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COLÉGIO CASCAVELENSE

COLÉGIO CASCAVELENSE. APRESENTA. ESTUDO DA RETA. REALIZAÇÃO. COLÉGIO CASCAVELENSE SÉRIE : LEVE O PROFESSOR PRÁ CASA DIREÇÃO PROF.EDMUNDO REIS BESSA (EDI). Condição de alinhamento de três pontos por determinante. Teorema

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  1. COLÉGIO CASCAVELENSE APRESENTA A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  2. ESTUDO DA RETA A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  3. REALIZAÇÃO COLÉGIO CASCAVELENSE SÉRIE : LEVE O PROFESSOR PRÁ CASA DIREÇÃO PROF.EDMUNDO REIS BESSA (EDI) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  4. Condição de alinhamento de três pontos por determinante Teorema Três pontos A(xA;yA), B(xB;yB) e C(xC;yC) são colineares se, e somente se: xA yA 1 det. = xB yB 1 = 0 xC yC 1 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  5. Três pontos distintos podem: a) Estar alinhados (det = 0). Nesse caso dizemos que os pontos estão colineares. b) Determinar um triângulo.(det.  0) B A A C B C B A OBS: Dois pontos estão sempre alinhados A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  6. a) A(3, 2), B(4, 1) e C(1, 4). Sol: Vamos calcular o determinante: 3 2 1 D = 4 1 1 = 3 + 2 + 16 - 1 1 4 1 - 12 - 21 = 0 Resp: Como D = 0, os pontos são colineares. b) A(2, 3);B(-2,-5) e C(-1,-3) c) A(-2, 0), B(1, 3) e C(2, 4) d) A(1, 2), B(3, 4) e C(3, -1) e) A(1, 0), B(3, 1) e C(-7, 0) Resp: a) e b) sim; c) e d) não Ex:01 Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados: A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  7. Ex:02 Determinar os valores de a de modo que os pontos A(a;7),B(2,-3) e C(a,1) sejam vértices de um triângulo. • Sol: • Pontos vértices de um triângulo  Det. 0 a 7 1 Det. = 2 -3 1  0  -3 a +7 a +2 + 3 a -a -14  0 a 1 1  6 a – 12  0  a  2. Resp: a  2. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  8. Ex:03 Determinar m para que os pontos A(-1,m); B(2, -3) e C(-4, 5): • A) estejam alinhados Sol: Pontos alinhados  Det. = 0 (resolva e confira que ) m = 1. b) Sejam vértices de um triângulo Sol: Três pontos vértices de um triângulo  Det.  0 (resolva e confira que ) m  1. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  9. Ex:04 Os pontos A(-3,a), B(9, b) e C(1, -2) são colineares. Determine o valor de 2 a + b. • Sol: Pontos colineares  Det. = 0. (Armando e resolvendo o determinante, encontramos que: 2 a + b = -6). A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  10. Ex: 05 O ponto A é a interseção da reta que contém os pontos B(1, 3) e C(2, 5) com o eixo das abscissas. Determinar as coordenadas de A. • Sol: Faça uma representação gráfica no PC e veja: a) Como A  0x  yA = 0  A(xA,0); b) Pontos A, B e C alinhados  Det = 0 de onde determinamos que xA = - ½. Resp: A(-1/2; 0) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  11. Equação Geral da reta • Consideremos os pontos A(2, 1), B(1, -1) e um ponto genérico P(x, y).Para que A, B e C sejamalinhados, devemos ter: (Faça gráfico no PC) x y 1 • Det = 0  2 1 1 = 0. 1 -1 1 • Desenvolvendo esse det, temos como resultado final: 2x – y – 3 = 0. • Essa equação representa todos os pontos P(x,y) que estão alinhados com A(2,1) e B(1,-1) e, por isso, é chamada de “Equação Geral da Reta”. