Szabályozási Rendszerek 2013/2014, őszi szemeszter Előadás

1. Automatizálási tanszék Szabályozási Rendszerek 2013/2014, őszi szemeszter Előadás

2. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag Kirchhoff-egyenletből a differenciálegyenlet: Időállandós alak:

3. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag Átviteli függvénye: A szakasz pólusai:

4. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag Átviteli függvénye: A szakasz pólusai: Három eset: - Aperiodikus eset, - Aperiodikus határeset, - Lengő eset,

5. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag Aperiodikus eset, Átviteli függvénye: Átmeneti függvénye: Súlyfüggvénye:

6. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag Aperiodikus határeset, Átviteli függvénye: Átmeneti függvénye: Súlyfüggvénye:

7. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag Lengő eset, Átviteli függvénye: , ahol és

8. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag Lengő eset, Súlyfüggvénye: v Átmeneti függvénye:

9. Tárolós tagok Kéttárolós (arányos) tag Túllendülése, ha Első maximum helye: Beállási idő: /dekád Fázisgörbe meredeksége: Fázisszöge:

10. A stabilitás Stabilitás: a rendszernek az a tulajdonsága, hogy egyensúlyi állapotból kimozdítva újra egyensúlyba képes kerülni. Nemlineáris rendszer: - a stabilitás függ a bemenőjeltől és a munkaponttól is - a stabilitás a rendszer egy állapotának jellemzője Lineáris rendszer: - a stabilitás függ a rendszer struktúrájától és a paramétereitől. - független a bemenőjeltől - a stabilitás a rendszer jellemzője. A stabilitás meghatározásai: - a magára hagyott rendszer stabilitása - a gerjesztett rendszer stabilitása - belső stabilitás

11. Stabilitásvizsgálat Aszimptotikus stabilitás feltétele: a zárt rendszer pólusai negatív valós részűek legyenek, vagyis valamennyi pólusa a komplex számsík bal oldalára esik Ha van pólus a(z) - képzetes tengelyen, az origóban: - integráló hatás - nem cseng le a tranziens - képzetes tengelyen, egyszeres konjugált komplex pólus: - csillapítatlan lengések a tranziensben - többszörös konjugált komplex pólus: - növekvő amplitúdójú lengések Stabilitás eldöntése analitikus stabilitási kritériumok alapján: - Routh séma - Hurwitz determináns - gyökhelygörbe-módszer Labilis folyamat esetén: - Nyquist-féle stabilitási kritérium - Bode-féle stabilitási kritérium

12. Stabilitásvizsgálat Routh séma A rendszer stabilis: - a karakterisztikus polinom együtthatói pozitívak - első oszlop valamennyi eleme is pozitív A rendszer labilis: - az első oszlop elemei közül nem mind pozitív - előjelváltások: zárt rendszer jobboldali pólusainak száma - 0 jelenik meg: a karakterisztikus egyenlet imaginárius tengelyre eső első - gyökére utal → ε

13. Stabilitásvizsgálat Hurwitz determináns Aldeterminánsok: A rendszer stabilis: - a karakterisztikus egyenlet valamennyi együtthatója pozitív - a főátlóra támaszkodó valamennyi aldetermináns is pozitív - a negatív indexű elemeket 0-val vesszük figyelembe

14. Stabilitásvizsgálat Gyökhelygörbe módszer A karakterisztikus egyenlet gyökeit adja meg a komplex számsíkon, miközben a rendszer valamelyik paramétere (leggyakrabban a körerősítés) nulla és végtelen között változik. - ha a gyökök a bal oldali félsíkra esnek, a rendszer stabilis - kritikus körerősítésnél a gyökhelygörbe metszi az Imtengelyt - ha, a gyökök a jobb oldali félsíkra esnek, a rendszer labilis A gyökhelygörbeelőállítása: - karakterisztikus egyenlet megoldásával - grafikus úton próbálgatással - szerkesztési módszerek - számítógépes programok - tulajdonságok alapján közelítve

15. Stabilitási kritériumok Nyquist stabilitási kritérium Ha a felnyitott szabályozási kör stabilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása megítélhető. Egyszerűsített Nyquist kritérium: - Ha a Nyquist diagram nem veszi körül a pontot, a zárt szabályozási kör stabilis. - Ha a Nyquist diagram átmegy a ponton, a rendszer a stabilitás határán van. - Ha a Nyquist diagram körülveszi a pontot, a rendszer labilis.

16. Stabilitási kritériumok Nyquist stabilitási kritérium Ha a felnyitott szabályozási kör labilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása eldönthető Általánosított Nyquist kritérium: Ha a felnyitott rendszer jobb oldali pólusainak száma P, akkor a zárt szabályozási rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha a felnyitott rendszer teljes Nyquist diagramja, annyiszor veszi körül a komplex számsíkon a pontot az óramutató járásával ellentétes, pozitív irányban, amennyi a felnyitott rendszer jobb oldali pólusainak a száma.

17. Stabilitási kritériumok A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a ponttól Fázistartalék/fázistöbblet: - , stabilis rendszer - ha , határhelyzet - ha , labilis rendszer Csak egyszer metszheti a Nyquist diagram a negatív valós tengelyt!

18. Stabilitási kritériumok A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a ponttól Erősítési tartalék: Módosított erősítési tartalék: - ha - ha határhelyzet - ha labilis rendszer Csak egyszer metszheti a Nyquist diagram a negatív valós tengelyt!

19. Stabilitási kritériumok A stabilitás gyakorlatban használt mérőszámai A mérőszámok megadják, hogy milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a ponttól Modulus tartalék: Azt mutatja, hogy milyen messze van a rendszer legkevésbé stabilis pontja a stabilitás határától. Általában Késleltetési tartalék: A holtidő azon legkisebb értéke, amelyet a felnyitott körbe sorosan iktatva a zárt rendszer a stabilitás határára kerül.

20. Stabilitási kritériumok BODE stabilitási kritérium Ha a felnyitott szabályozási kör stabilis, akkor a zárt szabályozási kör stabilitása megítélhető. -20dB/dekád esetén a rendszer stabilis -60dB/dekád esetén a rendszer labilis -40dB/dekád esetén vagy labilis, vagy stabilis, de a fázistartalék, biztos, hogy kicsi!