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Física da Informação e da Computação

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  1. Física da Informação e da Computação Roberto S. Sarthour e Ivan S. Oliveira VI Escola do CBPF 2006

  2. Computação e Computadores É possível resolver problemas matemá- ticos de forma puramente “mecânica”? (1928) Sim! Usando uma Máquina de Turing: 00101010111100.... (1936)

  3. Computação e Computadores

  4. Computador a Válvula

  5. Transistor ~ 5 cm 42 milhões de transistores!!

  6. A Criatividade Humana – A Lei de Moore • Esta lei prevê que em 2020, 1 bit será representado por apenas 1 átomo!

  7. Computação e Física

  8. Computador de Bolas de Sinuca 11011101110110100101110 01000001100110100100010

  9. Computação Quântica - 1982 “Aparentemente as Leis da Física não se opõem à redução do tamanho dos computadores até que os bits cheguem a dimensões atômicas, região onde a Mecânica Quântica detém o controle” Richard Feynman, Opt. News, 1985

  10. Computação Quântica - 1985 “Máquina de Turing Quântica – mostrando o poder da computação quântica sobre a clássica” David Deutsch, 1985

  11. 50 % 50 % Jogo de cara ou coroa clássico • Moedas são objetos clássicos, e os lados “cara” e “coroa” são • mutuamente excludentes.

  12. 50 % 50 % Jogo de cara ou coroa quântico • Bits quânticos podem coexistir em dois estados ao mesmo tempo, mas ao tentarmos medir, observaremos somente um dos estados.

  13. Em 1935... Mecânica Quântica: Cálculo com Magia Negra

  14. M1 M2 M1 M2 50% 50% Emaranhamento • A observação do estado de qualquer um dos componentes de um par emaranhado determina o estado físico do outro componente do par! • Não existe um análogo clássico de estados emaranhados!

  15. O estado do gato

  16. Computação Quântica e Informação Quântica • Qualquer objeto quântico com dois estados bem definidos pode representar uma unidade de Informação Quântica, o bit quântico – qbit. • Qbits podem estar em uma superposição de estados, ao contrário do bit clássico, que é sempre 0 ou 1. • A Computação Quântica utiliza as propriedades dos qbits, como a superposição e o emaranhamento, para resolver problemas complexos. • Algoritmos quânticos são muito mais rápidos e eficientes que os clássicos, porque computam superposições de estados 0’s e 1’s. • Resumindo, o poder da Computação Quântica está nas propriedades quânticas dos qbits.

  17. Bits quânticos! • Fótons polarizados.

  18. Bits quânticos! • Elétrons em diferentes “orbitas” em um átomo.

  19. Bits quânticos! • Orientações de spin nuclear em um campo magnético (Ex: S = 1/2).

  20. Bits Quânticos (qbits) • Bit é um conceito fundamental de computação clássica e informação clássica. • Computação quântica e informação quântica são construídas sobre o mesmo conceito: O bit quântico (qbit), que é o sistema físico mais simples que existe! • Apesar de serem sistemas físicos (bits e qbits), nesta curso trataremos estes como objetos matemáticos. • Estaremos falando da teoria computacional quântica que não depende do sistema físico que a realiza.

  21. Notação de Dirac • O estado de um sistema quântico pode ser descrito pelas sua função complexa, conhecida como função de onda. • Na notação de Dirac, um sistema quântico é representado por um vetor de onda chamado de ket, que tem associado e ele um bra: • Uma representação útil quando trabalhamos com um número grande de qbits, é a representação matricial, e neste caso o ket é um vetor coluna, enquanto que o bra é um vetor linha. braket

  22. Notação de Dirac • Produto escalar entre dois vetores, é então definido como: • Valor esperado de um observável do sistema: • Produto tensorial:

  23. Notação de Dirac • Nesta notação, os operadores são então descritos por matrizes quadradas: • Produto tensorial:

  24. bits × qbits • O bit clássico pode-se apresentar em dois estados e. • O bit quântico pode estar em uma superposição de estados: • Onde a e b são números complexos. • Sempre podemos medir com certeza o estado de um único bit clássico. Computadores fazem isto o tempo todo.

  25. bits × qbits • Não é possível medir, com certeza, o estado de um único qbit. • Ao tentar medir o estado quântico de um único qbit, que se encontra em uma superposição de estados: • Mediremos o estado • com probabilidade • e o estado • com probabilidade • Apesar de o qbit poder existir em uma infinidade de estados, o resultado de uma medida do estado deste qbit pode ser somente “0” ou “1”.