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  12. y x y 1 xA yA 1 = 0 xB yB 1 ax + by + c = 0 Não sendo a e b simultaneamente nulos. yB B y P yA A xA xB 0 x Equação Geral da reta – (Cont.) • Representação: ax + by + c = 0 • Dados: A(xA; yA), B(xB; yB) e P(x; y). x A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  13. Ex: Determinar os coeficientes a, b e c de cada equação de reta abaixo : • A) 3x – 2y – 7 = 0 => (a = ;b = ;c = ) • B) 5x + 4y = 0 => (a = ; b = ; c = ) • C) 3x – 2 = 0 => (a = ; b= ; c = ) • D) 5 – 2y = 0 => (a = ; b= ; c = ) • E) x = 0 => (a = ; b= ; c = ) • F) y = 0 => (a = ; b= ; c = ) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  14. Ex: 06 Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: • A(3, 1) e B(6, 3) Sol: Considere um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta r que passa pelos pontos A(3,1) e B(6,3). Pelo alinhamento: x y 1 Det = 0 3 1 1 = 0. Desenvolvendo o 6 3 1 determinante, temos: (r) : 2x – 3y – 3 = 0. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  15. Continuação: • b) A (3, 2 ) e B (2, 1) • c) A(-1, 2) e B(-3, -2) • d) A(0, 2) e B(6, 0) • e) A(-3, 2) e B(1, 4) Em todos itens aplicar e desenvolver det. = 0 . Resp: a) (s): x – y – 1 = 0 b) (t): 2x – y + 4 = 0 c) (w): x + 3y – 6 = 0 d) (k): x – 2y + 7 = 0 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  16. y 3 x 0 3 t y b) 2 x 0 2 4 r Ex:07 Determinar a equação geral da reta r em cada caso: • a) • Sol: Em ambos os itens, determine os 2 pontos de cada reta e use o det. conforme ex. anterior. • Resp: • (t): x + y – 3 = 0 • (r): x – y – 2 = 0 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  17. Equação Reduzida da reta • Para se encontrar a equação reduzida de uma reta basta se tirar o valor de y na equação geral ax + by + c = 0 (b  0), ou seja: by = - ax – c => y = - a/b. x + (-c/a) => y = m.x + q Onde : m = - a/b => (Coeficiente angular da reta) e q = - c/b => (Coeficiente linear da reta – É a ordenada do ponto interseção com o eixo y). A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  18. A) 3x + 4y – 12 = 0 B) 2x – 3y – 7 = 0 C) ax + by + c = 0 D) 2x – y + 3 = 0 E) que passa pelos pontos A(-1, 2) e B(1, 3). Resp: a) y = -3/4 x + 3; m = -3/4 e q = 3 b) y = 2/3 x – 7/3; m = 2/3 e q = - 7/3 c) y = -a/b.x –c/a; m=-a/b e q = - c/a d) y = 2x + 3; m = 2 e q = 3 e) y = ½ x +5/2; m = ½ e q = 5/2 Ex:08 Determinar a eq. reduzida e os coeficientes angular e linear das retas: A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  19. a)  0° < < 90° y b)  90° < < 180° r y r 0 x   x O que é inclinação() de uma reta? • É o menor ângulo entre uma reta e o eixo dos x, orientado no sentido anti-horário do eixo dos x para a reta ( 0° < 180°).  A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  20. c) d)  = 0° y y y r // 0x r // 0y   0 x r = 0x x x r  0y =90° O que é inclinação() de uma reta? (cont.) . A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense x

