slide1 l.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
3 . D ynamika hmotného bodu PowerPoint Presentation
Download Presentation
3 . D ynamika hmotného bodu

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 49

3 . D ynamika hmotného bodu - PowerPoint PPT Presentation


  • 234 Views
  • Uploaded on

3 . D ynamika hmotného bodu. Dynamika vyšetruje príčiny vzniku pohybu a zmien pohybového stavu. Zaoberá sa te- da silami. Sila je mierou vzájomného pôsobenia – interakcie - telies. Účinky sily delíme takto: Statické – deformácia telies.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '3 . D ynamika hmotného bodu' - koren


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

3. Dynamika hmotného bodu

  • Dynamika vyšetruje príčiny vzniku pohybu a zmien pohybového stavu. Zaoberá sa te-
  • da silami.
  • Sila je mierou vzájomného pôsobenia – interakcie - telies. Účinky sily delíme takto:
  • Statické – deformácia telies.
  • Dynamické – Teleso pôsobením sily (iných telies) mení svoj pohybový stav, t.j.
  • môže sa zmeniť veľkosť alebo smer jeho rýchlosti, alebo oboje. Teleso môže byť
  • uvedené z pokoja do pohybu, alebo naopak.

V tejto kapitole sa budeme zaoberať dynamickými účinkami síl, t.j. účinkami, ktoré

spôsobujú zmenu rýchlosti telies. Zmena rýchlosti telesa znamená, že telesu je udele-

né zrýchlenie. Vzťah medzi silou a zrýchlením je objektom newtonovskej mechani-

ky. Keď sa však rýchlosť telesa blíži k rýchlosti svetla, newtonowskú mechaniku mu-

síme nahradiť Einsteinovou špeciálnou teóriou relativity. V oblasti mikrosveta, t.j. v

rozmeroch rádu atómov a menších zase musíme použiť kvantovú mechaniku.

Sila je vektor, t.j. je určená veľkosťou, smerom, orientáciou a aj bodom pôsobenia –

pôsobiskom. Ako uvidíme ďalej, smer a orientácia sily určujú smer a orientáciu

zrýchlenia, ktoré telesu sila udeľuje. Ak na teleso pôsobí viac síl, ich účinok môžeme

nahradiť účinkom jednej sily, ktorá je vektorovým súčtom týchto síl – výslednej ale-

bo celkovej sily. Toto sa nazýva princíp superpozície síl.

slide2

Jednotkou sily je Newton – N. Platí: 1 N=1 kgms-2.

Skôr, než prejdeme k výkladu Newtonových pohybových zákonov, objasníme si po-

jem hmotného bodu.

Matematický hmotný bod

Je to teleso s nekonečne malými geometrickými rozmermi, avšak napriek tomu vypl-

nené konečným množstvom hmoty. Keďže matematický hmotný bod je bezrozmerný,

nemôžeme hovoriť o jeho otáčaní. Môžeme len popisovať jeho pohyb pozdĺž nejakej

dráhy.

Newtonove zákony mechaniky vyslovíme pre matematické hmotné body. Zákony plat-

né pre telesá konečných rozmerov dostaneme tak, že ich budeme považovať za sústa-

vy matematických hmotných bodov alebo za sústavy objemových hmotou vyplnených

elementov. Ktorý prístup si vyberieme, bude závisieť od charakteru fyzikálneho prob-

lému. Ak bude dôležitá diskrétna štruktúra telesa, budeme s ním pracovať ako so sús-

tavou matematických hmotných bodov. Ak naopak budeme môcť na teleso nazerať

ako na niečo spojité, budeme ho považovať za sústavu hmotných elementov, ktoré

sú uložené v telese jeden vedľa druhého.

Skutočné telesá sú veľmi dobrou realizáciou sústavy abstraktných matematických

hmotných bodov, pretože sa skladajú z veľkého počtu atómov, ktoré sú zase zložené

z protónov, elektrónov a neutrónov, a tieto majú veľmi malé rozmery aj v porovnaní

s rozmermi atómov.

slide3

Fyzikálny hmotný bod

Je to teleso, ktorého rozmery vzhľadom na charakter riešeného problému a objektívne

okolnosti možno zanedbať. Napr. ak tuhé teleso môže konať len translačný pohyb, ten-

to pohyb bude úplne určený pohybom jeho ľubovoľného bodu (najčastejšie ťažiska).

Ak sa však toto teleso bude zároveň s posúvaním aj otáčať okolo osi, jeho pohyb už

nemôžeme popísať bez prihliadania k jeho rozmerom, a teda nemôžeme ho už pova-

žovať za hmotný bod. Pri riešení fyzikálnych úloh teda to isté teleso môžeme za urči-

tých podmienok považovať za hmotný bod, za iných podmienok sa to nemusí dať. Ako

príklad takéhoto prípadu uvažujme delovú guľu. Pohyb gule nemôžeme presne riešiť

bez prihliadnutia k jej rozmerom, lebo pri lete na ňu pôsobí odpor vzduchu, veľkosť

ktorého závisí od jej tvaru a rozmerov. Navyše guľa okrem translačného pohybu

aj rotuje.

slide4

Newtonove pohybové zákony

  • Newtonov pohybový zákon – zákon zotrvačnosti
  • Keď na teleso nepôsobí nijaká celková sila, potom rýchlosť telesa sa nemôže zmeniť,
  • t.j. teleso nemôže zrýchľovať.
  • V horeuvedenom tvrdení musíme chápať rýchlosť a zrýchlenie ako vektory. Pri trans-
  • lačnom pohybe po kružnici alebo po krivej čiare vždy na teleso pôsobí dostredivá sila,
  • ktorá existuje, aj keď by sa teleso pohybovalo rýchlosťou konštantnej veľkosti. Je to
  • preto, lebo vektor rýchlosti pri tomto pohybe konštantný nie je, pretože sa neustále me-
  • ní jeho smer, a teda dostredivé alebo normálové zrýchlenie, ktoré sa vzťahuje na zme-
  • nu smeru rýchlosti, je nenulové. Pri translačnom pohybe, či už krivočiarom alebo pria-
  • močiarom, môže teleso rotovať okolo osi a navyše poloha tejto osi v priestore sa môže
  • s časom meniť a takisto môže ešte pôsobiť vonkajšia sila. Vzhľadom na to, čo sme
  • práve uviedli vyššie, toto znamená, že rýchlosť a vo všeobecnosti aj zrýchlenie všet-
  • kých infinitezimálnych elementov, z ktorých teleso pozostáva, sa neustále mení s vý-
  • nimkou ťažiska telesa pri pohybe, ktorý je kombináciou translačného pohybu celého
  • telesa a jeho rotácie okolo pevnej osi. Len pri pohybe po priamke a ak teleso nerotuje,
  • nepôsobia dostredivé sily, a teda zrýchlenie telesa môže byť spôsobené len silou rov-
  • nobežnou s touto priamkou. Ak ani takáto sila nepôsobí, teleso sa buď pohybuje po
  • priamke konštantnou rýchlosťou, alebo stojí vzhľadom na súradnicovú sústavu, v kto-
  • rej jeho pohyb opisujeme. Newtonov zákon zotrvačnosti môžeme teda formulovať aj
  • takto:
slide5

Jestvuje súradnicová sústava, vzhľadom na ktorú sa pohybový stav voľného hmotného

bodu nemení, ak tento bod nepodlieha vplyvu iných telies. Inými slovami:Voľný

hmotný bod, ktorý sa vzhľadom na vhodne vybranú súradnicovú sústavu nepohybuje,

ostane vzhľadom na túto súradnicovú sústavu ľubovoľne dlho v pokoji, ak naňho ne-

začnú pôsobiť vonkajšie sily. Voľný hmotný bod, ktorý sa vzhľadom na túto sústavu

pohybuje rovnomerne priamočiaro (t.j. s konštantnou rýchlosťou čo do smeru aj veľ-

kosti), zotrvá v tomto pohybe, pokým naňho nezačnú pôsobiť vonkajšie sily.

