LOGIKA 5. Előadás

1. LOGIKA 5. Előadás Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi

2. Elérehetőség: • aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ • szilagyi@aszt.inf.elte.hu Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba Jegyzet: Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA TECHNIKAI ADATOK

3. Bevezetés A 0. rendű logika (Itéletkalkulus) • Szintaxis • Szemantika • 0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz) • Szemantikus következmény • Normálformák • Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus) Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) • Szintaxis • Szemantika • 1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz) • Szemantikus következmény • Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció) TEMATIKA

4. SZINTAKTIKUS SZEMANTIKUS Levezethető / Bizonyítható Azonosan igaz / következmény A szintaktikus és a szemantikus megközelítés ugyanoda vezet-e? Gödel tételei

5. Gödelteljességi tétele a matematikai logika fontos tétele, azt mondja ki, hogy ha egy elsőrendű elméletben egy tetszőleges mondat minden modellben igaz, akkor bizonyítható is. • Az igazság tétel A tétel szerint, ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elméletnek (zárt formulák halmazának) van modellje, akkor konzisztens (ellentmondásmentes). Ez nyilvánvaló, hiszen a modellben minden T-ből levezethető állításnak igaznak kell lennie, márpedig a modellen nem teljesülhet egyszerre egy zárt formula és tagadása. • A teljességi tétel A teljességi tétel az igazság tétel megfordítása: Ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elmélet (zárt formulák halmaza) konzisztens, akkor van modellje. • A teljességi tétel másik alakja Ha egy L elsőrendű nyelvben T elmélet és F zárt formula, amire teljesül T= F, azaz F igaz T minden modelljében, akkor F levezethető T-ből. Ez az állítás ekvivalens a teljességi tétel fenti alakjával Gödel Teljességi tétele

6. Tétel – Gödel első nemteljességi tétele • Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletbenmegfogalmazható olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható. • Terminológiai megjegyzések • 1 – Formális-axiomatikus elmélet alatt bármilyen formalizált (például elsőrendű nyelvre épített) axiomatikus-deduktív elméletet érthetünk,. • 2 – Ellentmondásos egy axiomatikus elmélet, ha van benne olyan mondat, mely bizonyítható is és cáfolható is. Amennyiben kizárt, hogy akármelyik mondat bizonyítható és cáfolható is legyen, akkor azt mondjuk, hogy az elmélet ellentmondásmentes. • 3 – Azon, hogy tartalmazza a természetes számok elméletét, azt értjük, hogy szerepeljenek a formális nyelvben olyan kifejezések, melyek megfeleltethetők a természetes számoknak, az összeadásnak, a szorzásnak úgy, hogy a Peano-aritmetika axiómái megfogalmazhatók és egyben levezethetők is legyenek az elméletben. Ezt a feltételt még úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az elmélet elegendően erős. • 4 – Megfogalmazható, azaz létezik a formális nyelvnek ilyen mondata. (Ez a fajta létezés ráadásul konstruktív abban az értelemben, hogy valamilyen eljárással véges lépésben kikereshető az összes mondat közül – bár a kikeresés idejére vonatkozóan nem feltétlenül lehet felső korlátot megadni.) • 5 – Bizonyítható, azaz formalizált axiomatikus-deduktív elméletek levezethetőség kritériumának megfelel. • 6 – Cáfolható egy S mondat, ha negációja (azaz a 'nem S' mondat) bizonyítható. Gödel 1. nemteljességi tétele

7. Gödelmásodik nemteljességi tételeGödel első nemteljességi tételének egy lényeges kiterjesztése. • Míg az első nemteljességi tétel azt mondja ki, hogy minden „valamirevaló” elméletnek van megoldhatatlan problémája, • addig ez a tétel konkrét példát mutat: minden „valamirevaló” elméletben bizonyíthatatlan, hogy maga az elmélet ellentmondásmentes. Gödel 2. nemteljességi tétele

8. 1. Van olyan paciens, aki minden doktorban megbízik. 2. A kuruzslókban egyetlen paciens sem bízik meg. Formalizáljon elsőrendben. Következmény-e3. 3. Egyetlen doktor sem kuruzsló. P(x): az x egy paciens D(y): y egy doktor K(y): y egy kuruzsló M(x,y): X megbízik y-ban FEJTÖRŐ

9. Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) • Szintaxis • abc, term, formula, szintaktikai definíció, • egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió • Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése • Logikai összettetség • Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens • Változó átnevezés, Termhelyettesítés • Szemantika • Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész, változó kiértékelés(  )) •  L-értékelés (term és formula) • Term és formula értéktáblája • Quine-féle táblázat • Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia • 1. rendű logikai törvények • Szemantikus következmény • Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció) TEMATIKA

10. Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az állítások minősítésével és az állítások leírásával. • Az állítás definíciója szerint az állítást egy kijelentő mondattal ki lehet fejezni. • Ehhez rendeltük az állításjelet, • majd az állítások halmazához az ítélet változót • Az állítás információ tartalma alapján igaz vagy hamis. Például: 1. P: a 7 prímszám – állítás, ítélet változó (P)! 2. Az x prímszám – nem állítás (paraméteres) Alaphalmaz: x ϵ N x nem ítélet változó Hogyan analizálhatnánk a 2. mondatot? 1. Rendű logika: Bevezetés

11. Az ilyen állítások formális leírására egy relációt (logikai függvényt) definiálunk. • P(x) = i, ha x prímszám - Alaphalmaz: x ϵN • E(x) = i, ha x egészszám - Alaphalmaz: x ϵN • L(x,y,z) = i, ha z az x és az y legnagyobb közös osztója. - Alaphalmaz: x, y, z ϵN Szükségünk lesz: Alaphalmaz- egyedek/indivíduumok halmaza- Univerzum-Jele: U • X: indivíduum változó: U elemeit futhatja be • P (x) : predikátum szimbólum:U {i, h} 1. Rendű logika: Bevezetés

12. Az állítás konkrét egyedekkel behelyettesített reláció. Pl.: E(9)=i, E(0.8)=h vagy L(9,6,3)=i, L(9,6,7)=h állítások, de L(9,6,z) nem állítás (paraméteres állítás). • Ha a kijelentő mondat alanya egy konkrét egyed, akkor az állítást nulladrendű állításnak hívjuk. • Az alaphalmaz lehet például a racionális számok halmaza. • Ha a kijelentő mondat alanya bizonyos egyedek egy halmaza, akkor, az állítást elsőrendű állításnak hívjuk. 1. Rendű logika: Bevezetés

13. Ebben az esetben az állítás az elemek halmazára vonatkozik és az összes elemre egyidejűleg fennálló megállapítást/általánosítást vagy a halmaz bizonyos elemeire (nem feltétlenül mindre) fennálló megállapítást/létezést fogalmaz meg. • Ennek leírására vezetjük be a  (univerzális) és a  (egzisztenciális) kvantorokat. • Pl. a „Vannak prímszámok” kijelentés - xP(x) alakban írható le, ha feltételezzük, hogy a vizsgált elemhalmaz/ vagy indivíduumhalmaz/univerzum az egészszámok halmaza. • Amennyiben az univerzum a valós számok halmaza, akkor ugyanezt az állítást x(E(x)P(x)) alakban írhatjuk fel. 1. Rendű logika: Bevezetés

14. A„Minden háromszög szögösszege 180 fok” kijelentést – felírhatjuk x(H(x)S(x,f(y1,y2,y3)) alakban, ahol - H(x) = i, ha x háromszög és - f(y1,y2,y3) = y1+y2+y3 - S(x,f(y1,y2,y3)) = i, ha y1,y2,y3az x szögei és f(y1,y2,y3) = 180 fok. Szükség lesz: • f(y1,y2,y3): Függvény szimbólum: UxUxU U • : univerzális kvantor • : egzisztenciális kvantor 1. Rendű logika: Bevezetés

15. NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA Abc Logikai rész: • , , , , , ,  • Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan végtelen, adott fajtájúak • Elválasztó jelek („(„ „)”) • (ítélet változók) Logikán kívüli rész: • Függvény, predikátum és konstans szimbólumok • Elemfajták halmaza Abc

16. Abc, szignatúra

17. Abc, term, formula

18. Példa: Term: f(x,f(c,y)) • f: függvényszimbólum : U x U U • c: konstansszimbólum: c ϵ U • x: indivíduum változó: U elemeit futja be Formula: x(H(x) S(x,f(y1,y2,y3)) • f: függvényszimbólum: U x U x U U • c: konstansszimbólum • x, y1,y2,y3: indivíduumváltozók: U elemeit futják be • H: predikátum szimbólum: U {i,h} • S: predikátum szimbólum: U x U {i,h} Abc, term, formula