  21. O que é Coeficiente Angular? • Definição: Chama-se coeficiente Angular (ou declividade) de uma reta não vertical, à tangente trigonométrica da sua inclinação. Representa-se por “m”.Ou seja: m = tg  A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  22. y yB B No triângulo ABC => tg  = BC/CA m = tg  = y B – y A x B – x A  yA C  xA xB 0 Determinação do Coeficiente Angular dados dois pontos. • Seja r uma reta não vertical onde A(xA,yA), B(xB,yB) são dois de seus pontos. x A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  23. Observações importantes do Coeficiente Angular. • 1º)  = 0°  tg  = tg 0°  m = 0 • 2°) 0° <  < 90°  tg  > 0  m > 0 • 3°) 90° <  < 180°  tg  < 0  m < 0 • 4°)  = 90°  tg  = tg 90°   m A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  24. b) y y 150° )  x x (0, q) (0, -4) Resp:Inclin.= ; m = tg ; q = q Resp:Inclin.= .30º ; m = 3/3; q = -4 Ex:09 Determinar a inclinação(),os coeficientes Angular/Linear das retas: • A) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  25. y y 135° 3 x x -4/3 120° y e) y f ) 5 x 5 x Continuação do Ex: 09 d) • C) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  26. Ex:10 Assinale as afirmativas verdadeiras: • 01. Toda reta tem coeficiente angular; • 02. Uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo; • 04. Se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coef.angular é negativo; • 08. Se o coef. Angular de uma reta é positivo, a sua inclinação será um ângulo positivo; • 16. Uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular . Soma: 30 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  27. Ex:11 Ache o coef. Angular da reta que passa pelos pontos e comente a sua inclinação. a) A(- 4, - 5) e B(-9, -7) Sol: m = yB – yA= -7 - (-5) => m=2/5 ( é agudo) xB – xA -9 – (-4) b) A(1, -3) e B(-3, 0) c) A(5, -2) e B(1, -2) d) A(4, -5) e B(4, -8) Resp: b) m = -3/4 (obtuso); c) m = 0 (nulo) d) m  ( = 90°) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  28. y C yC B yB A yC  0 xA xC xB x Condição de alinhamento de três pontos por coeficiente angular. • Teorema: Três pontos A(xA,yA),B(xB,yB) e C(xC,yC) são colineares se, e somente se m AB =m BC, ou não existem m AB e m BC.  tg = m AB = m BC A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  29. Ex:12 Verificar se os pontos estão alinhados: • A(4, 5), B(6,10) e C(0. -5). Sol: Vamos usar a condição dos coeficiente angulares, ou seja: m AB = m BC. m AB = y B – y A = 10 – 5 = 5 / 2 x B – x A 6 – 4 m BC = y C – y B = -5 – 10 = -15 = 5 / 2 x C - x B 0 - 6 - 6 Resp: Como m AB = m BC = 5/2=> (Alinhados) • A(2, 3), B(2 +4t, 3 –5t) e C(2 +4n, 3 – 5n). Sol: (Pra você RESOLVER) Resp: (Alinhados) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  30. Ex:13 Determinar eq. geral e reduzida das retas dados dois pontos • A(-3, -5) e B(-7, -8). Sol:Considerando um ponto genérico P(x, y) da reta AB, e a igualdade de coeficientes angulares m PA = m AB, temos: y P – y A = y B – y A => y – (-5) = -8 –(-5) => x P – x A x B – x A x – (-3) x + 3 => 3x - 4y – 1 = 0 (Geral) e y = ¾ x – ¼(reduzida) b) A(2, -1) e B(-3, 2) Sol: (Pra você) Resp: 3x + 5y – 1 =0 e y = -3/5 x + 1/5 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  31. Cálculo de equação de reta dados um Ponto e o Coeficiente Angular. • Dados: ponto A(x A, y A) e Coef. Ang. (m). • Para cálculo da equação, usa-se um ponto genérico P(x, y) da reta, e então: • m = tg  = y – y A ou seja: y – y A = m x – x Ax – x A ou ainda : y – y A = m(x – x A) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  32. Ex:14 Ache a equação da reta (r) nos seguintes casos: • Passando por A(3, -4) e m = - 5/2. Sol: Usando P(x, y)  r e tg  = m => => y – (-4) = - 5/2 => (r) 5x + 2y – 7 = 0 x - 3 