יעילות פרטו בכלכלות ייצור וכלכלות חליפין-ייצור

1. יעילות פרטו בכלכלות ייצור וכלכלות חליפין-ייצור

2. כלכלת רווחה 2 - נושאי השיעור • דוגמה לייצור יעיל • שיפוע עקומת התמורה • צריכה יעילה וייצור יעיל – חזרה • יעילות משולבת – התאמת הייצור לצריכה • פרט מול עקומת תמורה • שני פרטים מול עקומת תמורה • שני פרטים, שני מוצרים, שני יצרנים, שני גורמי ייצור • קבלת התנאים ליעילות באמצעות הלאגראנג'יאן

3. דוגמה 1

4. חישוב קו חוזה בייצור הצבת מגבלת המקורות לתוך תנאי ההשקה • בדיקה מראה כי קו זה מתחיל בראשית של יצרן X ומסתיים בראשית של יצרן Y. • כל נקודה על קו זה הינה נקודת השקה, ומכיוון שעקומות ש"ת מתנהגות יפה, מהווה הקצאה יעילה פרטו של גורמי ייצור. • כל נקודה מחוץ לקו זה מהווה נקודת חיתוך ולכן איננה הקצאה יעילה פרטו של גורמי ייצור. • משוואת קו החוזה בדוגמה זו הינה: LX=(10KX)/(16-KX)

5. חזרה • יעילות פרטו בכלכלות חליפין, או יעילות בצריכה, מחייבת שוויון MRS בין כל שני מוצרים על פני כל הפרטים. • יעילות פרטו בכלכלות ייצור, או יעילות בייצור, מחייבת שוויון TRS בין כל שני גורמי ייצור על פני כל היצרנים. • אלו תנאי ההשקה אותם חייבים לקיים תכניות צריכה ותכניות ייצור יעילות. • הם הכרחיים עבור יעילות פנימית, ומספיקים כאשר "העקומות מתנהגות יפה". • ביחד עם מגבלות המקורות הם מגדירים את קווי החוזה בצריכה ובייצור.

6. שיפוע עקומת התמורה • שיפוע עקומת התמורה (כשיש שני מוצרים X ו – Y) מייצג את ה"קצב" בו יש לוותר על יחידות Y כדי לייצר עוד יחידות X. זהו למעשה dY/dX לאורך עקומת התמורה. • שיפוע עקומת התמורה מסומן ב – RPTYX, ובכל נקודה עליה ניתן על ידי: • שימו לב שליחס זה אין משמעות של "שיפוע" או "ויתור • נדרש" בנקודות מחוץ לעקומת התמורה. • עקומת התמורה "מתנהגת יפה" כשה – RPT הולך וגדל • משמאל לימין. הויתור הנחוץ מ – Y הולך וגדל ככל • שמייצרים יותר X.

7. שיפוע עקומת התמורה - 2 • ניתן לקבל את הנוסחה עבור שיפוע עקומת התמורה תוך שימוש ב "משפט המעטפת". • לחילופין ניתן לחשוב על השינויים בכמויות X ו – Y כשמתחילים מנקודה יעילה ומעבירים גורם ייצור K (או L) מייצור Y לייצור X. • לשיפוע עקומת התמורה יש משמעות ריאלית. • שיפוע עקומת אפשרויות התועלת שהינו גודל קרדינאלי ניתן לחישוב בצורה דומה. • במידה ויש יותר מוצרים או גורמי ייצור ה – RPT בין כל שני מוצרים מוגדר ומחושב בצורה דומה.

8. קו חוזה ועק' תמורה – דוגמה - 2 • פונקציות הייצור של x ושל Y הינן: • סך כמות ה – K במשק הינה 100. • סך כמות ה – L במשק הינה 200. • תנאי ההשקה ניתן על ידי :

9. המשך הדוגמה – (1) • הצבת מגבלת המקורות לתנאי ההשקה גוררת את משוואת קו החוזה הבאה: LX=2KX • משוואת עקומת התמורה ניתנת על ידי פתרון שתי המשוואות הבאות: הצבת המשוואה הראשונה בשנייה גוררת:

10. המשך הדוגמה – (2)

11. המשך הדוגמה – (3) • עקומת התמורה ניתנת לכן על ידי:Y=100-X/2 • שיפוע עקומת התמורה (RPT) הינו לכן ½ (בערך מוחלט). • כיצד ניתן להגיע לזה מהנוסחה?