2. Newtonov pohybový zákon – zákon sily

Výsledná sila pôsobiaca na hmotný bod sa rovná súčinu jeho hmotnosti a zrýchlenia:

(1)

Rovnica (1) je vektorová rovnica, a teda je ekvivalentná trom skalárnym rovniciam

pre tri zložky sily a zrýchlenia pozdĺž 3 súradnicových osí kartézskeho súradnicového

systému. Aby sme to ukázali, zákon sily (1) prepíšeme v tvare

Ako vieme, dva vektory sa rovnajú, ak sa rovnajú ich príslušné zložky. Tri hľadané

skalárne rovnice reprezentujúce zákon sily teda sú

(2)

slide6

Rovnice (2) hovoria, že zložka zrýchlenia pozdĺž danej osi je spôsobená iba súčtom

zložiek pôsobiacich síl príslušných tejto osi a nie hociktorej inej.

Zo zákona sily (1) vyplýva, že ak vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na hmotný

bod reprezentovaný silou je nula, t.j. ak , potom aj . Toto-

znamená, že v takomto prípade hmotný bod zostane v pokoji, ak bol v pokoji, alebo

ak bol v pohybe, bude pokračovať v pohybe, a to pozdĺž priamky a s konštantnou

rýchlosťou rovnou rýchlosti, ktorú mal hmotný bod v momente, keď sa výslednica

všetkých síl naňho pôsobiacich začala rovnať nule. Rovnica znamená, že

všetky sily pôsobiace na hmotný bod sa tak vektorovo sčítajú, že sa navzájom vyrušia.

Hovoríme, že hmotný bod a sily, ktoré naňho pôsobia, sú v rovnováhe.

3. Newtonov pohybový zákon – zákon akcie a reakcie

Keď dve telesá (dva hmotné body) interagujú, sily pôsobiace na každé z telies od dru-

hého telesa majú rovnakú veľkosť, ležia v jednej priamke a majú opačnú orientáciu.

Na obrázku je príklad takéhoto vzájomného pôsobenia, a to gra-

vitačnými silami medzi ľubovoľným telesom a Zemou. Sila

ktorou pôsobí Zem na teleso s pôsobiskom v ťažisku telesa, je o-

pačne orientovaná ako sila , ktorou pôsobí teleso na Zem.

Platí teda

slide7

Ako hovorí Newtonov zákon, obe sily ležia v jednej priamke a keďže ich pôsobiská sú

v rôznych bodoch, vzájomne sa nevyrušia, aj keď sú rovnako veľké a opačne oriento-

vané.

V 3. Newtonovom pohybovom zákone je dôležité si všimnúť, že sily, ktorými na seba

dve interagujúce telesá (hmotné body) pôsobia, ležia v jednej priamke. Nestačí teda

povedať, že sú rovnobežné, lebo dva rovnobežné vektory môžu mať rôzne pôsobiská.

Matematické vyjadrenie tohto tvrdenia dostaneme, ak dáme do vzťahu momenty tých-

to dvoch síl vyjadrené vzhľadom na nejaký referenčný bod O. Musíme však najprv za-

definovať novú fyzikálnu veličinu – moment sily. Je to vektorový súčin polohového

vektora pôsobiska sily určeného vzhľadom na nejaký referenčný bod O a tejto sily.

slide8

Na obrázkoch na predchádzajúcom slide sú dva hmotné body A a B, ktoré sú fixova-

né v priestore a pôsobia na seba napr. gravitačnými silami a . Tieto sily sú

rovnako veľké, majú rovnaký smer a sú opačne orientované. Sčítajme teraz momenty

týchto síl vzhľadom na bod O

Z obrázkov je zrejmé, že vektorový súčin bude rovný nule, ak vektor a

obe sily budú ležať v jednej priamke. Ak sily neležia v jednej priamke, hoci sú rovno-

bežné, tento vektorový súčin nulový nebude. Matematické vyjadrenie toho, že newto-

novské sily akcie a reakcie ležia na jednej priamke teda na základe poslednej rovnice je,

že momenty týchto síl vzhľadom na ľubovoľný referenčný bod O sú rovnako veľké

a opačne orientované vektory, t.j.

slide9

Niektoré druhy síl

Gravitačná sila Zeme

Gravitačná sila je sila, ktorou sa telesá vzájomne priťahujú. Gravitačná sila Zeme je si-

la, ktorou Zem priťahuje iné telesá a ak predpokladáme, že Zem je rovnorodá guľa, je

táto sila orientovaná do stredu Zeme. V skutočnosti gravitačná sila Zeme nie je orien-

tovaná presne do stredu Zeme – na rôznych miestach zemského povrchu sa odchyľuje

viac alebo menej od tohto smeru. O príčinách týchto odchýliek budeme viac hovoriť

v kapitole “Gravitačné pole”.

Predpokladajme teda, že Zem je rovnorodá guľa, a teda že gravitačná sila Zeme pôso-

biaca na telesá je orientovaná do jej stredu. Nech nejaké teleso nachádzajúce sa nad

určitým miestom zemského povrchu, je voľne pustené. Ak neuvažujeme odpor vzdu-

chu, bude naňho pôsobiť len zemská gravitačná sila a teleso bude padať v smere do

stredu Zeme, t.j. vo zvislom smere, s gravitačným zrýchlením o veľkosti . Zvoľ-

me v tejto zvislici os y s kladným smerom nahor. Táto os teda bude kolmá na zemský

povrch v mieste, kde ho zvislica, pozdĺž ktorej teleso padá, pretína. Potom gravitač-

ná sila pôsobiaca v tejto zvislej čiare (v ktorej leží aj os y) má len y-ovú zložku a

podľa druhého Newtonovho pohybového zákona platí

pretože y-ová a zároveň jediná zložka zrýchlenia tohto pohybu je rovná a

slide10

to je záporné číslo, keďže číslo je podľa predpokladu kladné. Ak teda predpokla-

dáme, že Zem je rovnorodá guľa, ktorá nerotuje, vektor gravitačnej sily v ľubovoľnom

mieste zemského povrchu alebo nad ním je vždy orientovaný do stredu Zeme, t.j. v zá-

pornom smere osi y. Preto jeho jediná nenulová zložka – y-ová zložka – je záporné

číslo rovné . Pre veľkosť gravitačnej sily teda platí

(3)

Normálová sila

Keď teleso pôsobí tlakom na povrch (napríklad v dôsledku gravitačnej sily), povrch

sa deformuje a pôsobí na teleso normálovou silou , ktorá je kolmá a opačne orien-

tovaná ako sila, ktorá tlak telesa na povrch spôsobuje. Napr. ak sa postavíme na ma-

trac, prehne sa v dôsledku pôsobiacej gravitačnej

sily. Pritom my ostávame v pokoji. Je to preto, le-

bo matrac pôsobí na nás normálovou silou orien-

tovanou zvisle nahor.

slide11

Vyjadrenie pre veľkosť normálovej sily dostaneme s použitím 2. Newtonovho pohybo-

vého zákona. Tento zákon, ako vieme, hovorí, že vektorový súčet všetkých síl pôso-

biacich na teleso sa rovná súčinu jeho hmotnosti a zrýchlenia. Ak teda predpokladáme,

že na teleso pôsobia len gravitačná a normálová sila, má 2. Newton pohybový zákon

tvar

Sily a majú smer kolmice na zemský povrch (ak je Zem rovnorodá guľa a

nerotuje). Ak teda opäť stotožníme s touto kolmicou os y s jej kladným smerom zvisle

nahor, budú mať tieto sily len y-ové zložky, a teda aj zrýchlenie bude mať len

y-ovú zložku. Poslednú rovnicu preto môžeme napísať v tvare

Zložka normálovej sily je kladná, pretože je orientovaná nahor, t.j. v klad-

nom smere osi y a platí , kde N je veľkosť a zároveň veľkosť normá-

lovej sily, keďže táto sila má len jednu nenulovú zložku.