b) Passa pelo ponto P(-2, 1) e tem m= -3. Sol: (pra você) Resp: 3x + y + 5 = 0 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  33. Cálculo de equação de reta dados um ponto e a Inclinação (  90°). • Dados: ponto A(x A, y A) e a Inclinação (). • I) Determinamos o coef.Angular: m = tg . • II) Usa-se agora o processo do cálculo da reta da qual tem-se um ponto e “m”, ou seja: • y – y A = m ( x – x A) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  34. Ex:14 Obtenha a eq. da reta(r) que passa pelo ponto A(7, 1) e tem inclinação 45°. Sol: Inicialmente precisamos determinar o coef. Angular: m = t g  = t g 45° = 1. A reta procurada possui m = 1 e passa pelo ponto A(7, 1). Assim: y – y A = m (x – x A) => y – 1 = 1.(x – 7) => (r) x – y – 6 = 0. Ex: Idem para; A(0,1) e  = 150°. Sol: (Pra você) Resp: (r) 3 x + 3y – 3 = 0 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  35. y r s 4 135° 60° 0 x -2 Ex:15 Determine as equações das retas r e s mostradas na figura. • Sol: (pra você) • Resp: (r):y = 3/3 x – 2 e (s): y =-x + 4 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  36. y b13 a 45° -b x (0,0) a -b Equação da 1ªBissetriz ou bissetriz dos quadrantes ímpares(b13) Determinação da equação: • Temos que  = 45° => m= tg  = 1. • O ponto origem O(0,0)  b13. • Assim: y – y o = m ( x – x o) => y – 0 = 1(x-0) => y = x (Todo pontoque pertence a b13 tem coordenadas iguais). Ex: A(a,a); B(-b,-b) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  37. y b 135° a - b (0,0) b24 - a Equação da 2ªBissetriz ou bissetriz dos quadrantes pares(b24) • Determinação da equação: • Temos que  = 135° => m= tg  = - 1. • O ponto origem O(0,0)  b24. • Assim: y – y o = m ( x – x o) => y – 0 = 1(x - 0) => y = - x (Todo pontoque pertence a b24 tem coordenadas opostas (ou simétricas) ). Ex: A(a,-a); B(-b,b) x A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  38. y s r P(x o, y o) x Interseção de duas retas • Todo ponto de interseção de duas (ou mais) retas tem de satisfazer(pertencer) as equações das duas (ou mais) retas.Esteponto comum P(x o,y o) é determinadoresolvendo o sistema formado pelas equações. P(x o,y o) = r  s = a1 x+b1 y+c 1 = 0 a2 x+b2 y+c 2=0 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  39. + Ex:16 Obter a interseção das retas:(r) x – y + 1 = 0 e (s) 2x + y – 2 = 0 • Sol: Vamos resolver o sistema pelo método da adição: x – y + 1 = 0 ( I ) 2x + y – 2 = 0 ( II ) 3x – 1 = 0 => x = 1/3. • Substituindo em (I), temos: 1/3 – y + 1 = 0 • => y = 4/3. • Logo, a interseção de r com s é P(1/3; 4/3) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  40. y r s 4 4 x -2 I - 4 Ex:17 Determinar o ponto I de interseção entre as retas: • A) r: 2x + 5y – 3 = 0 e s: x – y + 2 = 0. • Sol: Pra você Resp: I(-1, 1) • B) r: y = 2x – 3 e s: y = 3x – 5. • Sol: Pra você Resp: I(2, 1) • C) Sol: Pra você Resp: I (4/3, - 8/3) A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  41. ATENÇÃO: Concorrência de 3 retas em um mesmo ponto • Dadas as equações de 3 retas para verificar se elas concorrem num mesmoponto, basta que se determine o ponto deinterseção de duas, em seguida verifiquese o ponto encontrado pertence a terceirareta, caso pertença, então as retas são concorrentes em um mesmo ponto. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  42. Ex:18 Provar que as retas 2x + 3y – 1 = 0, x + y =0 e 3x + 4y – 1 = 0 concorrem no mesmo ponto. Sol: 1º) Determinemos P, interseção da 1ª com a 2ªreta; 2x + 3y – 1 = 0 => x = -1 e y = 1 x + y = 0 =>P(-1,1) 2º) Provemos que P pertence a 3ª reta; 3xp + 4yp – 1 = 3.(-1)+ 4.1-1 =-3 + 4 – 1 = 0. Fica provado então que as retas concorrem no mesmo ponto. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  43. Ex:19 Verificar se as retas 2x - 3y - 7= 0; 3x – y - 14 = 0 e x - 3y – 8 = 0 concorrem no mesmo ponto. • Sol: Pra você Resp: Não. • Ex:20(UFC) Encontre o número real m de modo que as retas: x + y = 8; 2x – 3y = 6 e 5x + my = 3 passem por um mesmo ponto. • Resp: m = -27 / 2. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  44. y Q(0,q) P(p,0) Equação Segmentária da Reta • Sejam P(p, 0) e Q(0, q) pontos distintos entre si e localizados sobre os eixos. • Aplicando o det. nos pontos,encontramos a equação: x y 1 p 0 1 = 0 => pq = qx + py 0 q 1 (dividindo por pq) => X/P + Y/q = 1 x A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  45. y y c) 6 2 x x 4 -3 Ex:21 Obter a equação segmentária da reta nos casos: • A) passa pelos pontos A(2, 0) e B(0, -5). • Sol: Usando x + y = 1 => x + y = 1 a b 2 -5 b) Resp:b) x/4 + y/6 =1 c) x/2 + y/-3 = 1 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  46. Ex:22 Obter a equação segmentária da reta cuja equação geral é 2x – 3y + 4 = 0 • Sol: • 2x – 3y + 4 = 0 => 2x – 3y = - 4 • (dividindo a equação por -4) => 2x + (-3y) = -4 => -4 -4 -4 • x + y = 1 -2 4/3 Ex: 23 Idem para 4x + 3y – 2 = 0. Sol: Prá você Resp: x/(1/2) + y/(2/3) = 1 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  47. Equações Paramétricas • São as equações que não relacionam diretamente as coordenadas x e y. Tais equações são dadas em função de uma terceira variável, t, chamada parâmetro: x = f(t) y = g(t), f e g são funções afins OBS: A partir das equações paramétricas, obtém-se a equação geral, eliminando-se o parâmetro t. A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  48. Ex:24 Determinar a equação geral da reta r dadas as paramétricas: A) x = 2t + 4 y = t – 3 Sol: Vamos isolar t na segunda equação: y + 3 = t => t = y + 3. Substituindo t por y + 3 na 1ª equação,temos: x = 2(y + 3) + 4 => x – 2y – 10 = 0 é a equação geral de r. B) x = 3t e y = 3 – t. Sol: Prá você Resp: (r) x + 3y – 9 = 0 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  49. Ex:25 Determinar as equações paramétricas da reta: a) ( r ) 3x – 2y – 6 = 0. Sol: Vamos isolar x na equação. 3x = 2y + 6 => x = 2/3 y + 6/3 =>x = 2(y/3+1) Fazendo y/2 + 1 = t => y/2 = t – 1 =>y = 2t - 2, obtemos: x = 2t e y = 2t - 2 que são as paramétricas b) ( s ): x + 5y – 3 = 0. Sol: Prá você Resp: x = 3 – t e y = - t / 5 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

  50. Exercícios de Revisão • Ex:26 Determinar: a) a equação geral b) a equação reduzida; c) a equação segmentária; d) o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(-2; -3) e B(4; 2). • Resp: a)5x - 6y – 8 = 0; b) y = 5/6 x – 4/3 c) x / (8/5) + y / (-4/3) = 1 d) m = 5/6 Ex:27 Determinar a eq. geral; reduzida e segmentária das paramétricas: 2x = t + 1 e y = 3t – 2. Resp: a) 6x – y – 5 = 0; b) y = 6x – 5; c) x / (5/6) + y / -5 = 1 A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

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