Modelli di analisi della domanda

1. Modelli di analisi della domanda Facoltà di Economia di Perugia (sede di Assisi) Laurea Specialistica in Economia del Turismo Corso in Economia del Trasporto (a.a. 2007-2008)

2. Indice • Modelli di domanda a scenari • Modelli di domanda econometrici/statistici • Modelli di domanda aggregata • Modelli di domanda disaggregata/scelta discreta • Approccio utilità costante • Approccio utilità casuale • Modello Logit multinomiale

3. Modelli a scenari (1) • Costruzioni di scenari alternativi che descrivono possibili stati del mondo, basati sull’identificazione e descrizioni di relazioni fondamentali tra variabili e con lo scopo di stimare gli impatti sulla politica di trasporto • Una volta identificate e descritte le relazioni fondamentali che intercorrono tra le ipotesi di cambiamento si cerca di capire come queste influiscano sui fenomeni oggetto dello studio tramite: • Modelli statistico-econometrici • Analisi qualitativa

4. Modelli a scenari (2) • Pregi: • previsioni what-if; • flessibilità; • non dipendenza dalla fonte dei dati • Difetti: • incertezza sulla natura, intensità, direzione dell’interazioni fra variabili e fra queste e gli scenari • in conclusione non suggeriscono nessun sentiero ottimale di condotta né alcuna valutazione sui diversi futuri

5. Modelli di domanda aggregati (1) • Tali modelli sono prevalentemente utilizzati nelle procedure di programmazione sia degli investimenti in infrastrutture, servizi e assetti territoriali (lungo periodo) sia negli interventi di regolazione del traffico (breve periodo) • Il punto di partenza di tali modelli è la delimitazione dell’area geografica oggetto di studio che viene suddivisa in zone potenzialmente omogeneee

6. Modelli di domanda aggregati (2) • Pertanto tali modelli studiano la “generazione” della domanda di trasporto (bisogno di spostamento) fra varie zone (O/D) • Modelli segmentati per fasi principali: • Generazione • Definiscono l’entità e la numerosità degli spostamenti • Scelta modale • Ripartizione della domanda fra le varie modalità • Distribuzione • Distribuire la domanda fra le varie zone • Assegnazione • Assegnazione delle unità di traffico ai percorsi che portano da i a j • Valutazione • Valutazione delle soluzioni identificate

7. Modelli di domanda aggregata (3) • La fase di generazione e di ripartizione modale più delle altre sono quelle analizzabili come domande di trasporto • Fase di generazione • Modelli di generazione = modelli gravitazionali • Tij = f (Ai; Bj; Cij) • T = numero di spostamenti fra i e j • A e B = opportunità di generare e attrarre spostamenti • C = costo generalizzato dello spostamento • i vari modelli si differenziano per le ipotesi sulla f, sulle variabili A-B, sulla struttura dei modelli

8. Modelli di domanda aggregata (4) • Fase della ripartizione modale • La domanda può essere soddisfatta da più di una modalità di trasporto (alternative) • Due interpretazioni: • “frequentista”: aggregazione della domanda soddisfatta da tutte le modalità e individuazione delle frequenze di ogni modalità → derivazione dei valori quantitativi dei traffici distinti per modo • “preferenze”: la domanda di una modalità è il risultato di una scelta dettata da preferenze → individuazione delle pobabilità di scelta • Tre fasi di costruzione dei modelli • Specificazione delle funzioni di scelta (individuaz. variabili) • Formalizzazione (trasformazione in forme funzionali) • Calibrazione (testare il modello)

9. Modelli di domanda aggregata (5) • Tali modelli sono stati concepiti essenzialmente per la stima della domanda locale di persone • Stima della domanda di merci • Entrano in gioco diverse variabili e soprattutto diversi decisori • Natura derivata della domanda merci (la funzione obiettivo non può essere interpretata direttamente in termini di utilità) • Diversità delle unità statistiche di riferimento (tonn, tonn/km, veicolo) • Per le merci bisogna riformulare la funzione obiettivo e in particolare definire il livello del ciclo di trasporto che si sta analizzando

10. Modelli a scelta discreta (1) • Modelli disaggregati che analizzano le scelte individuali (comportamento) in maniera descrittiva, astratta, operativa • Una scelta può essere vista come il risultato finale di un processo decisionale a fasi • Elementi di una teoria della scelta: • Decisore (individuo o gruppi) • Alternative (insieme di scelta universale/individuale) • Attributi (caratteristiche di alt. eterogenee) • Regola di scelta • Dominanza (confronto tramite attributi) • Soddisfazione (soglie minime per gli attributi) • Lessicografiche (rank degli attributi) • Utilità (ordinale/cardinale)