Zložka gravitačnej sily je záporné číslo, pretože vektor je orientovaný zvis-

le nadol, t.j. v zápornom smere osi y a platí . Keď dosadíme do posled-

nej rovnice uvedené vyjadrenia pre a , dostaneme rovnicu

(4)

slide12

Rovnica (4) hovorí, že ak je teleso umiestnené v objekte, napr. vo výťahu, ktorý

vzhľadom na zem zrýchľuje nahor, t.j. má kladné zrýchlenie , bude veľkosť nor-

málovej sily pôsobiacej na teleso väčšia ako len jeho váha v gravitačnom po-

li Zeme. Je to preto na teleso okrem gravitačnej sily pôsobí aj zotrvačná sila v

smere nadol, čo teleso “vníma” ako ťah smerom k podlahe výťahu. S týmto sa stretá-

vame aj pri štarte kozmických rakiet. Rakety štartujú s veľkým zrýchlením

vzhľadom na Zem, preto normálová sila je niekoľkokrát väčšia ako váha kozmonauta

. Hovoríme vtedy o preťažení niekoľkých g ( ), t.j. kozmonaut je tlačený

gravitačnou a zotrvačnou silou do operadla svojho kresla a toto silové pôsobenie je

niekoľkokrát väčšie ako je jeho váha v gravitačnom poli Zeme.

Ak sa naopak výťah pohybuje smerom dole so zrýchlením , bude toto zrýchle-

nie záporné, keďže je orientované v zápornom smere osi y. Podľa rovnice (4) potom

normálová sila pôsobiaca na teleso bude menšia ako jeho váha v gravitačnom poli Ze-

me . Je to preto, lebo na teleso okrem gravitačnej sily, ktorá pôsobí nadol, pôsobí aj zotrvačná sila v smere zvisle nahor. Toto bude teda teleso “vnímať” ako “nadľahčovanie”, t.j. jeho celková váha v gravitačnom poli Zeme bude menšia ako v prípade, ak by výťah nezrýchľoval. Ak by výťah pri jeho pohybe smerom nadol dosiahol zrýchlenie , bolo by teleso v beztiažovom stave, jeho celková váha v gravitačnom poli Zeme by bola nulová, ako by bola nulová aj normálová sila.

V prípade, keď výťah stojí, alebo sa pohybuje konštantnou rýchlosťou, t.j. keď

, je normálová sila na teleso pôsobiaca rovnako veľká ako jeho váha a teleso

slide13

nepociťuje nijaký “ťah nadol”, ani “nadľahčovanie”. Je to preto, lebo keďže sú pôso-

biace sily rovnako veľké a opačne orientované a majú rovnaké pôsobisko v ťažisku

telesa, vzájomne sa vyrušia. Ešte podotknime zopár slov k pôvodu normálovej sily.

Hovorili sme, že jej príčinou je deformácia povrchu, na ktorom je teleso položené.

Táto deformácia však vzniká v dôsledku elastických síl, ktoré vznikajú medzi atómami

materiálu podložky ako dôsledok tlaku telesa spôsobeného gravitačnou a zotrvačnou si-

lou. Tieto elastické sily potom pôsobia aj na povrch telesa v mieste jeho dotyku s

podložkou a toto pôsobenie sa prenáša do celého telesa. O zotrvačných silách ešte bu-

deme v tejto kapitole podrobnejšie hovoriť.

Napätie

Keď ku telesu priviažeme povraz a tento povraz natiahneme, bude povraz na neho pô-

sobiť silou, ktorú nazývame napätie a označujeme . Táto sila

bude mať pôsobisko v telese, bude pôsobiť pozdĺž povrazu a bude

orientovaná od telesa. Zároveň podľa zákona akcie a reakcie pôso-

bí na našu ruku pozdĺž povrazu napätie takej istej veľkosti, len o-

pačnej orientácie, ako má napätie pôsobiace na teleso. Podobne

na každé z telies spojených povrazom cez nehmotnú kladku, kto-

rá sa otáča bez trenia, bude pôsobiť pozdĺž povrazu napätie orien-

tované od každého z telies a rovnakej veľkosti.

slide14

Trecia sila (trenie)

Je to sila, ktorá odporuje pohybu telesa v dôsledku jeho väzby s okolím. Patria sem

napr. odpor vzduchu alebo odpor proti pohybu, ktorý vzniká medzi podložkou a povr-

chom kĺzajúceho sa telesa. Táto sila má vždy smer proti smeru možného pohybu.

Na obrázku je hranol, ktorým chceme pohnúť do-

ľava pôsobením sily . Hranol sa však nepo-

hne, pokiaľ veľkosť neprekročí medznú hod-

notu

kde je koeficient statického trenia, N je normálová sila je maximálna

veľkosť sily statického trenia. Pokiaľ teda na hranol pôsobíme silou menšou,

sila statického trenia bude dostatočne veľká na to, aby mu pohyb znemožnila.

Keď teda veľkosť presiahne , hranol sa pohne doľava a bude sa pohybo-

vať buď konštantnou rýchlosťou, alebo bude zrýchľovať v závislosti od toho, aká

bude veľkosť sily a aká bude veľkosť sily kinetického trenia , ktorá repre-

zentuje trenie pri pohybe objektov. Pre veľkosť tejto sily platí

slide15

kde je koeficient kinetického trenia. Sila

je obyčajne menšia ako , ako to ilustruje

aj obrázok. Je na ňom vykreslený príklad priebehu

veľkosti trecej sily počas postupného zvyšovania

veľkosti sily , ktorou sa pokúšame dať teleso

do pohybu. Vidíme, že veľkosť sily statického tre-

nia nie je konštantná pri tomto procese, až nako-

niec pri neustálom zvyšovaní veľkosti dosiah-

ne táto sila maximum svojej veľkosti - .

Vtedy veľkosť trecej sily rapídne a takmer skokom klesne. To znamená, že teleso sa

začne pohybovať, pričom na jeho pohyb už stačí pôsobiť silou menšej veľkosti,

keďže veľkosť sily kinetického trenia je oveľa menšia ako . Táto sila je aj,

ako vidíme, počas pohybu prakticky konštantná.

Napokon objasnime pôvod trecích síl. Tento je ukotvený vo väzbách medzi atómami

povrchov, ktorými sa dotýkajú teleso a povrch, na ktorom je uložené. Tieto väzby

produkujú statické trenie, ak na teleso pôsobí sila, ktorá sa pokúša ho pohnúť. Ak

chceme, aby sa teleso začalo posúvať, musíme teda pôsobiť silou dostatočne veľkou

na to, aby sa tieto väzby narušili.

slide16

Keď už sa teleso po povrchu posúva, neustále vznikajú a zanikajú väzby medzi ató-

mami dotykových povrchov. Vektorový súčet síl, ktoré predstavujú tieto väzby, je po-

tom vektor sily kinetického trenia.

Keď dva povrchy k sebe pritlačíme, zväčšia sa i , pretože sa vytvorí viac

väzieb medzi atómami oboch povrchov, čo sa vo vzorcoch z predchádzajúceho slidu

prejaví zväčšením veľkosti normálovej sily , t.j. normálová sila tu vystupuje ako

miera veľkosti viazania sa atómov dvoch rôznych dotýkajúcich sa povrchov.

slide17

Zložený pohyb

Súradnicová sústava (SS)

sa pohybuje vzhľa-

dom na súradnicovú sústa-

vu S translačným pohybom

konštantnou rýchlosťou

a zároveň sa otáča

uhlovou rýchlosťou

vzhľadom na S.

Hmotný bod P je viazaný na , t.j. rotu-

spolu s ňou a aj má zložku translačného po-

hybu vzhľadom na S danú rýchlosťou .

Zároveň však sa P pohybuje vzhľadom na

rýchlosťou .

