Máquinas de Turing

1. Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Informática Teoria da Computação – 2013.1 Máquinas de Turing SIPSER – Capítulo 3: A tese de Church-Turing Ana Paula Nunes Guimarães Glauco de Sousa e Silva • Sarah Soares de Oliveira Professor: Andrei Formiga

2. Até agora • Autômatos finitos são bons modelos para dispositivos que têm uma quantidade pequena de memória • Autômatos com pilha são bons modelos para dispositivos que possuem memória ilimitada, desde que seja utilizada de apenas uma maneira: • LIFO • Agora veremos um modelo mais poderoso: • Máquinas de Turing (MTs)

3. Máquinas de Turing • Proposta por Alan Turing em 1936 • Semelhante a um autômato finito • Mas com memória ilimitada e irrestrita • É um modelo de um computador de propósito geral

4. Máquinas de Turing

5. Máquinas de Turing • Um detalhe importante é a aceitação, ou rejeição da entrada • Diferente dos autômatos, ela possui um estado de aceitação, e outro de rejeição • Ambos necessariamente finais • Quando um destes estados é alcançado, a computação termina imediatamente

6. Máquinas de Turing • Para entender o procedimento executado por uma máquina de Turing, vamos considerar a seguinte linguagem: • L1 = { w#w | w ∈ {0,1}* } Exemplos de palavras da linguagem L1: w1=010#010 w2=0011#0011

7. Máquinas de Turing • Algoritmo para reconhecer L = {w#w | w ∈{0,1}*} • Faça um zigue-zague ao longo da fita checando posições correspondentes de ambos os lados do símbolo # para verificar se elas contêm o mesmo símbolo. Se a fita não contêm, ou se nenhum # foi encontrado, então rejeite; • À medida que os símbolos vão sendo verificados, marque-os; • Quando todos os símbolos a esquerda de # forem marcados, verifique se existe algum símbolo não marcado a direita. Se existir, rejeite. Se não existir, aceite a entrada.

8. Entrada: 011000#011000 0 1 1 0 0 0 # 0 1 1 0 0 0 □ ... x 1 1 0 0 0 # 0 1 1 0 0 0 □ ... x 1 1 0 0 0 # x 1 1 0 0 0 □ ... x 1 1 0 0 0 # x 1 1 0 0 0 □ x x 1 0 0 0 # x 1 1 0 0 0 □ ... x xxxxx # x xxxxxx □ ... aceita

9. Definição formal de uma Máquina de Turing • Uma MT é definida como uma 7-upla: M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qaceita,qrejeita) • Onde: • Q é o conjunto de estados, • Σ é o alfabeto de entrada sem o símbolo em branco (□), • Γ é o alfabeto da fita, onde □ ϵΓe Σ ⊆ Γ, • δ: Q x Γ→ Q x Γ x {L, R} é a função de transição, • q0 ϵQ é o estado inicial, • qaceita ϵQ é o estado de aceitação e, • qrejeita ϵQ é o estado de rejeição (qaceita≠ qrejeita).

10. Iniciando uma Máquina de Turing • Entrada w = ABCD Unidade de controle

11. Exemplo de função de transição • δ(q0, A) = (q1,X,R) q0

12. Exemplo de função de transição • δ(q0, A) = (q1,X,R) q1

13. Configurações da Máquina de Turing • Configurações de uma MT são mudanças que ocorrem no estado atual, no conteúdo atual e na posição atual da cabeça. • Exemplo: ABqCD q

14. Configurações da Máquina de Turing • Casos especiais: • Começo da cadeia com movimento para a esquerda • Fim da cadeia com movimento para a direita • Configuração inicial (q0w) • Configuração de aceitação (qaceita) • Configuração de rejeição (qrejeita) • Uma MT aceita uma aceita a entrada w se uma sequência de configurações C1, C2, ..., Ck existe.

15. Linguagens e Máquinas de Turing • Linguagem da MT: coleção de cadeias que são aceitas • Linguagem Turing-reconhecível • Linguagem Turing-decidível

16. Exemplos de Máquinas de Turing • L = {anbn | n ≥1}

17. Exemplos de Máquinas de Turing • L = {anbn | n ≥1} • O estado q0 ao encontrar “a” escreve “x” (ou seja, marca “a”), muda de estado (q1) e vai para a direita. • O estado q1 é responsável por encontrar um “b” e marcá-lo com “y”. • A partir daí, outro estado (q2) entra em ação. Ele volta na fita até encontrar “x” (o último “a” marcado). • Quando q2 encontra o “x” devolve o controle para o estado q0, que recomeça o processamento.

18. Exemplos de Máquinas de Turing • Quando q0 encontra o “y”, significa que já terminou de marcar os símbolos “a”. Então, se não houverem mais “b” para serem marcados, a cadeia está correta. • Para isso é usado o estado q3, para percorrer o restante da cadeia. Se encontrar só “y” e o □, então a cadeia está correta. • Se encontrar algum “b”, a MT para (já que não existe uma transição δ(q3, b) e a cadeia não é aceita).

19. Exemplos de Máquinas de Turing • L = {anbn | n ≥1}

20. Exemplos de Máquinas de Turing • L = {anbn | n ≥1} – cadeia: w = aabb

21. Exemplos de Máquinas de Turing • L = {w#w | w ϵ {0,1}*}

22. Variantes de Máquinas de Turing • Variantes • Máquinas de Turing Multifita • Máquinas de Turing Não-Determinísticas • Enumeradores • Podercomputacional • Reconhecem a mesmaclasse de linguagens • Robustez

23. Variantes de Máquinas de Turing • E se permitíssemosque o cabeçote de uma MT ficasseparado? • Função de transição de uma MT padrão • Função de transição de uma MT estendida • Essa característica pode permitir que essas MT reconheçam linguagens adicionais, incrementando assim o poder desse modelo? • Equivalência entre modelos

24. Máquinas de Turing Multifita • Máquinas de Turing Multifita • A função de transição é modificadaparapermitirler, escrever e mover as cabeçasemtodas as fitassimultaneamente • Função de transição de uma MT padrão • Função de transição de uma MT estendida

25. Máquinas de Turing Multifita • Poder computacional

26. Máquinas de Turing Multifita • Teorema:toda MT mulifita tem uma MT de umaúnicafitaquelhe é equivalente • Prova: Devemos mostrar como converter uma MT multifita M em uma equivalente S, com apenas uma fita

27. Máquinas de Turing Multifita • Cabeçotes e fitas virtuais

28. Máquinas de Turing Não-Determinísticas • Emqualquerponto, a máquinapodeproceder de acordo com váriaspossibilidades • Função de transição de uma MT padrão • Função de transição de uma MT estendida • A computação é umaárvore • Os nóscorrespondemàsdiferentespossibilidades • Podercomputacional

29. Máquinas de Turing Não-Determinísticas • Teorema: Toda MTND tem uma MTD que lhe é equivalente • Idéia da prova: Podemos simular qualquer MTND M, através de uma MT determinística S • Vemos a computação de M sobreumaentrada w comoumaárvore de possibilidades • Cada nó da árvore é uma configuração de M

30. Máquinas de Turing Não-Determinísticas • A raiz é a configuraçãoinicial • Cadanó tem no máximo b filhos • Buscar um estado de aceitação • Não fazer busca em profundidade, fazer busca em largura!

31. Simulação da MTND • Prova: • A MT simuladora S posuitrêsfitas:

32. Máquinas de Turing Não-Determinísticas • Umalinguagem é Turing-reconhecível se, e somente se alguma MTND a reconhece • Chamamosuma MTND de decisor se todososnósparamsobretodas as entradas • Uma linguagem é decidível se e somente se alguma MTND a decide

33. Enumeradores • Um enumerador pode ser visto como uma MT com uma impressora anexa • A MT pode usar essa impressora como um dispositivo de saída para imprimir cadeias

34. Equivalência com outros modelos • Existem vários modelos de computação de propósito geral • Todos os modelos compartilham a característica essencial de máquinas de Turing • Acesso irrestrito a memória ilimitada • Linguagens de programação • Descrevem exatamente a mesma classe de algoritmos

35. Tese de Church-Turing • "A capacidade de computação representada pela Máquina de Turing é o limite máximo que pode ser atingido por qualquer dispositivo de computação" • Supondo verdadeira a hipótese de Church • Função computável: épossível construir uma Máquina de Turing (ou formalismo equivalente) que compute a função • Função Não-Computável: não existe Máquina de Turing (ou formalismo equivalente) que compute a função

36. Terminologia para descrever MT’s • A entrada da MT é uma cadeia • E se quisermos fornecer como entrada um objeto? • Representar o objeto como uma cadeia • Grafos, polinômios, gramáticas, autômatos... • Notação <O>

37. Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Informática Teoria da Computação – 2013.1 Máquinas de Turing SIPSER – Capítulo 3: A tese de Church-Turing Ana Paula Nunes Guimarães Glauco de Sousa e Silva • Sarah Soares de Oliveira Professor: Andrei Formiga