12. פרט מול עקומת תמורה • נניח כי יש פרט אחד, שני מוצרים (X ו – Y) ועקומת תמורה (H(X,Y)=B). • הקצאה היא תכנית ייצור ותכנית צריכה. • הקצאה הינה לכן רביעיית מספרים (XP,YP) , (XC,YC). • הקצאה הינה אפשרית אם תכנית הייצור ((XP,YP)) עומדת במגבלת עקומת התמורה, ותכנית הצריכה ((XC,YC)) ממצה (כשאין השלכה חופשית) את הכמויות המיוצרות. כלומרXP=XC , YP=YC. • באופן גראפי, הקצאה אפשרית הינה נקודת ייצור על עקומת התמורה, ונקודת צריכה שמתלכדת איתה. • מהי הקצאה יעילה פרטו? • הקצאה אפשרית שאין שום הקצאה אפשרית אחרת ששולטת עליה פרטו.

13. פרט מול עקומת תמורה – (1) • כיצד נקבע אם הקצאה הינה יעילה פרטו? • נעביר דרכה עקומת אדישות של הפרט. • במידה והיא "חותכת" את עקומת התמורה נוצרת עדשה. • הקצאות בתוך העדשה שולטות פרטו על ההקצאה המקורית. • הקצאה פנימית (אף קואורדינטה אינה מתאפסת) המהווה נקודת חיתוך אינה יעילה פרטו. • כל הקצאה יעילה פרטו פנימית חייבת להיות נקודת השקה. כלומר חייבת לקיים MRS=RPT. • כל נקודת השקה פנימית הינה יעילה פרטו במידה ועקומת האדישות ועקומת התמורה "מתנהגות יפה".

14. דוגמה 3 X=10 , Y=2000.5=14.14 מפתרון שתי המשוואות מתקבל כי:

15. יעילות פרטו כפתרון של בעיית מקסימום • נשים לב כי ההקצאה היעילה פותרת למעשה את הבעיה: פתרון בעיית מקסימום זו בטכניקת הלאגראנג'יאן תביא אותנו כמובן לאותו תנאי השקה ולאותו פתרון.

16. שני פרטים מול עקומת תמורה • נניח כי יש שני פרטים (U1,U2), שני מוצרים (X ו – Y) ועקומת תמורה (H(X,Y)=B). • הקצאה הינה תכנית ייצור ותכנית צריכה • הקצאה הינה לכן שישיית מספרים: תכנית ייצור (XP,YP) ותכנית צריכה (x1,y1) (x2 ,y2). • ההקצאה הינה אפשרית (בלי השלכה חופשית) אם: • (XP,YP) עומדת במגבלת עקומת התמורה • x1 +x2 =XP • y1 +y2 =YPx1,y1,x2,y20 • באופן גראפי, הקצאה אפשרית הינה נקודת ייצור על עקומת התמורה, שמגדירה תיבת אדג'וורת (של מוצרים), ונקודת צריכה בתוך תיבה זו. • מהי הקצאה יעילה פרטו? • הקצאה אפשרית שאין שום הקצאה אפשרית אחרת ששולטת עליה פרטו.

17. שני פרטים מול עקומת תמורה – (1) • כיצד נקבע אם הקצאה הינה יעילה פרטו? • נעביר דרך נקודת הצריכה עקומות אדישות של שני הפרטים. • במידה והן "נחתכות" נוצרת עדשה. • הקצאות בתוך העדשה שולטות פרטו על ההקצאה המקורית. • הקצאה פנימית יעילה פרטו חייבת לקיים MRS1=MRS2. • האם ניתן להשיג שיפור פרטו על ידי שינוי נקודת הייצור? • נעביר "העתק" של עקומת האדישות של פרט 1 דרך נקודת הייצור. • אם ההעתק חותך את עקומת התמורה נוצרת עדשה. • "בתוך עדשה זו" ישנן תכניות ייצור שמאפשרות תכניות צריכה שמהוות שיפור פרטו. • הקצאה פנימית יעילה פרטו חייבת לקיים MRS1=RPT.

