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Teorema de Pitágoras

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Teorema de Pitágoras. Demostración geométrica. Ejercicios de aplicación. Problemas de aplicación. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a. c. a 2 = b 2 + c 2. b.

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Presentation Transcript
teorema de pit goras
Teorema de Pitágoras
  • Demostración geométrica
  • Ejercicios de aplicación
  • Problemas de aplicación
slide2

En todo triángulo rectángulo el cuadrado

de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos

a

c

a2 = b2 + c2

b

Demostración geométrica delTeorema de Pitágoras

Haz clic con el ratón

slide3

La figura interior es un cuadrado de lado a, luego su área es a2

Las figuras no ocupadas por estos cuatro triángulos son dos cuadrados de áreas b2y c2

Dibujamos en las cuatro esquinas del primer cuadrado cuatro triángulos rectángulos iguales de lados a (hipotenusa), b y c (catetos)

Trasladamos los cuatro triángulos al otro cuadrado de la manera siguiente

Dibujamos dos cuadrados iguales. Tienen por tanto la misma área

c2

a

c

b

a2

b2

a

c

b

Las áreas no ocupadas por estos cuatro triángulos son iguales en ambos cuadrados

a2

b2

c2

+

=

Volver

Haz clic con el ratón

Haz clic con el ratón

Haz clic con el ratón

Haz clic con el ratón

Haz clic con el ratón

slide4

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Vamos a calcular la longitud de x en cada uno de los siguientes casos:

x

2 cm

x

5 cm

x

7cm

3 cm

3 cm

x

3 cm

Índice

Haz clic sobre el que quieras resolver

slide5

Se trata de un triángulo rectángulo cuyos lados miden: x cm la hipotenusa y 5 cm y 7 cm los dos catetos.

x

5 cm

7cm

Aplicamos el Teorema de Pitágoras: x2 = 52 + 72

y resolvemos la ecuación resultante:

x2 = 25 + 49

x2 = 74

x =

= 8’6 cm

Volver

slide6

Se trata de un triángulo rectángulo cuyos lados miden: 2 cm la hipotenusa y x cm ambos catetos.

2 cm

x

x

Aplicamos el Teorema de Pitágoras: 22 = x2 + x2

y resolvemos la ecuación resultante:

4 = 2x2

2 = x2

x =

= 1’41 cm

Volver

slide7

Se trata de un triángulo isósceles dividido en dos triángulos rectángulos iguales cuyos lados miden: 3 cm la hipotenusa y x cm y 1’5 cm los dos catetos.

3 cm

3 cm

x

Trabajaremos en uno de los dos triángulos rectángulos

1’5 cm

3 cm

Aplicamos el Teorema de Pitágoras: 32 = x2 + 1’52

y resolvemos la ecuación resultante:

9 = x2 + 2’25

6’75 = x2

x =

= 2’60 cm

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Índice

slide8

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 5 y 8 cm.

2. Calcula el perímetro de un rectángulo del que la diagonal mide 10 cm. y uno de los lados, 6 cm.

3. Una escalera de 5m. De larga está apoyada sobre una pared de forma que su extremo inferior se encuentra a 1’2 m. de la misma. ¿Qué altura alcanza el extremo superior?

4. Una antena está sostenida por cuatro tirantes de cable de acero. El extremo superior de cada tirante se sujeta a la antena a una altura de 40 m. El extremo inferior de cada uno está amarrado al suelo a 30 m de la base de la antena. ¿Cuántos metros de cable se han utilizado?

Índice

Haz clic sobre el que quieras resolver

slide9

Dibujamos el rombo y vemos que para calcular el perímetro hemos de hallar la longitud l de un lado, el cual es la hipotenusa de uno de los cuatro triángulos rectángulos que componen el rombo.

l

2’5 cm

5 cm

4 cm

Aplicamos el teorema de Pitágoras en uno de esos triángulos en el que los catetos miden 2’5 y 4 cm (la mitad de las diagonales del rombo)

8 cm

l2 = 2’52 + 42 = 6’25 + 16 = 22’25

l=

El perímetro del rombo será P = 4 l= 4 ·4’72 = 18’88 cm

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slide10

Dibujamos el rectángulo y su diagonal. Conocemos un lado, por lo que para calcular el perímetro hemos de hallar la longitud ldel otro lado, el cual es un cateto de uno de los dos triángulos rectángulos que componen el rectángulo.

l

10 cm

6 cm

Aplicamos el teorema de Pitágoras en uno de esos triángulos en el que el otro cateto mide 6 cm y la hipotenusa mide 10 cm:

102 = l 2 + 62

y resolvemos la ecuación resultante:

100 = l2 + 36

64 = l 2

= 8 cm

l=

El perímetro del rectángulo será P = 2 · 8 + 2 · 6 = 28 cm

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slide11

Dibujamos la escalera cuyos extremos estarán, uno en el suelo a 1’2 m de la pared y el otro apoyado sobre ésta a una altura h del suelo, que es lo que tenemos que calcular.

5 m

h

1’2 m

La figura formada por la escalera con la pared y el suelo es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5 m y los catetos, h y 1’2 m.

Aplicamos el teorema de Pitágoras en ese triángulo:

52 = h2 + 1’22

y resolvemos la ecuación resultante:

25 = h2 + 1’44

23’56 = h2

h=

= 4’85 m

La altura que alcanza la escalera es:

Volver

slide12

Dibujamos la antena y uno de los tirantes. Ambos forman junto con la línea del suelo un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 40 m y 30 m, y cuya hipotenusa h es la longitud del tirante.

h

40 m

30 m

Aplicamos el teorema de Pitágoras en ese triángulo:

h2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500

h=

Como son cuatro los tirantes que sujetan la antena, el total de cable utilizado será 4 ·h = 4 · 50 = 200 m

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Índice

Fin

slide13
Presentación realizada por

Jesús Martínez Navarro

Profesor del Departamento de Matemáticas I.E.S. Bajo Aragón