11. Modelli a scelta discreta (2) • Importanza del paradigma di individuo razionale (razionalità limitata) • Teorie delle scelte • Approccio classico: teoria del consumatore • Integrazioni: albero delle utilità; beni come input per la produzione domestica, approccio di Lancaster, vincoli di tempo • Approccio delle scelte discrete • Analisi delle “non scelte” di consumo • Insiemi di scelta di natura discreta • Individuare, tramite osservazioni, le preferenze del consumatore sulla base delle sue scelte (RP o SP)

12. Modelli a scelta discreta (3) • Secondo l’approccio alla Lancaster, l’utilità è funzione degli attributi, ovvero: • Dato un insieme di scelta C → Cn • L’individuo n sceglie l’alternativa i ε Cn se e soltanto se • Uin (Zin; Sn) > Ujn (Zjn; Sn) • Vantaggi dell’interpretazione probabilistica: • Inesatta conoscenza delle motivazioni individuali • Eterogeneità delle preferenze • Due approcci dei modelli probabilistici • Approccio dell’utilità costante (e della regola decisionale casuale) • Approccio dell’utilità casuale (RUM)

13. Approccio dell’utilità costante • La scelta dell’individuo non è funzione di una massimizzazione ma di un processo probabilistico • Il più semplice modello di UC è quello di Luce (1959) basato sull’assioma di scelta: • La probabilità di scegliere un’alternativa di un insieme C non è funzione del sottoinsieme S di C che contiene l’alternativa • Se j è sempre scelto rispetto ad i allora i può non essere considerato, il che appare ragionevole, quando si valutano le alternative presenti in C • Le probabilità di scelta di un insieme dipendono solo dalle alternative incluse in questo insieme • Dato l’assioma è possibile derivare un modello di scelta in cui le utilità sono direttamente proporzionali alle probabilità di scelta • Limiti del modello: • Indipendenza dalle alternative irrilevanti (IIA) • Scalarità semplice (importanza delle differenze)→ indipendenza dell’ordine delle preferenze

14. Approccio dell’utilità casuale (1) • Le inconsistenze nel comportamento individuale sono spiegate con la difficoltà dell’analista di osservare le funzioni di utilità dell’individuo • L’utilità diventa perciò una variabile casuale → assunzione di una distribuzione di probabilità congiunta • Ragioni della non coincidenza tra scelte realizzate e scelte osservate • Importanza di attributi inosservati • Presenza di preferenze inosservate • Errori di misurazione e informazione imperfetta • Utilizzo di variabili strumentali

15. Approccio dell’utilità casuale (2) • L’utilità di un’alternativa può esprimersi come la somma di due componenti: • Componente (utilità) deterministica V(z; S) • Componente casuale ε(Z; S)→ termine di errore • Un modello di scelta è derivato assumendo una specifica distribuzione di probabilità congiunta per i termini d’errore • Assumendo IID per i termini di errore, la scelta diventa funzione delle differenze delle utilità delle alternative

16. Approccio dell’utilità casuale (3) • Quando l’insieme di scelta comprende solo due alternative, i e j, si ha il caso dei modelli binomiali • La probabilità dipende dalla differenze delle utilità (determ.)→ la scala delle utilità non conta • L’utilità deterministica è funzione degli attributi e delle caratteristiche socioeconomiche • Normale assunzione di linearità nei parametri (ma non negli attributi) • Varie assunzioni sugli attributi da inserire (ASA) e sui parametri (ASP)

17. Approccio dell’utilità casuale (4) • Il termine d’errore generalmente è assunto a • Media zero → aggiungere una costante alla componente deterministica → “contano solo le differenze” • Varianza data (fissare la scala delle utilità) • Dipendente dagli attributi non osservati • Diverse assunzioni sulla distribuzione del termine d’errore danno origine a modelli diversi • Modello Lineare (distribuzione uniforme) • Modello Probit (distribuzione normale) • Modello Logit (distribuzione gumbel → logistica)

18. Modello Logit Multinomiale (1) • I termini di errore sono assunti essere indipendenti e identicamente distribuiti (la matrice var/covar è diagonale) secondo una distribuzione detta Gumbel • La loro differenza è invece distribuita secondo una logistica • L’indipendenza dei termini di errore è una assunzione forte ma non impossibile (corretta specificazione della funzione di utilità)

19. Modello logit (2) • Derivazione del modello • La probabilità di un alternativa è data da • Assumendo εin fisso, l’espressione sopra può essere intesa come la distribuzione cumulata di εjn valutata in uno specifico punto