  26. Manipulando qbits • No caso dos elétrons em diferentes “orbitas” num átomo, pode-se induzir uma transição do estado fundamental para o excitado iluminando o átomo por um determinado período de tempo, com uma luz de freqüência e amplitudes bem determinadas. • Iluminado o mesmo átomo com a mesma luz, mas apenas com metade do tempo pode-se produzir uma superposição de estados:

  27. Informação em qbits • Como um único número pode guardar uma infinidade de informação, seria possível guardar em q (orientação do qbit) todo o texto de um livro? • A resposta é SIM! No entanto, ao medir o estado do qbit obteríamos somente “0” ou “1”, com uma determinada probabilidade.

  28. Medindo o estado de um qbit • Suponha que um qbit esteja no estado: • Ao realizar uma única medida um observador poderá medir somente um dos estados “0” ou “1”, com a respectiva probabilidade. • Se várias medidas forem feitas no mesmo qbit, após a primeira, o resultado das medidas posteriores serão sempre iguais ao resultado da primeira medida.

  29. Portas lógicas de um qbit • Portas lógicas são as ferramentas da computação quântica. • Estas têm que preservar a norma: • Onde a e b são definidos pela equação: • Portanto, as portas lógicas realizam operações unitárias, e podem ser descritas por matrizes unitárias. • Algumas portas lógicas são descritas pelas matrizes de Pauli:

  30. Portas lógicas de um qbit • Outras portas lógicas importantes são a porta Hadamard, a porta de fase e a porta (p / 8). • A porta Hadamard (H): • A porta de fase (S): • A porta (p / 8) (T):

  31. Algumas Relações • Note que: • A porta (p / 8 - T) é chamada assim por razões históricas e pode-se notar que:

  32. As portas NOT e de fase • A porta NOT é a porta X. • A porta fase muda a fase relativa dos qbit de p/2.

  33. A porta Hadamard • A porta Hadamard cria uma superposição de estados, e produz o mesmo estado inicial, quando aplicada duas vezes.

  34. A porta Hadamard • A porta Hadamard cria uma superposição de estados, e produz o mesmo estado inicial, quando aplicada duas vezes.

  35. X Y • 180° Z • 90° S • 45° T Operações lógicas de 1 qbit • Resumo das operações lógicas de 1 qbit.

  36. Rotações e matrizes de Pauli • Os operadores de rotação são construídos a partir das matrizes de Pauli.

  37. Rotações e matrizes de Pauli • Rotações em torno dos eixos x, y, e z.

  38. Operador unitário • Qualquer operador unitário de um qbit pode ser escrito de muitas formas como combinações de rotações, mais algumas mudanças de fase globais. • Decomposição Z-Y:

  39. Operador unitário • As colunas são formadas por vetores ortogonais e temos 4 elementos para descobrir e 4 incógnitas. Portanto podemos escrever um operador unitário qualquer sob a forma de produtos de rotações. • O primeiro passo para fazer uma operação quântica no sistema é determinar qual é a matriz que faz esta operação. Em seguida é expandir esta matriz na forma de operações conhecidas (achar os elementos a, b, ged).

  40. Múltiplos qbits • Para um sistema com 2 qbits, podemos escrever o estado deste sistema como: • Podemos realizar uma medida somente no primeiro (a) qbit (|ab). Suponha que esta medida de “0”. A probabilidade de isto ocorrer é dada por: • O novo estado do sistema é então dado por:

  41. Múltiplos qbits • Para um sistema de dois qbits, a função de onda deste é descrita por: • Neste caso, operações quânticas podem atuar apenas em um dos qbits, ou em ambos. • Uma representação útil quando trabalhamos com um número grande de qbits, é a representação matricial.

  42. X Uf H Circuitos Quânticos • Um circuito quântico é geralmente representado por linhas, pontos e caixas. • As linhas representam os qbits presentes no sistema. • As caixas e outros elementos representam as operações realizadas, que podem ser efetuadas em um único qbit ou vários ao mesmo tempo. • O tempo “corre” da esquerda para a direita.

  43. H H Portas de Múltiplos qbits

  44. Álgebra Booleana • Se x 1 então x = 0. • Se x 0 então x = 1. • Soma módulo 2.

  45. A porta CNOT • A porta quântica CNOT (Não controlado) atua em dois qbits. Um é o qbit de controle e o outro é o qbit alvo. Esta inverterá o estado do qbit alvo dependendo do estado quântico do qbit de controle. • Este é o CNOTa, isto é o primeiro qbit controla a operação.

  46. A porta CNOT • O CNOTb, onde o segundo qbit é quem controla a operação pode ser descrito pelo circuito abaixo: • A porta quântica CNOT pode ser descrita como uma espécie de XOR generalizado.

  47. A porta CNOT • Pode-se representar a porta CNOT na forma matricial:

  48. × = × Trocando estados dos qbits (Swap) • Nesta operação, que não tem análoga clássica, queremos trocar os estados dos qbits. O estado do primeiro passa para o segundo e vice versa.

  49. Copiando qbits ? ? • É possível copiar um qbit? Com este circuito não é possível copiar um qbit!

  50. U O Teorema da Não-clonagem