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教学安排

《 数学建模 》 课程为两学期，独立开课。 上学期 《 数学建模 (1)》 内容 ( 优化、离散 ) ： 课本第 1-4 ， 8 ， 11 章 ( 部分内容 ) 。 本学期 《 数学建模 (2)》 内容 ( 方程、随机 ) ： 课本第 5-7 ， 9-10 章 ( 部分内容 ) 。 考核说明 （ 1 ）平时作业和出勤 20% ，（ 2 ）期末闭卷考试 80% 。. 教学安排. 上学期试卷讲解 补考时间： 9 月 12 日周五下午 2:50-4:40 补考地点：图文中心 7 号机房. 上学期总结. 第五章 微分方程模型. 引言 5.1 传染病模型

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  1. 《数学建模》课程为两学期，独立开课。 上学期《数学建模(1)》内容(优化、离散)： 课本第1-4，8，11章(部分内容)。 本学期《数学建模(2)》内容(方程、随机)： 课本第5-7，9-10章(部分内容) 。 考核说明（1）平时作业和出勤20%，（2）期末闭卷考试80%。 教学安排

  2. 上学期试卷讲解 补考时间：9月12日周五下午2:50-4:40 补考地点：图文中心7号机房 上学期总结

  3. 第五章 微分方程模型 引言 5.1传染病模型 5.4药物在体内的分布与排除（房室模型） 5.6 人口预测和控制

  4. Between November 2002 and July 2003, an outbreak of SARS in Southern China caused an eventual 8,273 cases and 775 deaths reported in multiple countries with the majority of cases in Hong Kong. (9.6% fatality).Within weeks, SARS spread from Hong Kong to infect individuals in 37 countries in early 2003. Wikipedia Severe acute respiratory syndrome (SARS,非典型肺炎 )

  5. 2003年全国大学生数学建模竞赛A题

  6. 5.1 传染病模型 • 描述传染病的传播过程 问题 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防控制传染病蔓延 三类人 已感染者(Infective, 病人) 未感染者(Susceptible，易感染者) 移出者(Removed，治愈免疫，隔离，死亡等)

  7. 短期预测模型 必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) Malthus模型 已感染人数 (病人) i(t) • 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为 假设 建模 ? 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加

  8. 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 Logistic模型（SI模型） 区分已感染者(infective)和未感染者(易感染者susceptible) 假设 AIDS等 2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病  ~ 日 接触率 建模

  9. 感染无治愈模型 Logistic 模型 i 1 1/2 i0 0 tm t Logistic模型 t=tm, di/dt 最大 ? tm~新增病人高潮时刻 所有人被感染?  (日接触率)  tm

  10. 有治愈无免疫模型Susceptible Infective  Susceptible 传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染 SIS模型 痢疾、肺炎、淋病等 3）病人每天治愈的比例为  ~日治愈率 增加假设 建模  ~ 日接触率 1/ ~感染期 • ~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

  11. SIS的解析解 试试看：解析解怎样求？ dsolve('Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y','y(0)=i0','t')

  12. di/dt i i i0  >1  1  >1 i0 di/dt < 0 1-1/ i0 0 1 i t 0 t 0 1-1/ SIS模型 接触数 =1 ~ 阈值 感染期内有效接触感染的人数不超过病人数 思考：Logistic模型 (SI模型)如何看作SIS模型的特例？

  13. 有治愈有免疫模型Susceptible Infective  Removed 1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 需建立 的两个方程 传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者 SIR模型 肝炎、SARS等 假设 2）病人的日接触率, 日治愈率, 接触数  =  /  建模

  14. 无法求出 的解析解！！！ 在相平面 上 研究解的性质 思考：r(t)的方程？ SIR模型 R0=λS/=S表示平均每个病人总致病人数。 R0<1, i 下降, 传染病不蔓延

  15. 消去dt 相轨线(有解析解) 相轨线 的定义域 i 1 在D内作相轨线 的图形，进行分析 D s 0 1 SIR模型

  16. i 1 相轨线 及其分析 D P4 P1 P2 im P3 s0 s S0 0 1 传染病蔓延 传染病不蔓延 SIR模型 s(t)单调减相轨线的方向 P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 比较：R0>1？ P2: s0<1/ i(t)单调降至0

  17. 降低 (=/)  ,   群体免疫 SIR模型 预防传染病蔓延的手段 传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/  (日接触率)  卫生水平 (日治愈率)  医疗水平 • 降低 s0 提高 r0>1-1/ 参数 的估计

  18. 疫情实证分析(Kermack-McKendrick, P145图) 1904—1905年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟疫，平均每周死亡1.8万人 。 r-孟买死亡人数。

  19. 与Kermack同样的方法 王铎,赵宵飞.SARS疫情的实证分析和预测[J].北京大学学报(医学版),2003,5(S):72-74. SARS疫情的实证分析

  20. 不同的领域可以共享相同或类似的数学模型，但所关注的问题会有所不同；不同的领域可以共享相同或类似的数学模型，但所关注的问题会有所不同； 不能求得解析解的方程仍可用相轨线办法分析解的性质。 一句话小结

  21. 考虑出生和死亡因素的传染病模型 考虑潜伏期的传染病模型SEIR 考虑被动免疫的传染病模型MSIR 考虑随机接触率的传染病模型SSIR 参考http://en.wikipedia.org/wiki/Epidemic_model 随机SIS: 参考A. Gray , D. Greenhalgh , L. Hu , X. Mao , and J. Pan, A Stochastic Differential Equation SIS Epidemic Model, SIAM J. Appl. Math. 71 , 2011, pp. 876-902 进一步的问题