20. Modello Logit Multinomiale (3) • Dato che i termini di errori sono indipendenti, la distribuzione cumulata per tutti i j≠i è pari al prodotto delle singole distribuzione cumulate • Dato che εin non è dato bisogna integrare per tutti i suoi possibili valori, quindi l’espressione precedente diventa • Con opportuni passaggi matematici il tutto diventa

21. Proprietà di un modello Logit Multinomiale • La P(i) è compresa tra 0 e 1 = la probabilità dipende dall’attrazione di un alternativa rispetto le altre • La somma delle diverse probabilità è pari a 1 • Facile interpretazione della relazione tra utilità deterministica e probabilità di scelta Fonte: Train, 2003

22. Limiti del modello Logit Multinomiale • Assunzioni di termini di errori IID • Identico termini di scala (relazione inversa con la varianza) per tutti gli errori • Incapacità di considerare nel modello eterogeneità “non osservate” delle preferenze • Incapacità di considerare correlazione delle scelte nel tempo • Proprietà IIA = indipendenza dalle alternative irrilevanti (o sostituzione proporzionale fra le utilità)

23. Proprietà IIA • Il rapporto tra le probabilità di due alternative non dipende dalla presenza/assenza di altre alternative • In termini formali • La proprietà IIA da vita al cosiddetto paradosso dell’autobus blu/rosso

24. Paradosso dell’autobus blu/rosso • Due modalità di trasporto: • Autovettura → P(A)= ½ • Bus rosso → P(Br)= ½ • P(A)/P(B) = 1 • Introduzione di una nuova modalità ma quasi identica alla seconda (bus blu) • P(Bb) = P(Br)= P(Bb)/P(Br) = 1 • P(A)/P(Br) non deve cambiare per la IIA • Questo è possibile solo se P(A)= P(Bb) = P(Br) = 1/3 • In realtà ci si aspetterebbe • P(A)= ½ • P(Bb)= P(Br)= ¼

25. Ancora sul’IIA • La IIA può essere definita anche come sostituzione proporzionale fra un alternativa e le altre • Ovvero se un alternativa migliora/peggiora tale cambiamento fa diminuire/aumentare proporzionalmente le probabilità di scelta delle altre alternative • IIA è un’assunzione valida se le alternative sono realmente percepite come distinte. Se così allora: • Stima delle probabilità su sottoinsiemi di scelta • Interessi dell’analista • Test per validare l’IIA • Due fasi di stima con differenti (ridotti) insieme di scelta • Stima dopo l’introduzione di attributi di altre alternative

26. Altri elementi da considerare: aggregazione • Problemi nell’aggregazione delle scelte individuali (a differenza di modelli lineari o di regressione) • Varie procedure di aggregazione: rappresentatività del dei campione; segmentazione Fonte: Train, 2003

27. Altri elementi da considerare: metodi di stima • Metodo principalmente utilizzato è quello della massimo verosimiglianza (ML) • Dato un campione di N osservazioni bisogna trovare quei parametri (stime) che massimizzino la funzione di verosimiglianza (ovvero che riproducano verosimilmente le scelte effettive) e che rispettino alcuni test statistici (consistenza, efficienza, distribuzione normale).

28. Altri elementi da considerare: derivate e…. • Derivate delle probabilità logit Derivata diretta Derivata indiretta

29. …ed elasticità • Elasticità del modello logit Elasticità diretta Elasticità incrociata

30. Altri elementi da considerare: test sui diversi elementi del modello • Esistenza di diversi test sugli elementi del modello tra cui • T-statistici • Rapporto di verosimiglianza (con rispetto la cost. o l’assenza di parametri) • Test sulla bontà del modello • Test degli attributi generici • Test sull’IIA • Test su specificazioni non lineari

31. Esempio di scenari possibili (Fonte: ITS, 1982)

32. Esempio di scelta discreta (1) • Scelta fra due modi alternativi di trasporto A e B • U(Qa, Qb) dove • Qa è 1 se è scelto il modo A (0 altrimenti) • Qb è 1 se è scelto il modo B (0 altrimenti) • Tale funzione di utilità non è differenziabile ovvero l’analisi si sposta dalle domande alle utilità

33. Esempio di scelta discreta (2) • Ua = U(Ta, Ca) / Ub = U(Tb, Cb) • Ua = -β1Ta - β2Ca / Ub = -β1Tb -β2Cb • Ua = -βTa –Ca / Ub = -βTb –Cb • Ua ≥ Ub • -βTa –Ca ≥ -βTb –Cb • -β(Ta –Tb) ≥ Ca –Cb • β(Ta –Tb) ≤ Cb – Ca • Β = (Cb – Ca)/(Ta –Tb)