Určení odrazného bodu bistatické altimetrie na ploše elipsoidu

1. Určení odrazného bodu bistatické altimetrie na ploše elipsoidu Ing. Stanislav Olivík K-101, FSv, ČVUT v Praze školitelka: doc. Milada Kočandrlová, CSc.

2. Seznámení se satelitní altimetrií Satelitní altimetrie je metoda určování tvaru geoidu v oblastech moří a oceánů, kde se měří výška družicového nosiče nad vodní hladinou pomocí radarového výškoměru Slovník VÚGTK

3. Satelitní altimetrie • měření výšky družice nad povrchem zemského tělesa • radiový, případně laserový altimetr • vysílač i přijímač jsou na jedné družici Ze známé polohy družice a vypočítané délky dráhy signálu se určí poloha a nadmořská výška bodu, kde se signál odrazil.

4. Princip bistatické altimetrie • vysílač – družice systému GPS NAVSTAR • přijímač – družice na nízké oběžné dráze (NOD) • signál z družic GPS se odráží od povrchu Země a vrací se do vesmíru • družice na NOD přijímá odražený signál Ze známých poloh družic a délky dráhy signálu se vypočítá poloha bodu, kde se signál odrazil.

5. Princip bistatické altimetrie Schematické znázornění poloh družic a plochy elipsoidu a přibližné polohy odrazného bodu.

6. Bistatická altimetrie Všechny dále zmíněné postupy výpočtu odrazného bodu využívají následující zjednodušení: • zanedbání vlivu fyzikálních jevů na dráhu signálu • odrazný bod leží na povrchu elipsoidu, dochází k ideálnímu odrazu • družice jsou v okamžiku vyslání i přijetí signálu v klidu (nepohybují se)

7. Modely bistatické altimetrie • dva elipsoidy a kužel: • parametry referenčního elipsoidu • poloha družice GPS • poloha přijímací družice • vektor rychlosti přijímací družice • úhel svírající dopadající odražený signál s vektorem rychlosti přijímací družice • délka dráhy signálu

9. Průnik tří kvadrik • odrazný bod jako průnik tří kvadrik: • referenční elipsoid WGS-84 • rotační elipsoid daný polohou družic a délkou odraženého signálu • rotační kuželová plocha určená vektorem rychlosti přijímací družice a úhlem mezi tímto vektorem a směrem přijatého signálu

10. Průnik tří kvadrik • postup: • průnik elipsoidu odrazných bodů s kuželovou plochou • testování bodů na průnikové křivce • konec, když leží na povrchu referenčního elipsoidu

11. Průnik tří kvadrik Lokální souřadnicové systémy • Počátek v přijímací družici • x’ – směr spojnice družic S1S2 • y‘– kolmá k ose x’ a směru vektoru rychlosti družice S1 • z‘ – určená tak, aby byl souřadnicový systém kladně orientovaný • x“ – směr vektoru rychlosti družice S1 • y“ – kolmá k S1S2 a ose x” • z“ – určená tak, aby byl souřadnicový systém kladně orientovaný

12. Průnik tří kvadrik Pro body na kuželové ploše pak platí vztahy kde J je úhel mezi vektorem rychlosti družice S1 a odraženým signálem.

13. Průnik tří kvadrik Pro přímku na kuželové ploše, na které leží bod Ki , platí vztahy kde u, v, w jsou souřadnice bodu Ki.

14. Průnik tří kvadrik Po dosazení do rovnice elipsoidu odrazných bodů získáme kvadratickou rovnici pro parametr t. Jejím řešením je vztah Pro kladný parametr t získáme průsečík kuželové plochy a elipsoidu odrazných bodů.