Potom rýchlosť pohybu hmotného bodu P vzhľadom na súradnicovú sústavu S

je daná vzťahom

(5)

kde člen predstavuje zložku rýchlosti hmotného bodu P danú rotáciou

určovanú vzhľadom na súradnicovú sústavu S.

slide18

Ak sa hmotný bod P pohybuje vzhľadom na so zrýchlením , vzhľadom na

S so zrýchlením a ak sa súčasne sústava pohybuje vzhľadom na S so zrých-

lením , tak pre zrýchlenie platí vzorec

(6)

kde je vektor uhlového zrýchlenia súsatvy vzhľadom na súradnicovú sústavu

S.

Inerciálne a neinerciálne vzťažné sústavy

Newtonov zákon zotrvačnosti predpokladá existenciu súradnicovej sústavy, vzhľadom

na ktorú sa ľubovoľný voľný hmotný bod, alebo súbor voľných hmotných bodov(voľ-

ný znamená nepodliehajúci vonkajším vplyvom), pohybuje pozdĺž priamky konštan-tnou rýchlosťou. Táto sústava sa pritom môže pohybovať vzhľadom na iné telesá a nazýva sa sústavou inerciálnou. Môžeme teda niekde vo vesmíre vybrať takú SS, vzhľadom na ktorú sa silové pôsobenie vesmírnych objektov navzájom vyruší, takže pohyb voľného HB vzhľadom na túto SS je rovnomerný priamočiary, ak naňho nepôsobia iné sily. Otázkou však zostáva, či niekde vo vesmíre toto je možné.

Nech sústava S je inerciálna a sústava nech sa pohybuje vzhľadom na S priamo-

čiarym translačným pohybom s konšt. a bez rotácie. Keďže S je inerciálna, ľubo-

voľný hmotný bod viazaný na , t.j. majúci aj zložku rýchlosti sa pohybuje

slide19

vzhľadom na S konštatnou rýchlosťou . Tento hmotný bod sa potom na základe

(5) pohybuje vzhľadom na sústavu rýchlosťou

(7)

keďže nerotuje, a teda . Inerciálna je teda aj sústava . Môžeme teda

urobiť záver, že inerciálne sú všetky sústavy, ktoré vzhľadom na nájdenú jednu kona-

jú rovnomerné translačné pohyby bez rotácie.

Nech sa teraz sústava pohybuje vzhľadom na súradnicovú sústavu S nie translač-

ne rovnomerne priamočiaro a môže aj rotovať. Potom ak S je inerciálna sústava, rých-

losť voľného hmotného bodu vzhľadom na S je konštantná. Rýchlosť tohto

hmotného bodu vzhľadom na je potom daná prvou rovnosťou v (7), a teda kon-

štantná nie je, lebo sa mení vo všeobecnosti i . Výnimku tvorí len o-

kamih pohybu, kedy by sa a navzájom vykompenzovali. Súradnicová

sústava teda nie je už inerciálna a pre pohyb hmotného bodu vzhľadom na tak-

to sa pohybujúcu súradnicovú sústavu neplatí Newtonov zákon zotrvačnosti. Neinerci-

álna vzťažná sústava je teda taká sústava, ktorá sa vzhľadom na inerciálnu SS nepohy-

nuje rovnomerne priamočiaro, t.j. môže sa vzhľadom na inerciálnu SS pohybovať

zrýchleným translačným pohybom, alebo môže rotovať, alebo oboje. Ak napr. považu-

jeme za inerciálnu sústavu sústavu viazanú na hmotný stred našej Slnečnej sústa-

vy, potom SS viazaná na Zem nie je inerciálna, lebo rýchlosť jej obiehania okolo tohto

hmotného stredu sa, aj keď málo, mení a Zem rotuje.

slide20

Zotrvačné sily

Nech súradnicová sústava S je inerciálna a je voči pozorovateľovi v pokoji a súradni-

cová sústava sa pohybuje voči S translačným pohybom s unášavým zrýchlením

. Nech sa teleso pohybuje spolu so sústavou so zrýchlením a zároveň sa pohybuje so zrýchlením vzhľadom na . Potom môžeme pre zrýchlenie

písať

(8)

Ak sa teda súradnicová sústava pohybuje vzhľadom na S konštantnou rýchlos-

ťou, platí , a teda teleso bude mať podľa (8) rovnaké zrýchlenie v oboch

SS, t.j. budú naňho v oboch sústavách pôsobiť rovnaké sily

v ktorých tkvie pôvod zrýchlení , . Sústava je teda v tomto prípade

tiež inerciálna. Keď sa však sústava pohybuje vzhľadom na kľudovú sústavu S

s nenulovým zrýchlením , je táto sústava neinerciálna a podľa (8) bude v nej pô-

sobiť na teleso sila

slide21

Sila , ktorá pôsobí na teleso v neinerciálnej sústave , je teda výslednicou sily

a zotrvačnej sily

ktorá má smer opačný ako unášavé zrýchlenie . Táto sila pôsobí na všetky časti

telesa úmerne ich hmotnostiam a má teda svoje pôsobisko v jeho ťažisku podobne ako

gravitačná sila.

Klasická mechanika neobjasnila pôvod zotrvačných síl a pokladala ich za fiktívne, nes-

kutočné. Aby sme mohli použiť druhý Newtonov pohybový zákon aj v neinerci-

álnych sústavách, t.j. aby aj v týchto sústavách platilo, že súčin hmotnosti a zrýchlenia

telesa je rovný vektorovému súčtu všetkých pôsobiacich síl, musíme ku silám, ktoré

klasická mechanika považovala za skutočné pripočítať aj sily zotrvačné. Moderná fyzi-

ka vysvetlila však aj sily zotrvačné ako sily skutočné na základe všeobecnej teórie re-

lativity.

slide22

Zotrvačné sily pri priamočiarych translačných pohyboch

Nech sa po vodorovnej pria-

mej trati rozbieha zo stanice

so zrýchlením vzhľadom

na inerciálnu vzťažnú sústavu

spojenú so stanicou voz. V

prednej časti voza je umies-

tnené teleso 1, v zadnej časti

sa o zadnú

stenu opiera teleso 2. Predpokladáme, že trenie medzi telesami a podlahou voza je nu-

lové. Sitáciu môžeme popísať z dvoch hľadísk: z hľadiska nehybného pozorovateľa

spojeného s inerciálnou sústavou S a z hľadiska pozorovateľa, ktorý sa vezie vo voze.

Pozorovateľ na stanici vidí, že prvé teleso sa nebude vôbec pohybovať, až kým nena-

razí na zadnú stenu vagóna. Druhé teleso sa zase bude pohybovať so zrýchlením vo-

za . Toto možno jednoducho ukázať na základe rozboru síl, ktoré na každé z te-

lies pôsobia. Nebudeme pritom uvažovať vertikálne sily, t.j. silu normálovú a gravi-

tačnú. Tieto sily sa navzájom pri pohybe po vodorovnej trati vykompenzujú, a teda

telesá nebudú mať nijaké zrýchlenie vo vertikálnom smere. Zaoberajme sa teda len

horizontálnymi silami. V sústave S nepôsobí na teleso 1 nijaká sila, pretože trenie je

nulové, a teda jeho zrýchlenie . Naopak na teleso 2 unášané vagónom pôsobí silou zadná stena vozňa. Podľa zákona akcie a reakcie pôsobí te-

slide23

leso na vozeň silou rovnako veľkou a opačne orientovanou . Túto silu nazý-

vame kinetická reakcia a nie je to zotrvačná sila, lebo pôsobí na vozeň, a nie na teleso.

Z hľadiska pozorovateľa v sústave spojenej s vozňom sa bude situácia javiť inak.

