuas y tienen derivadas continuas en [-1, 1] son los polinomios de LegendrePn(x) que corresponden a 2 = n(n+1), n = 0, 1, 2, ….

42. Ejemplo 1 (4) Así se toman las soluciones de (3) como = Pn(cos )Donde  = n(n + 1), la solución de (2) es R = c1 rn + c2 r –(n+1)Puesto que de nuevo se espera que u sea redondeada a r = 0, se define c2 = 0. Por consiguiente,

43. Ejemplo 1 (5) Por lo tanto Ancnson los coeficientes de la serie deFourier-Legendre (23) de Sec 12.5: