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第七章 数值积分 （ Numerical Integration ）

第七章 数值积分 （ Numerical Integration ）. 武汉大学数学与统计学院. 内容提纲. 数值积分的必要性 求积公式及其代数精度 插值型求积公式 Newton-Cotes 公式及数值稳定性 复化求积公式及误差估计. 数值积分的必要性 本章主要讨论如下形式的一元函数积分 在微积分里，按 Newton-Leibniz 公式 求定积分 要求被积函数 f ( x ) ☞ 有解析表达式 ； ☞ f ( x ) 的原函数 F ( x ) 为初等函数 ．. 实际问题.

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第七章 数值积分 （ Numerical Integration ）

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Presentation Transcript

  1. 第七章 数值积分（Numerical Integration） 武汉大学数学与统计学院

  2. 内容提纲 • 数值积分的必要性 • 求积公式及其代数精度 • 插值型求积公式 • Newton-Cotes公式及数值稳定性 • 复化求积公式及误差估计

  3. 数值积分的必要性 本章主要讨论如下形式的一元函数积分 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式； ☞f(x)的原函数F(x)为初等函数．

  4. 实际问题 1.2 f(x)的原函数F(x)不能用初等函数表示 例如函数: 考虑一个实际问题: 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.

  5. 假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的 高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近 似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹 瓦所需铝板的长度L. 这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定 的曲线,从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为: 上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.

  6. 2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数 并不复杂,但它的原函数却十分复杂:

  7. 3.f(x)没有解析表达式，只有数表形式: 这些都说明,通过原函数来计算积分有它的 局限性,因而,研究关于积分的数值方法具有很 重要的实际意义.

  8. 求积公式及其代数精度 求积公式的概念 积分值 在几何上可解释为由x=a, x=b, y=0和 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.积分计算之所以有 困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x) 是曲的.

  9. 依据积分中值定理,对于连续函数f(x),在 [a,b]内存在一点ξ,使得 称f(ξ)为区间[a,b]的平均高度. 问题在于 点ξ的具体位置一般是不知道的.这样,只要 对平均高度f(ξ)提供一种算法,相应地便获 得一种数值求积方法.

  10. 如果简单地选取区间[a,b]的一个端点或 区间中点的高度作为平均高度,这样建立的 求积公式分别是: 左矩形公式:I(f)≈(b-a)f(a) 右矩形公式:I(f)≈(b-a)f(b) 中矩形公式: I(f)≈(b-a)f[(a+b)/2]

  11. 此外,众所周知的梯形公式: • I(f)≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2 和 Simpson公式: • I(f)≈(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6 则分别可以看作用 a, b, c=(a+b)/2,三点 高度的加权平均值[f(a)+f(b)]/2 和 [f(a)+4f(c)+f(b)]/6 作为平均高度f(ξ)的近似值.

  12. 更一般地,取区间[a,b]内n+1个点{xi},(i=0,1, 2,…n)处的高度{f(xi)} (i=0,1,…,n)通过加权平 均的方法近似地得出平均高度f(ξ),这类求积 方法称为机械求积:

  13. 求积节点 或写成: (1) 数值积分公式 求积系数

  14. 记 称(2)为数值求积公式,(3)为求积公式余项(误差). 构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有 (i)确定求积系数Ak和求积节点xk； (ii)求积公式的误差估计和收敛性 为了构造形如式(2)的求积公式,需要提供一种判定求积方法精度高低准则

  15. 求积公式的代数精度 定义1称求积公式(2)具有m次代数精度,如果它满 足如下两个条件: (i)对所有次数≤ m次的多项式 ,有 (ii)存在m+1次多项式 ,使得 定义1中的条件(i),(ii)等价于:

  16. 插值型求积公式 在积分区间[a,b] 上取n+1个节点xi，i=0,1, 2,…,n,作f(x)的n次代数插值多项式（拉格朗 日插值公式）: 则有 为插值余项 于是有

  17. 由 节点 决定， 与 f(x)无关。 Ak 取 称(4)式为插值型求积公式,其中求积系Ak由(5) 式确定. (4) (5)

  18. 定理1形如 的求积公式至少有 n次代数精度 该公式为插值型（即： ） 误 差 推论1求积系数满足:

  19.  取节点为等距分布： 令 Cotes系数 Newton-Cotes 公式 由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此时求积系数 注：Cotes 系数仅取决于 n和 k，可查表得到。与 f (x) 及区间[a, b]均无关。

  20. (6) 记 则 (7) 求积公式(4)变为 (8) 称(8)式为n阶闭型Newton-Cotes求积公式.