Táto sústava sa vzhľadom na inerciálnu sústavu S pohybuje so zrýchlením, a teda je

neinerciálna, čo znamená, že v nej budú pôsobiť zotrvačné sily. V tejto sústave pozoro-

vateľ vidí, ako sa teleso 1 pohybuje so zrýchlením ku zadnej stene vagó-

na, a to pôsobením zotrvačnej sily , ktorá je jedinou nenulovou

silou pôsobiacou na teleso 1 v horizontálnom smere. Teleso 2 je z hľadiska pozorova-

teľa nachádzajúceho sa vo vagóne v kľude, a teda vektorový súčet síl naňho pôsobia-

cich musí byť nula. Platí teda pre sily pôsobiace na teleso 2 v horizontálnom smere

Zotrvačná sila , pretože tak je definovaná. Pôsobenie tejto sily na teleso 2

sa prenáša na zadnú stenu vagóna, ktorý pôsobí spätne na toto teleso silou rovnako

veľkou a opačného smeru ako , t.j. .

slide24

Gravitačné a zotrvačné sily

Jedným z dvoch princípov Einsteinovej všeobecnej teórie relativity je princíp ekviva-

lencie gravitačných a zotrvačných síl, ktorý hovorí: Gravitačné a zotrvačné sily majú

tú istú fyzikálnu podstatu a platia pre ne rovnaké základné zákony.

Gravitačné sily pôsobia na hmotné objekty rovnako, či sú v pokoji, alebo v pohybe.

Zotrvačné sily pôsobia len vtedy, ak sa objekty pohybujú zrýchlene voči stáliciam (ak

so stálicami spojíme inerciálnu vzťažnú sústavu). V homogénnych poliach pôsobia si-

ly oboch druhov na všetky časti telesa úmerne ich hmotnostiam a ich výslednice majú

spoločné pôsobisko v ťažisku telesa.

Na objekty nachádzajúce sa na povrchu Zeme pôsobí nielen gravitačná sila, ale v dôs-

ledku jej rotácie aj zotrvačná odstredivá sila, ktorá je kolmá na os rotácie a má smer od

osi rotácie. Tejto sile sa ešte budeme podrobnejšie venovať neskôr. Výslednica týchto-

dvoch síl je tiažová sila, ktorú označujeme a táto isla udeľuje telesám spojeným

so Zemou tiažové zrýchlenie orientované prakticky do stredu Zeme a ktorého veľ-

kosť je v našich zemepisných šírkach okolo 9.81 ms-2.

Najmä v dopravných prostriedkoch sa stretávame so zmenami tiaže, ktorých príčinou

je pôsobenie zotrvačných síl vznikajúcich, keď tieto prostriedky zrýchľujú alebo spo-

maľujú. Typickým príkladom je jazda vo výťahu. Pokiaľ je výťah v kľude, alebo sa

pohybuje konštantnou rýchlosťou, máme v ňom rovnakú tiaž, ako v rovnakej výške

na vedľajšom schodišti. Je to preto, lebo na nás pôsobí len tiažová sila

slide25

Človek prenáša túto silu na podlahu silou a podlaha na neho pôsobí reakciou

, ktorú vnímame ako mieru svojej tiaže (váhy).

Pri rozbehu nahor alebo dojazde nadol má výťah unášavé zrýchlenie , ktoré je

orientované nahor. Na človeka vo výťahu teda pôsobí zotrvačná sila

smerom nadol, takže naša tiaž bude , t.j. jej veľkosť bude

, a naše tiažové zrýchlenie bude ( a

sú orientované nadol). Naša tiaž vo výťahu bude teda väčšia v porovnaní s kľudovým

stavom a vo výťahu nastane preťaženie.

Pri rozbehu nadol a dojazde nahor smeruje unášavé zrýchlenie výťahu nadol,

takže zotrvačná sila má smer nahor. Výsledná tiaž je

a jej veľkosť je . Tiažové zrýchlenie bude .

Ako veľkosť , tak aj veľkosť budú teda menšie ako sú hodnoty v kľudo-

vom stave a vo výťahu nastane odľahčenie.

Preťaženie a odľahčenie človek vníma ako zmeny vzájomného silového pôsobenia

svojho tela a podlahy výťahu.

Keby sa napr. výťah rozbiehal nadol s unášavým zrýchlením , boli by ľu-

dia v ňom v beztiažovom stave, pretože pre výsledné tiažové zrýchlenie by platilo

. Keby sa výťah rozbiehal nadol s unášavým zrýchlením o veľkosti

väčšej ako je veľkosť tiažového zrýchlenia , naša tiaž i naše tiažové zrýchlenie

by boli orientované nahor a boli by sme nadnášaní.

slide26

Zotrvačné sily pri rotačných a krivočiarych pohyboch

V časti o zloženom pohybe (slidy 17 a 18) sme odvodili rovnicu (6) udávajúcu zrých-

lenie hmotného bodu vzhľadom na súradnicovú sústavu , spolu s ktorou

sa tento hmotný bod pohybuje so zrýchlením translačného pohybu a rotuje s

uhlovou rýchlosťou vzhľadom na sústavu S . Vynásobením tejto rovnice hmotnos-

ťou tohto objektu m dostaneme výraz udávajúci výslednú silu, ktorá naňho pôsobí v

sústave ako vektorový súčet 5 síl:

(8)

Len pre úplnosť dodajme, že je polohový vektor hmotného bodu vzhľadom na

počiatok , je jeho rýchlosť vzhľadom na a je jeho uhlové

zrýchlenie vzhľadom na sústavu S.

Len sila vo vzorci (8) nie je zotrvačná, lebo je to sila pôsobiaca na hmotný

bod vzhľadom na sústavu S. Ostatné 4 členy predstavujú zotrvačné sily, ktoré pôsobia

na hmotný bod v sústave :

... zotrvačná sila, ktorej príčinou je unášavý translačný pohyb sústavy

vzhľadom na sústavu S so zrýchlením

slide27

... odstredivá sila, ktorá existuje v dôsledku rotácie

(a spolu s ňou aj nášho hmotného bodu) vzhľadom

na S uhlovou rýchlosťou

... Coriolisova sila – pôsobí v rotujúcej SS, v ktorej má

hmotný bod nenulovú zložku rýchlosti v rovine

kolmej na

... dotyčnicová sila – pôsobí, keď má hmotný bod nenulo-

vé uhlové zrýchlenie vzhľadom na S

slide28

Odstredivá sila

Nech sa súradnicová sústava nepohybuje

vzhľadom na S translačným pohybom.

však rotuje vzhľadom na S konštantnou uhlovou

rýchlosťou okolo osi v smere proti

chodu hodinových ručičiek. Spolu s rotu-

je aj hmotný bod P tou istou uhlovou rýchlos-

ťou v kolmej vzdialenosti od osi otáčania.

Hmotný bod P teda vykonáva vzhľadom na S

pohyb po kruhovej dráhe konštantnou uhlovou

rýchlosťou . Veľkosť jeho rýchlosti

sa teda tiež nemení, takže jeho tangenciálne zrýchlenie je nulové, čo znamená,že

jeho celkové zrýchlenie je rovné normálovému zrýchleniu smerujúcemu

do stredu kruhovej dráhy hmotného bodu P. Pozorovateľ nachádzajúci sa v sústave

S teda vidí, že na P pôsobí len jedna sila – dostredivá sila , daná jeho (normálo-

vým) zrýchlením a táto sila pôsobí prostredníctvom väzby, ktorá drží hmotný bod na

jeho dráhe. Vyjadrenie pre je

(9)

kde je jednotkový vektor smerujúci od bodu P do stredu jeho kruhovej dráhy.

slide29

Samozrejme, podľa zákona akcie a reakcie pôsobí aj väzba na hmotný bod P, a to si-

lou rovnako veľkou a opačne orientovanou, ako sila . Obe sily pôsobia na rôz-

ne telesá, preto sa nevyrušia navzájom.

Pozorovateľ v však vidí, že hmotný bod P je v kľude, t.j. musí podľa druhého

Newtonovho pohybového zákona platiť, že výslednica všetkých na neho pôsobiacich

síl je nulová. Tento pozorovateľ tiež pozoruje silu , ktorou na P pôsobí väzba.