15. Průnik tří kvadrik

16. Průnik tří kvadrik Pokud nenajdeme průsečík všech tří kvadrik, končí výpočet, pokud jsou dva následné vypočítané body blíže než 0,01 m

17. Průnik tří kvadrik S1 = [1704270,88; 1037760,88; -6532029,78] m S2= [13438722,08; 7201125,22; -21772472,43] m 2d =21068077,73 m a=6378137 m; b=6356752,314 m u=(7.32877; 0.73153; 2,02837) J =69.33° P1=[1750477,7; 1048847,0; -6022001,7] m P2=[1752534,7; 1026022,2; -6025343,2] m

18. Průnik tří kvadrik P1=[1750477,7; 1048847,0; -6022001,7] m P2=[1752534,7; 1026022,2; -6025343,2] m Dva body jsme vypočítali díky tomu, že jsou elipsoidy do sebe vnořené. Rozdíly úhlů dopadu a odrazu v těchto bodech jsou Da1 = 2°20’08” Da2 = 1°21’30”

19. Modely bistatické altimetrie • jeden (referenční) elipsoid: • parametry referenčního elipsoidu • poloha družice GPS • poloha přijímací družice

21. jeden (referenční) elipsoid • Družice S1 , S2 a odrazný bod P’ leží v rovině • Úsečku S2P’ tvoří dráha vyslaného signálu • Úsečku S1P’ tvoří dráha odraženého signálu • Odraz signálu se řídí zákonem odrazu • Kolmici dopadu tvoří normála elipsoidu v P’ • Kolmice dopadu a dopadající paprsek tvoří rovinu, odražený paprsek leží v této rovině • Normála v P’ leží v rovině tvořené S1 , S2 a P’

22. jeden (referenční) elipsoid • Vybereme bod Qi na úsečce S1 S2 • Bod Qi kolmo promítneme na povrch elipsoidu • Spočteme úhly S2PiQi a S1PiQi • Pokud se rovnají, máme odrazný bod • Pokud ne, zvolíme bod Qi+1 pomocí vztahu • Pro bod Q1 je • h1 a h2 jsou výšky S1 a S2 nad elipsoidem

23. jeden (referenční) elipsoid • Pro body Qi+1 vypočteme q podle vztahu , kde • hqi je výška Qi nad elipsoidem • da je rozdíl úhlů dopadu a odrazu • t je úhel mezi úsečkami S1S2 a PiQi+1

24. jeden (referenční) elipsoid • Body Qi+1 promítneme na povrch elipsoidu pomocí převodu geocentických kartézských souřadnic do geografických souřadnic • Vyjdeme ze vztahů • Výsledné vztahy jsou

25. jeden (referenční) elipsoid • Pro vstupní data jsme vypočetli odrazný bod • S1 = [1704270,88; 1037760,88; -6532029,78] m • S2= [13438722,08; 7201125,22; -21772472,43] m • a=6378137 m; b=6356752,314 m • P1=[1735271,845; 1036118,116; -6029484,018] m • j = -71°34’58,378” ; l = 30°50’28,018” • Výpočet proběhl v 9 krocích při rozdílu úhlů -5,82 10-10 rad.

26. Literatura • Baranová M.: Multimediální texty k předmětu Matematická kartografie 1 [online], • Teichmann J.: GPS Altimetrie Bistatická GPS altimetrie projektu CHAMP, semestrální práce z předmětu Geodynamika, Technische Universitaet Dresden, Institut fuer Planetare Geodesie, 2000 • Kočandrlová, M.: Geometrický model úlohy GPS-altimetrie, Sborník 27. konference VŠTEZ, JČMF, 2002, str. 110-113 • Wagner, C., Klokočník, J.: Reflection Altimetry for oceanography and geodesy, presented at 2001: An Ocean Odyssey, IAPSO-IABO Symp.: Gravity, Geoid and Ocean Circulation as Inferred from Altimetry, Mar del Plata, Argentina • Olivík, S.: Odrazný bod GPS altimetrie na ploše elipsoidu, Sborník Semináře aplikované matematiky, Praha, 2005 • Olivík, S.: Odrazný bod bistatické altimetrie na ploše elipsoidu, Sborník Semináře Matematika na vysokých školách (Determinusmus a chaos), pobočka JČMF v Praze a ČVUT v Praze, 2005, ISBN 80-01-03269-8, str. 155-156 • Martin-Neira, M.: A passive reflectometry system: Application to ocean altimetry, ESA Journal 17, 1993, str. 331-356

27. Děkuji za pozornost