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La transformada de Laplace. "Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.

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Presentation Transcript
slide2

"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.

Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."

Pierre-Simon Laplace

(1749 - 1827)

slide3

La transformada de Laplace

Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:

donde s es una variable compleja

Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.

slide4
Observa que la transformada de Laplace es una

integral impropia, uno de sus límites es infinito:

Notación:

slide5

Condiciones suficientes de existencia de la TL

Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y

Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:

Entonces:

L{f(t)} = F(s) existe s > a.

slide6

Calcula la transformada de f(t) = 1:

Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.

slide10

Calcula la transformada de f(t) = sen(at):

Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at)

slide14

Función delta de Dirac

área = 1

Sea la función parametrizada:

Observemos que

slide16

Funciones periódicas

Supongamos que f (t) es una función periódica de periodo T.

Entonces:

donde F1(s) es la transformada de Laplace de la función f(t)

sobre el primer periodo y cero fuera.

T

slide19

(

)

d

t

1

1

1

s

1

t

2

s

n

!

n

t

+

1

n

s

1

-

at

e

+

s

a

Tabla de transformadas de Laplace

slide25

Transformada inversa de Laplace

Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante:

conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.

slide26

Im(s)

γ

γ determina un contorno vertical

en el plano complejo, tomado de

tal manera que todas las

singularidades de F(s) queden

a su izquierda.

Re(s)

Con condiciones de existencia:

slide27

Por ejemplo, determinemos:

Puesto que la función a invertir tiene un polo en s = -1,

entonces basta con tomar γ > -1. Tomemos γ = 0 y el

contorno de integración C de la figura.

Im(s)

R

C1

γ=0

-1

Re(s)

-R

0 por la desigualdad ML

cuando R→∞ con t≥0.

Haciendo R→∞ y utilizando

teoría de residuos:

slide28

Sea F(s) una función analítica, salvo en un número finito

de polos que se encuentran a la izquierda de cierta vertical

Re(s) = γ. Y supongamos que existen m, R, k > 0 tq. para

todo s del semiplano Re(s)  γ y |s| > R, tenemos que

Entonces si t > 0:

En particular, sea F(s) = N(s)/D(s), con N(s) y D(s)

polinomios de grado n y d respectivamente, d > n;

entonces podemos usar la igualdad anterior.

slide29

Ejercicio: Calcular, a partir de su definición, la transformada inversa de Laplace de la función

Im(s)‏

t < 0

t > 0

Respuesta.

s=-1

s=-2

Re(s)

puntos singulares aislados de f(s).

s = -1; polo simple:

s = -2; polo simple:

slide31

P2. Junio 2007

  • Emplear la integral de Bronwich para determinar

Respuesta.

s = -1, s = 2, puntos singulares aislados de f

slide32

Im (s)‏

s=2

s=-1

Re (s)‏

slide33

Residuo en s = -1

Residuo en s = 2

slide37

Propiedades

1. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes, f1(x) y f2(x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente;entonces:

La transformada de Laplace es un operador lineal.

slide39

2. Desplazamiento temporal

¥

ò

-

=

st

F

(

s

)

e

f

(

t

)

dt

0

¥

ò

-

=

-

-

st

X

(

s

)

e

f

(

t

t

)

u

(

t

t

)

dt

0

0

0

¥

ò

-

=

-

st

e

f

(

t

t

)

dt

0

(

)

l

=

-

t

t

t

0

0

¥

ò

-

-

l

=

l

l

st

s

e

e

f

(

)

d

0

0

-

=

st

e

F

(

s

)

0

slide44

6. Transformada de Laplace de las derivadas de una función

La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:

donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.

La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:

slide45

En forma similar:

Demostración:

slide47

Ejercicio: Determina la transformada de Laplace de la función

usando la transformada de Laplace de

slide50

Emplear las propiedades correspondientes para determinar la transformada de Laplace de los polinomios de Laguerre, que se definen como:

Respuesta.

slide53

Gracias a esta propiedad y a la linealidad de

la TL podemos convertir una ec. diferencial como

Resolver para

y(t)

en una ec. algebraica

Resolver para

Y(s)

slide54

Transformada de

Laplace

Ec. Diferencial

Ec. Algebraica

slide55

Si resolvemos la ec. algebraica:

y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s), encontraremos la solución de la ec. diferencial.

slide56

Inversa de la

Transformada

de Laplace

Ec. Algebraica

Solución de la

Ec. Diferencial

slide58

De modo que:

es la solución de la ec. diferencial:

slide59

Para conseguirlo hemos aplicado:

Primero, que la TL y su inversa son lineales:

Y segundo, la TF de las derivadas de una

función son:

etc...

slide60

A este método se le conoce como cálculo de Heaviside.

Por ejemplo:

Y antitransformando obtendremos la solución.

slide62

Ejemplo

Resolver

slide63

Ejemplo:

Resolver

slide64

7. Transformada de Laplace de la integral de una función

Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p ≥ 0,

entonces:

para Re(s) > p.

slide70

10. Teorema del valor final

Si existe, entonces:

11. Teorema del valor inicial

El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya

transformada de Laplace es F(s), es:

slide71

12. Integral de convolución

Recordemos que

la operación se conoce

como la convolución de y y se denota como

La transformada de Laplace de esta operación está dada por:

slide72

Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0,

entonces la convolución queda:

Así que para estas funciones podemos definirla convolución

como:

slide75

Ejercicio: Obtener, mediante el método operacional de Laplace, la solución del problema de Cauchy:

Respuesta.

slide80

Ejercicio: Obtener, mediante el método operacional de Laplace, la solución del problema de Cauchy

Respuesta.

slide83

Desarrollo en fracciones parciales:

Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa,

descomponiendo la función en componentes más sencillos.

Raíces del denominador D(s) o polos de F(s):

Caso I – Polos reales simples

Caso II – Polos reales múltiples

Caso III – Polos complejos conjugados

Caso IV – Polos complejos conjugados

múltiples

slide86

método

alternativo

y resolver...

slide88

Otro ejemplo

Transformada inversa de Laplace:

slide89

Caso II – Polos reales múltiples

Ejemplo

Polos reales

múltiples

Polos reales

simples

slide93

Caso III – Polos complejos conjugados

conjugados complejos

ejemplo

Transformada inversa de Laplace:

slide94

ejemplo

Transformada inversa de Laplace:

donde

slide95

Caso IV – factores complejos conjugados múltiples

Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III,

teniendo en cuenta que trabajamos con complejos.

slide96

Ejemplo: Obtener la solución del problema de valores iniciales siguiente, mediante el método operacional de Laplace.