Napr. by touto väzbou mohla byť pružina alebo iné zariadenie, ktoré by bodu P umož-

ňovalo pohyb v radiálnom ale nie v dotyčnicovom smere k jeho dráhe. Prejavom pôso-

benia sily by pre pozorovateľa v bolo napr. napnutie pružiny, spôsobené ro-

táciou a s ňou aj hmotného bodu P. Hmotný bod je všakv v kľude. Z toho

pozorovateľ v tejto sústave usúdi, že na P musí pôsobiť ešte jedna sila, ktorá je rovna-

ko veľká a opačne orientovaná, ako a to je sila odstredivá, ktorá je silou zotrvač-

nou, pretože má smer opačný ako unášavé normálové zrýchlenie . Táto sila teda v našom prípade je

(10)

Už sme spomenuli vyššie, že na telesá na povrchu Zeme pôsobí okrem gravitačnej si-

ly aj odstredivá sila, a to v dôsledku jej rotácie. Vzťažná sústava spojená

so Zemou je teda neinerciálna. Princíp fungovania tejto odstredivej sily je presne ten

istý, ako sme práve vysvetlili a platí pre ňu tiež vzorec (10). Z toho plynie, že veľkosť

pôsobiacej na telesá na povrchu Zeme sa zmenšuje smerom od rovníka k pó-

slide30

lom, pretože sa zmenšuje polomer kruhovej dráhy,

ktorú teleso opisuje okolo osi otáčania Zeme. To je

jeden z dôvodov, prečo zrýchlenie, ktoré udeľuje

Zem telesám blízko jej povrchu, nie je všade na po-

vrchu Zeme konštantné. Je to zrýchlenie, ktoré je

vektorovým súčtom odstredivého zrýchlenia

a gravitačného zrýchlenia

a nazýva sa, ako už vieme, tiažové zrýchlenie s

označením .

Keďže gravitačné zrýchlenie Zeme s dobrou presnosťou smeruje do stredu Ze-

me, v dôsledku pôsobenia zotrvačnej odstredivej sily tiažové zrýchlenie bude mierne

odchýlené od tohto smeru, ako ukazuje aj obrázok (zveličene).

S pôsobením zotrvačnej sily sa stretávame vo veľkej miere v lietadlách a

kozmických lodiach, pretože veľkosti zrýchlenia v nich dosahované sú aj niekoľkoná-

sobkom veľkosti normálneho tiažovéhoho zrýchlenia na povrchu Zeme . Napr.

v lietadle pri priamočiarom lete stálou rýchlosťou sa tiaž v jeho vnútri nemení. Keď

však lietadlo opisuje zakrivenú dráhu vo zvislej rovine, predpokladajme rýchlosťou

stálej veľkosti , pričom polomer krivosti dráhy je R, má lietadlo unášavé zrýchle-

nie, s jedinou zložkou normálovou, v neinerciálnej vzťažnej sústave, ktorá je spojená

s lietadlom. Potom výsledné tiažové zrýchlenie, ktoré je udeľované cestujúcim v

lietadle, bude

slide31

kde je jednotkový vektor ležiaci v spojnici stredu krivosti dráhy lietadla a lietadla

a majúci smer k lietadlu, je normálové zrýchlenie smerujúce do stredu krivosti

dráhy, t.j. je unášavé zrýchlenie, ktoré udáva zotrvačnú silu pôsobiacu na

cestujúcich v lietadle.

Ako vidíme na obrázkoch, ak je zvislý oblúk, po ktorom sa lietadlo pohybuje, odvrá-

tený od Zeme, nastáva v lietadle odľahčenie, ak je oblúk privrátený k Zemi, nastáva

preťaženie.

slide32

Veľké preťaženia vznikajú v kozmických lodiach pri zrýchľovaní reaktívnym poho-

nom pri štarte i pri pristávaní. Zrýchlenia pri týchto pohyboch môžu dosiahnuť veľkosť

až 10 po dobu niekoľkých sekúnd. Keď je už kozmická loď navedená na obežnú

dráhu okolo Zeme, pohon rakety je vypnutý a nastáva stav bez tiaže. Pohyb lode je

potom riadený len okolitými vesmírnymi telesami, ktoré predstavujú inerciálnu sústa-

vu, t.j. vesmírne telesá udeľujú v inerciálnej sústave kozmickej lodi a kozmonautom

v nej výsledné gravitačné zrýchlenie . Unášavé zrýchlenie v neinerciálnej vzťaž-

nej sústave spojenej s loďou a udeľované kozmonautom v nej je potom , takže

výsledné tiažové zrýchlenie v kabíne lode je nulové.

Dotyčnicová sila

Nech sústava a s ňou hmotný bod P rotujú vzhľadom na inerciálnu sústavu S s

konštantným uhlovým zrýchlením vzhľadom na sústavu S. Pozorovateľ v S usú-

di, že aby toto nastalo, musí na hmotný bod P pôsobiť sila, ktorá má smer dotyčnice

k jeho kruhovej dráhe – dotyčnicová sila

kde je polomer kruhovej dráhy hmotného bodu P a jednotkový vektor má

v každom okamihu smer okamžitej rýchlosti . Tangenciálne zrýchlenie hmot-

ného bodu P už teda nie je nulové, lebo sa mení aj veľkosť jeho rýchlosti.

slide33

Pozorovateľ v však pozoruje, že P je v pokoji, a teda vektorový súčet všetkých

síl naňho pôsobiacich musí byť nula. Keďže však tento pozorovateľ tiež pozoruje si-

lu , musí usúdiť, že na hmotný bod P pôsobí ešte jedna sila, ktorá je rovnako veľ-

ká a opačne orientovaná, ako , zotrvačná sila , ktorá je daná unáša-

vým zrýchlením , ktoré má neinerciálna sústava vzhľadom na inerciálnu

sústavu S, a má teda opačný smer ako toto zrýchlenie.

slide34

Rotačné pohyby

Kinetická energia rotácie okolo pevnej osi. Moment zotrvačnosti.

Pod pevnou osou rozumieme os, ktorá má stálu polohu vzhľadom na zvolenú vzťažnú

súradnicovú sústavu. Pri rotácii telesa okolo pevnej osi všetky jeho body rotujú s rov-

nakou uhlovou rýchlosťou, ale s rôznymi rých-

losťami , kde je kolmá vzdiale-

nosť bodu od osi rotácie, a ak ide o doko-

nale tuhé teleso, je táto vzdialenosť pre každý

bod telesa počas rotácie konštantná. Keďže te-

da každý bod telesa rotuje s inou rýchlosťou,

nájdeme kinetickú energiu jeho rotácie tak, že

ho budeme považovať za súbor častíc s hmot-

nosťami a rýchlosťami . Kinetickú

energiu celého telesa potom získame sčítaním

kinetických energií všetkých častíc, z ktorých pozostáva

slide35

Veličina

(11)

hovorí, ako je rozložená hmota v telese v závislosti od vzdialenosti od osi rotácie a na-

zývame ju moment zotrvačnosti vzhľadom na os otáčania. Veličina

je kinetická energia rotácie telesa vzhľadom na pevnú os, vzhľadom na ktorú má tele-

so moment zotrvačnosti I. Moment zotrvačnosti teda vždy určujeme vzhľadom na ur-

čitú os rotácie. Pokiaľ na teleso nazeráme nie ako na súbor častíc (hmotných bodov),

ale ako na objekt so spojito rozloženou hmotnosťou, t.j. na objekt pozostávajúci z tes-

ne vedľa seba uložených nekonečne malých hmotnostných elementov o hmotnostiach

dm, pričom každý z nich má od osi otáčania vzdialenosť r, potom moment zotrvač-

nosti je daný integrálom

(12)

Porovnaním (11) a (12) vidíme jasnú korešpondenciu. Integrál v (12) vystupupuje ako

súčet nekonečného počtu nekonečne malých príspevkov . Ešte poznamenajme,

že hmotnosti dm, resp. môžu byť rôzne v závislosti od r, resp. . Z oboch uve-

dených definícii dostávame pre moment zotrvačnosti jeho fyzikálny rozmer – kgm2.

slide36

Obrázky ilustrujú, že moment zotr-

vačnosti vždy určujeme vzhľadom

určitú os. Dve rovnaké telesá tu rotu-

jú okolo rôznych osí. Keďže v prvom

prípade je tá istá hmota položená

bližšie k osi rotácie, je aj moment zo-

trvačnosti vzhľadom na túto os

menší.