19. Szerkezeti fa: term, formula

20. Szerkezeti fa: term

21. Szerkezeti fa: formula

22. Szintaktikai definíció

23. Szintaktikai definíció

24. Egyértelmű elemzés

25. Szerkezeti indukció

26. Szerkezeti rekurzió

27. A kvantorok (, ) prioritása a legerősebb az összes logikai műveletei jel között. • A ,  hatásköre a legszűkebb részformula jobbra. A hatókörök megállapításánál ezt a szabályt kell figyelembe venni, és az Ítéletkalkulusnál megismert szabályokkal együtt kell alkalmazni. Példa xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z)) hatáskörhatáskör hatáskör Műveletek hatásköre

28. Egy formulában egy x változó egy előfordulása: • szabad, ha nem esik x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe • kötött ha x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe esik. Példa xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z)) A fenti formulában x első előfordulása kötött, második előfordulása viszont szabad. Y mindegyik előfordulása kötött. Z mindegyik előfordulása kötött (egy van). Változó előfordulás minősítése

29. Egy x változó egy formulában: • kötött változó ha x minden előfordulása kötött, • szabad változó ha x minden előfordulása szabad, • vegyes változó ha x -nek van szabad és kötött előfordulása is. Példa xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z)) • x vegyes, • y kötött, • z kötött Változó minősítése

30. Egy formula zárt, ha minden változója kötött. • Egy formula nyitott, ha legalább egy indivíduum változónak van legalább egy szabad előfordulása. • Egy formula kvantormentes, ha nem tartalmaz kvantort. Példa xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z)) A fenti formula nyitott, mert például x-nek van szabad előfordulása. Formula minősítése

31. Példa: Logikai összettetség

32. Definíció: Kifejezés: termek + formulák Azokat a kifejezéseket, melyekben nincs indivídumváltozóalapkifejezéseknek nevezzük. • alapterm: f(t1, ..., tn), ahol f: függvényszimbólum • alapatom: p(t1, ..., tn), ahol p: predikátumszimbólum • alapformula: tetszőleges formula, melyben nincs indivíduumváltozó Nem alapkifejezés például a kvantoros formula, mert ott legalább egy változónak kell lenni, amire a kvantor vonatkozik. Alapkifejezés

33. Részterm, Részformula

34. Részterm, Részformula

35. Definíció: • Egy 1. rendű formula primformuláiaz atomi formulák ( p(t1, ..., tn) ) és a kvantált formulák. • Egy 1. rendű formula primkomponenseia formula azon primformulái, amelyekből a formula logikai összekötőjelek segítségével épül fel. Példa: • P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha magában szerepel a formulában: - P(X) Q(X) ben: P(X) prímkomponens is - xP(x)  Q(X) ben: P(X) nem prímkomponens, csak prímformula Prímformula, prímkomponens

36. Változó átnevezés

37. Termhelyettesítés

38. A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).   • Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni. • Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát. • Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó igazságértékét megadtuk. • Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük: Emlékeztető: Formula • minden ítéletváltozó ( Vv)  JFF • ha AJFF akkor AJFF • ha A,BJFF akkor (A○B)JFF minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával. Egyszerű állításÖsszetett állítás interpretáció Boole-értékelés { i , h } { i , h } Formula jelentése mindig igazságérték! SZEMANTIKA: Zérusrendben

39. 1. Interpretáció (I) + 2. változó kiértékelés (  ) + 3.  L-értékelés (I + -n alapuló) Szemantika: 1 rendben

40. Finomabb elemzést tesz lehetővé, nagyobb kifejező erővel rendelkezik! Példa: Panni kirándulni ment. individum predikátum Nevek: individum név vagy leírás, amiről állítunk valamit Predikátumok: A mondat többi része, amit állítunk; önmagában is értelmes kifejezés vagy kifejezés szerkezet. • mondat  {i,h} • Olyan logikai függvény, melyeknek a változószáma megegyezik a mondat individumszámával. , : zR(z, g(z)) ( Q(g(x)) xR(x,x)) 1. Rendű logika