  22. P180ex1. 理论证明P144表下第1段“可以看出…”。 在SIR 模型中考虑出生与死亡的因素。假设全体人群以相同出生率生育婴儿，且婴儿为易感人群。死亡率与出生率相等，从而人群总数不变。试建立数学模型描述疾病的流行特征，并分析传染病不蔓延的条件。 习题

  23. 房室系统的概念 二房室模型的建立 模型求解 不同给药方式分析 参数估计技巧 进一步推广 5.4药物在体内的分布与排除（药物动力学之房室模型）

  24. 第一章：如何施救药物中毒 排除率dy/dt正比于y 转移率dx/dt正比于x 胃肠道 血液系统 药量x(t) 药量y(t) 体外 口服药物 y(0)=0 血液系统单房室模型

  25. 药物动力学之房室系统 • 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 • 建立房室模型(Compartmental Models) • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)

  26. 中心室 周边室 给药 排除 • 中心室(1)和周边室(2),容积不变 模型假设 • 药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外 • 药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比 模型建立

  27. 复习：常系数齐次线性方程组通解(n=2) (1)两个不等的实数特征根, , (2)两个相等的实数特征根=, (3)两个共轭复数特征根i,

  28. 模型建立 线性常系数非齐次方程 对应齐次方程通解 可证明：特征方程有两个不相等负根(习题5)

  29. 给药速率 f0(t) 和初始条件 几种常见的给药方式 t=0瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1 1.快速静脉注射

  30. 详解 • 因f0(t)=0, 为齐次方程，通解为 • 代入方程第一式（第二式也可） • 比较两边e-t, e-t系数得到 • 由初始条件得 • 求解得

  31. £ £ 药物以速率k0进入中心室 0 t T t<T（充分大）, c1(t) C1, c2(t) C2 2.恒速静脉滴注 t >T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零(解的公式？)

  32. 详解 • 方程非其次项是常数，所以设解非其次项也是常数，令方程的通解为 • 代入方程，比较两边e-t, e-t以及常数项系数得到6式，删去冗余两式得 • 由后两式解得 • 由前两式得 • 再利用初始条件c1(0)=0, c2(0)=0解得(可利用Matlab的符号工具箱)

  33. t>T以后，静脉注射停止

  34. 吸收室 中心室 错！ 3.口服或肌肉注射 相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室 吸收室药量x0(t) 思考题：怎样确定A, B, E? C2(t)的公式？

  35. 由较大的 用最小二乘法定A, 由较小的 用最小二乘法定B, 各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2 参数估计技巧 t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti) 为什么不4个参数一起拟合？ 拟合:尽可能低维、线性

  36. 进入中心室的药物全部排除 参数估计技巧 思考:V2怎么估计呢？

  37. 分析各房室的关联； 建立线性微分方程组模型； 写出微分方程组的通解； 用初始条件和代入方程求得特解； 用观测数据估计模型参数 参数估计可用分解技巧，简化计算，使结果更可靠。 房室模型建模小结

  38. 多房室系统模型（Multi-compartment model） 非线性房室模型 随机房室模型（更实际） 房室模型在其他领域的推广与应用 其他注射方式下的参数估计问题 (思考题：恒速静脉滴注情形的参数估计技巧？) 进一步的问题

  39. http://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_Models 周晓芳,陈小全,周鲁,生理房室模型药物动力学的研究进展 , 预防医学情报杂志 2002年06期 陈增敬, 关于血浆中放射性钙C^47α浓度的计算公式, 数理统计与应用概率，1995年 10卷 3期 参考阅读

  40. P180ex5。 P180ex6。 在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水，已知流入安大略的水有 5/6 是伊利湖流出的。试建模描述这两个湖的污染情况。进一步，假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外， 流入伊利湖和安大略湖的所有污染都 暂时被停止了。试计算把安大略净化到 50%以及 5%所需要的时间。 习题

  41. 人口模型介绍 ODE建模 PDE建模 人口预测 人口控制与计划生育 几个人口发展指数 参考文献 5.6 人口预测和控制(常、偏微分方程模型)

  42. 人口控制 人口系统工程 社会保障 寿险精算 种群生态学 研究人口模型的意义

  43. 中国人口数量增长情况

  44. 宏观模型: 总人口, 不考虑年龄， Malthus模型, Logistic模型（本节ODE） 微观模型：考虑年龄结构 1940‘s, Leslie差分方程模型(第6章) 1960's, Verhulst偏微分方程模型（本节PDE） 1970's, Pollard随机方程模型(第9章) 人口模型概述

  45. 离散时间模型 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 连续时间—马尔萨斯指数增长模型 基本假设: 人口(相对)增长率 r是常数(r很小) x(t) ~时刻t的人口 随着时间增加，人口按指数规律无限增长

  46. 数据(课本P167，美国人口1790-2000) 线性化拟合(课本P167) 变换lnx=lnx0+rt，解线性方程组得lnx0和r。 短期拟合（1790-1900) r = 0.2743/10年，x1790=4.2百万, x1900 = 85.6百万 长期拟合（1790-2000) r = 0.2022 /10年，x1790 =6.0百万，x2000 = 442.1百万（4.421亿） 美国人口参数x0, r的估计

  47. 短期数据拟合(1790-1900) 程序jye4p67 误差不大 r = 0.2743，x1790 =4.1884，x1900 =85.6179

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