Steinerova veta

Steinerova veta znie: Ak poznáme moment zotrvač-

nosti telesa vzhľadom na os prechádzajúcu jeho

ťažiskom, potom moment zotrvačnosti I tohto te-

lesa vzhľadom na ľubovoľnú inú os rovnobežnú s

touto osou a v kolmej vzdialenosti d od nej je

kde M je hmotnosť telesa.

slide37

Dôkaz Steinerovej vety:

Tento dôkaz urobíme pre rovinné teleso, t.j. napr. veľmi tenkú dosku, takže namiesto

objemovej hustoty môžeme zaviesť plošnú hustotu , udávajúcu hmotnosť

pripadajúcu na jednotku plochy. Potom hmotnostný element telesa , kde

dS je infinitezimálna plocha odpovedajúca tomuto elementu a samozrejme môže

závisieť od polohy v telese. Umiestnime túto dosku do roviny xy tak, aby počiatok sú-

radnicovej sústavy splýval s jej ťažiskom. Potom pre moment zotrvačnosti vzhľa-

dom na os prechádzajúcu kolmo na dosku bodom P, ktorý máv rovine xy konštantné

súradnice a, b, platí

(13)

0

0

Prvý riadok v rovnici (13) v súlade s definíciou momentu zotrvačnosti (12) znamená,

že sčítavame príspevky od všetkých hmotnostných elementov dm dosky, pri-

čom pre štvorec vzdialenosti elementu dm so súradnicami x a y od bodu P platí

. Po elementárnych úpravách dostaneme 4 integrály v druhom

riadku (13). Prvý integrá znamená súčet príspevkov všetkých hmotnostných elemen-

slide38

tov dm, ktoré majú tvar , kde je štvorec vzdialenosti

elementu dm so súradnicami x, y od ťažiska. Je teda zrejmé, že tento integrál predsta-

vuje moment zotrvačnosti dosky vzhľadom na os kolmú na dosku a prechádzajúcu jej

ťažiskom. Druhý a tretí integrál v druhom riadku (13) sú nulové, pretože podľa defi-

nície platí pre x-ovú a y-ovú súradnicu ťažiska ľubovoľného telesa o hmotnosti M

My sme však zvolili takú konfiguráciu problému, v ktorej . Preto v na-

šom prípade je ľavá strana horeuvedených rovníc nulová, a tak musí byť nulová aj

pravá strana.

Napokon posledný integrál v druhom riadku (13) je integrál z konštanty

, ktorá predstavuje štvorec vzdialenosti bodu P od ťažiska, t.j. kolmú

vzdialenosť osí prechádzajúcich bodom P a ťažiskom dosky a kolmých na dosku.

Keďže je konštanta, môžeme ju vybrať pred integrál. Zostane nám tak integrovať

integrál , ktorý, ako je zrejmé, predstavuje súčet hmotností všetkých hmot-

nostných elementov dm telesa, a teda hmotnosť celého telesa M.

slide39

Moment sily

Schopnosť rotovať nejaký objekt závisí nielen od veľkosti sily, ktorou na tento objekt

pôsobíme, ale aj od jej smeru a pôsobiska. Napr. ak chceme otočiť dvere okolo pán-

tov, najľahšie sa nám bude točiť, ak budeme pôsobiť kolmo na dvere a čo najďalej od

pántov. Čím bližšie k pántom budeme pôsobiť a čím viac bude smer nášho pôsobe-

nia na dvere odchýlený od kolmice, tým viac úsilia budeme musieť vyvinúť, aby sme

zakaždým dostali rovnaký výsledok. Ak by sme pôsobili silou rovnobežnou s dvera-

mi, akokoľvek by táto sila bola veľká, dvere by sa nepohli. Preto sa zaviedla veličina,

ktorá je mierou schopnosti niečo

uviesť do rotačného pohybu a nazý-

va sa moment sily.

Na obrázku je teleso, ktoré rotuje oko-

lo pevnej osi kolmej na nákresňu v

dôsledku pôsobenia sily v jed-

nom z bodov povrchu telesa, ktorý

označme P. Predpokladajme, že vek-

tor tejto sily leží v rovine kolmej na

os otáčania a že vektor udáva

polohu bodu P vzhľadom na bod osi

otáčania, ktorý leží v tejto rovine.

slide40

Potom veľkosť momentu sily vzhľadom na tento bod osi je v našom prípade

(14)

V poslednej rovnici uhol je menší z uhlov, ktorý zviera vektor s vektorom

. Veličina predstavuje tangenci-

álnu zložku sily , t.j. jej zložku majúcu smer dotyčnice ku kruhovej dráhe bodu P.

Veľkosť vektora potom nazývame aj ramenom tangenciálnej sily . Veličina

predstavuje kolmú vzdialenosť osi otáčania, t.j. vzdialenosť bodu na osi otáča-

nia, vzhľadom na ktorý v tomto prípade moment sily určujeme, od čiary pôsobenia

, t.j. čiary, v ktorej vektor leží a nazýva sa aj rameno sily .

Ako je zrejmé aj z obrázku, rotáciu telesa spôsobuje len tangenciálna zložka sily .

Radiálna zložka , keďže leží v kolmej spojnici pôsobiska sily a osi otáčania,

k rotácii neprispieva.

Poznamenajme, že tu sme určili moment sily vzhľadom na konkrétny bod na osi otá-

čania. Môžeme však určiť moment sily aj vzhľadom na os otáčania ako jeho priemet

do smeru osi otáčania, pretože priemet momentu sily určeného vzhľadom na ľubovoľ-

ný bod priamky do smeru priamky nezávisí od bodu zvoleného na priamke. V našej

tu predpokladanej konfigurácii problému je priemet momentu sily do smeru osi

otáčania totožný s týmto momentom vzhľadom na bod, ktorý sme vybrali, čo bude

zrejmé z ďalších úvah, ako aj to, že keby sme vybrali napr. iný smer sily , už by

toto neplatilo.

slide41

Moment sily môžeme definovať nielen pre tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi, ale

aj pre ľubovoľný hmotný bod (časticu), ktorý sa pohybuje pozdĺž ľubovoľnej dráhy

vzhľadom na nejaký fixovaný bod.

Na obrázku je hmotný bod v polohe ozna-

čenej A pohybujúci sa v rovine xy za účin-

ku sily , ktorá tiež leží v tejto rovine.

Vektor udáva polohu hmotného bodu

v tomto okamihu vzhľadom na počiatok

súradnicovej sústavy O, t.j. tiež leží v rovi-

ne xy. Potom veľkosť momentu sily

vzhľadom na bod O môžeme vyjadriť po-

dobne ako v (14)

kde je zložka sily kolmá na smer vektora . Moment sily však je vektor,

ktorý definujeme ako vektorový súčin

(15)

slide42

kde uhol je kratší z uhlov zvieraný vektormi a a jednotkový vektor

má smer na tú stranu od roviny, v ktorej ležia vektory a , z ktorej sa

rotácia do smeru javí proti chodu hodinových ručičiek. Tomu odpovedá aj

náš obrázok.

Podobne ako pre silu, aj pre moment sily platí princíp superpozície momentov síl,

ktorý znie: Ak na hmotný bod (časticu, teleso) pôsobí viac momentov sily, výsledný

(celkový) moment sily je vektorovým súčtom týchto momentov sily. Na zákla-

de definície (15) jednotkou momentu sily je Nm.