  21. 注意:由(6)式确定的Cotes系数只与j和n有关,与f(x)和积分区间[a,b]无关,且满足:注意:由(6)式确定的Cotes系数只与j和n有关,与f(x)和积分区间[a,b]无关,且满足: Newton-Cotes公式的误差为: (9) 与x有关

  22. 定理2 当阶数n为偶数时, Newton-Cotes 公式(8)至少具有n+1次代数精度. 证明只需验证当n为偶数时,Newton-Cotes公式对f(x)=xn+1的余项为零. 由于f(x)=xn+1,所以f(n+1)(x)=(n+1)! .由式(9)得 引进变换t=u+n/2,因为n为偶数,故n/2为整数, 于是有 据此可断定R(f)=0,因为上述被积函数是个奇函数.

  23. Newton-Cotes公式的数值稳定性 现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响.设 用公式 近似计算积分 时,其中计算函数值f(xj)有误差εj(j=0,1,2,…,n).设 计算Cj(n)没有误差,中间计算过程中的舍入误差也 不考虑,则在式(10 )的计算中,由εj引起的误差为 (10)

  24. 如果Cj(n)都是正数,并设 则有 故en是有界的,即由εj引起的误差受到控制,不超过ε的(b-a)倍,保证了数值计算的稳定性.而当n>7时,Cj(n)将出现负数, 将随n增大,因而不能 保证数值稳定性. 因此高阶公式不宜采用,有实用价值的仅仅是几种低阶的求积公式.

  25. n = 1: n = 2: n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5, Trapezoidal Rule 代数精度 = 1 /* 令 x = a+th, h = ba, 用中值定理 */ Simpson’s Rule 代数精度 = 3

  26. 复化型求积公式 高次插值有Runge现象,高阶Newton-Cotes公式会出现数值不稳定,低阶Newton-Cotes公式有时又不能满足精度要求.解决这个矛盾的办法是将积分区间[a,b]分成若干小区间,在每个小区间上用低阶求积公式计算,然后将它们加起来,这就是复化求积方法.

  27. 在每个 上用梯形公式： /*中值定理*/ 复化梯形公式： =Tn

  28. 复化梯形公式积分法

  29. 收敛性 由上述的误差估计式可知，当 f(x) C2[a,b]时,只要 h0时 数列Tn(f) I(f),且收敛速度为二阶O(h2). 但是f(x) C2[a,b] 条件相对苛刻, 现假定f(x)在[a,b]上Riemann可积,讨论复化求积公式的收敛性

  30. 复化 Simpson 公式：

  31. 复化Simpson公式积分法

  32. 误差估计 每个子区间上的误差估计式为 将n个子区间的误差相加得 由闭区间上连续函数的介值性质可知在[a,b]上至少存在一点，使 可见,当f(x)有四阶导数时,复化Simpson公式具有4阶收敛.

  33. 试用数据表计算积分 xf (x) 0 1 1/8 0.9973978 2/8 0.9896158 3/8 0.9767267 4/8 0.9588510 5/8 0.9361556 6/8 0.9088516 7/8 0.8771925 1 0.8414709 例 对于函数 , 解 将区间[0,1]划分为8等分,应用复化梯形法求得

  34. 应用复化Simpson法计算,得 比较上面两个结果T8和S4,它们都需要提供9个 点上的函数值工作量基本相同,然而精度却差别很大. 同积分的准确值I(f)=0.9460831比较,复化梯形法的结果T8=0.9456909只有两位有效数字, 而复化 Simpson法的结果S4=0.9460832却有六位有效数字.

  35. 习 题 p388: 1, 5; p389: 8.

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