18. הקצאות פינתיות ויעילות פרטו • תנאים הכרחיים ליעילות פרטו בהקצאה בה X2=0 (וכל שאר המשתנים חיוביים ממש) הינם: • MRS1=RPT (זו הקצאה פנימית עבור פרט 1) • MRS1≥MRS2 • תנאים הכרחיים ליעילות פרטו בהקצאה בה Y1=0 (וכל שאר המשתנים חיוביים ממש) הינם: • MRS2=RPT (זו הקצאה פנימית עבור פרט 2) • MRS1≥MRS2 • תנאים אלו יהיו מספיקים כשהעקומות תתנהגנה יפה.

19. שני פרטים מול עקומת תמורה – סיכום • כל הקצאה יעילה פרטו פנימית חייבת לקיים: • (יעילות בצריכה) MRS1 = MRS2 • (ייצור מותאם להעדפות הפרטים) MRS1 = RPT • התנאי הראשון מבטיח כי שני הפרטים אינם יכולים להרוויח על ידי החלפות ביניהם. • התנאי השני מבטיח כי הם לא ירוויחו על ידי החלפות עם מנגנון הייצור. • הקצאות יעילות פרטו פינתיות תקיימנה שוויונים ואי שוויונים בהתאם ל"פינה". • תנאים אלו מספיקים כאשר כל העקומות מתנהגות יפה.

20. דוגמה 4 (בהמשך ל דוגמה 3) מכיוון שהעקומות מתנהגות יפה אוסף הפתרונות לחמשת משוואות אלו הינו אוסף ההקצאות היעילות פרטו הפנימיות.

21. המשך הדוגמה – (1) • כיצד עובדים עם תנאים אלו? • בהינתן הקצאה אפשרית ניתן לבדוק אם היא יעילה. • בהינתן תכנית ייצור ניתן לבדוק האם היא חלק מהקצאה יעילה, ומהן תכניות תצרוכת המתאימות לה? • בעזרת "קצת אלגברה" ניתן להגיע למסקנות הבאות: • ההקצאה היעילה הטובה ביותר עבור פרט 1 הינה לייצר XP=1500.5 YP=1500.5ולתת לו את הכול, וכלום לפרט 2. • ההקצאה היעילה הטובה ביותר עבור פרט 2 הינה לייצר XP=10 YP=2000.5ולתת לו את הכול, וכלום לפרט 1. • כל נקודות הייצור בין שתי נקודות אלו הינן חלק מהקצאה יעילה פרטו. לכל אחת מהן תתאים חלוקת תצרוכת יחידה שביחד איתה תהווה הקצאה יעילה פרטו.

22. המשך הדוגמה – (2)

23. דוגמה 5

24. המשך הדוגמה (1)

25. המשך הדוגמה – (2)

26. המשך הדוגמה – (3)

27. המשך הדוגמה – (4)

28. יעילות משולבת - 23 • כאשר "מחליפים" את עקומת התמורה בשני יצרנים (של X ו – Y עם פונקציות ייצור f ו – g) ושני גורמי ייצור (K ו – L) נוסף תנאי השקה נוסף והוא שוויון ה – TRS. • הקצאה יעילה פרטו פנימית חייבת לקיים: • TRSX=TRSY (ייצור יעיל) • MRS1=MRS2 (צריכה יעילה) • MRS1=RPT (ייצור מותאם לצריכה) • מגבלות מקורות במישור גורמי הייצור ומישור המוצרים

29. קבלת התנאים ליעילות פרטו בטכניקת הלאגראנג'יאן

30. טכניקת הלאגראנג'יאן – (1)

31. טכניקת הלאגראנג'יאן – (2) • שני התנאים האחרונים הינם למעשה מגבלת המקורות. • שמונת התנאים הראשונים מכילים את תנאי ההשקה. • כופלי הלאגראנג' הינם בשלב זה כלי עזר טכני (למעשה ניתן להראות שהם מחירי צל או לחילופין מספקים מחירים תומכים להקצאה היעילה – יובהר בהמשך). • בשמונת המשוואות הראשונות מופיעים חמישה כופלים, באופן מכני נרצה להיפטר ממשתנים אלו וכך לסיים עם שלוש משוואות ("משוואה תמורת נעלם").

32. טכניקת הלאגראנג'יאן – (3)

33. טכניקת הלאגראנג'יאן – (4)