2. Newtonov pohybový zákon pre rotáciu

Kinetická energia translačného pohybu .... ... závisí len od hmotnosti

Kinetická energia rotačného pohybu .... ... závisí nielen od hmotnosti,

ale aj od jej rozloženia v

telese prostredníctvom I

Korešpondencia kinetických energií translačného a rotačného pohybu – hmotnosti m

korešponduje moment zotrvačnosti I a rýchlosti uhlová rýchlosť - nazna-

čuje, že 2. NPZ pre rotáciu bude tiež korešpondovať tomtuto zákonu pre translačný

pohyb, t.j.

slide43

(16)

Druhá rovnica platí pre rotáciu okolo pevnej osi a v nej predstavuje priemet

celkového momentu sily do osi otáčania. Keďže ide o rotáciu okolo pevnej osi, vek-

tor uhlového zrýchlenia bude mať smer vektora , t.j. tiež bude ležať v osi

rotácie. Platnosť druhej rovnice v (16) ukážeme teraz pre špeciálny prípad obieha-

nia hmotného bodu po kruhovej dráhe za pôsobenia sily ležiacej v rovine tejto dráhy.

Hmotný bod je na dráhe “držaný” väzbou – ne-

hmotnou tyčou o dĺžke r. Rotačný pohyb hmot-

ného bodu je spôsobený len tangenciálnou

zložkou sily - . Z druhého Newtonov-

ho pohybového zákona potom dostávame pre

túto zložku sily

kde je tangenciálne zrýchlenie. Ďalej na základe

(15) bude veľkosť momentu sily pôsobiaceho na

hmotný bod

(17)

slide44

Posledná rovnica je dôkazom druhej rovnice v (16) – 2. NPZ pre rotáciu – pre

špeciálny prípad, kedy vektory výsledného momentu sily a uhlového zrýchle-

nia majú rovnaký smer a orientáciu, preto v nej ani nedávame šípky nad

a označujúce vektory. Naozaj. V prípade, že hmotný bod zrýchľuje pri pohy-

be proti smeru hodinových ručičiek, čomu musí odpovedať aj smer sily – v smere

pohybu - vektor ležiaci v osi otáčania nadobúda stále väčšie hodnoty, takže

vektor rozdielu konečnej a počiatočnej hodnoty vektora má rovnaký smer ako .

Podobne ukážeme rovnakú orientáciu a aj pre spomaľovanie v zmys-

le proti chodu hodinových ručičiek, kedy hodnoty vektora sa zmenšujú, t.j.

vektor rozdielu jeho konečnej a počiatočnej hodnoty má smer kolmo na kruhovú

dráhu hmotného bod a za nákresňu. Taký smer a orientáciu má aj vektor momen-

tu sily , keďže teraz je orientácia sily opačná – pôsobí proti pohybu. Pri

zrýchľovaní a spomaľovaní hmotného bodu v smere chodu hodinových ručičiek by

platili analogické úvahy. Ešte poznamenajme, že tu sme ukázali platnosť (16)

len pri pôsobení jednej sily. Pri pôsobení viacerých síl by sme najskôr museli nájsť

ich výslednicu, a potom aplikovať horeuvedené úvahy. Rovnicu (17) môžeme aplikovať aj na ľubovoľné teleso rotujúce okolo pevnej osi, keďže ho môžeme považovať za systém častíc, z ktorých každá rotuje s rovnakým uhlovým zrýchlením.

Treba teda len sčítať moment zotrvačnosti všetkých častíc, aby sme dostali mo-

ment zotrvačnosti celého telesa a tým výsledný moment sily pôsobiaci na teleso.

slide45

Práca a rotačná kinetická energia

Využime opäť príklad reprezentovaný obrázkom na slide 43. Sila pôsobí pozdĺž

dráhy, t.j. koná na obiehajúcom hmotnom bode prácu. Predpokladajme, že konaním

tejto práce sa zmení len kinetická energia hmotného bodu. Práca teda bude daná roz-

dielom kinetických energií v ľubovoľných dvoch okamihoch i a po ňom nasledujú-

com f., t.j.

kde a sú uhlové frekvencie obiehania hmotného bodu v okamihoch i a f.

Platnosť poslednej rovnice môžeme rozšíriť na ľubovoľné teleso rotujúce okolo pev-

nej osi, keďže ho môžeme považovať za sústavu hmotných bodov, každý z ktorých

má v danom okamihu rovnakú uhlovú frekvenciu otáčania. Stačí teda len sčítať mo-

menty zotrvačnosti všetkých častíc, z ktorých teleso pozostáva, aby sme získali mo-

ment zotrvačnosti celého telesa a tým zmenu kinetickej energie celého telesa.

Prácu, ktorú vykoná sila na hmotnom bode obiehajúcom po kruhovej dráhe v

dôsledku tejto sily môžeme vyjadriť aj pomocou jej momentu. Keďže práca je ska-

lárny súčin sily a posunutia a silu sme rozložili na jej tangenciálnu zložku

slide46

ktorá má v každom okamihu smer dotyčnice ku kruhovej dráhe, a radiálnu zložku

ktorá je na túto dotyčnicu kolmá, bude elementárna práca vykonaná počas elementár-

neho posunutia ds, ktoré má rovnaký smer ako aktorému odpovedá elementár-

ny uhol , daná vzťahom

Práca vykonaná pri otočení hmotného bodu z polohy, ktorej odpovedá uhol do

polohy, ktorej odpovedá uhol , bude daná súčtom vštkých takýchto elementár-

nych príspevkov, a teda integrálom

Napokon výkon spojený s touto prácou môžeme vypočítať takto

kde sme predpokladali konšt.

slide47

Moment hybnosti

Moment hybnosti hmotného bodu vzhľadom na nejaký bod O, ak má hmotný bod hyb-

nosť , je daný vzorcom

(18)

kde je polohový vektor hmotného bodu vzhľadom na bod O.

Pre lepšiu názornosť na obrázku je hmot-

ný bod v okamihu svojho pohybu, ktoré-

my odpovedá bod A. Nech v tomto oka-

mihu leží vektor jeho hybnosti v rovine

xy a menší z uhlov zvieraný vektormi

a (tiež leží v rovine xy) je . Po-

tom pre veľkosť vektora určovaného vzhľadom na bod O platí

kde , resp. sú zložky rýchlosti, resp. hybnosti kolmé v danom okamihu na

vektor a je kolmá vzdialenosť bodu O od priamky, v ktorej leží .

slide48

Z derfinície (18) je jasné, že vektor momentu hybnosti hmotného bodu je kolmý na

rovinu určenú vektorom jeho hybnosti a polohovým vektorom udávajúcim

polohu hmotného bodu vzhľadom na bod, vzhľadom na ktorý moment hybnosti urču-

jeme. Orientácia tohto vektora bude na tú stranu od tejto roviny, z ktorej sa rotácia

do smeru pozdĺž menšieho z uhlov zvieraných týmito vektormi javí proti chodu

hodinových ručičiek. Tomu odpovedá aj náš obrázok.

2. Newtonov pohybový zákon vo forme momentov

2. NPZ pre hmotný bod s hmotnosťou m a rýchlosťou , t.j. hybnosťou

má aj takýto tvar

(19)

Ak urobíme korešpondencie a , môžeme sformulovať 2. NPZ vo

forme momentov pre jeden hmotný bod (časticu)

(20)

Rovnica (20) hovorí, že vektorový súčet všetkých momentov sily pôsobiacich na

hmotný bod sa rovná časovej zmene jeho momentu hybnosti.

slide49

Dôkaz rovnice (20):

Vyjdeme z rovnice (18) a zderivujeme obe jej strany podľa času, pričom vektorvý

súčin v nej vystupujúci budeme derivovať tak ako súčin dvoch funkcií

0

Keďže platí prvá rovnosť v (19), kde je vektorový súčet všetkých síl pôsobia-

cich na hmotný bod, dostávame