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ANALYSE CEPSTRALE. Définitions et applications . ANALYSE CEPSTRALE contenu. Annulation d ’écho Définitions cepstre de puissance cepstre complexe propriétés Quelques applications mesures de fonction de transfert et de coefficient de réflexion annulation d ’échos

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Presentation Transcript
analyse cepstrale

ANALYSE CEPSTRALE

Définitions et applications

notes de cours Analyse Cepstrale

analyse cepstrale contenu
ANALYSE CEPSTRALEcontenu
  • Annulation d ’écho
  • Définitions
    • cepstre de puissance
    • cepstre complexe
    • propriétés
  • Quelques applications
    • mesures de fonction de transfert et de coefficient de réflexion
    • annulation d ’échos
    • analyse des vibrations d ’engrenages

notes de cours Analyse Cepstrale

analyse cepstrale le probl me de l annulation d chos
ANALYSE CEPSTRALEle problème de l ’annulation d ’échos
  • x(t)= s(t) + sr(t)
    • s(t) son direct , sr(t) son réfléchi
  • le problème de l ’annulation d ’échos
    • comment extraire s(t) de x(t), i.e, supprimer l ’écho ?

notes de cours Analyse Cepstrale

signal echo formulation du probl me
Signal + Echoformulation du problème
  • Hypothèses simplificatrices
    • la réflexion ne génère qu ’un retard et une atténuation
      • sr(t)= a0.s(t-t0)
      • x(t)=s(t)+a0.s(t-t0)
  • Dans le domaine fréquentiel

notes de cours Analyse Cepstrale

signal echo illustration

s(t)

a0s(t-t0)

[X(f)]2

Signal + Echoillustration
  • Domaine temporel
  • Domaine fréquentiel

t0

notes de cours Analyse Cepstrale

signal echo propri t s de la phase
Signal + Echopropriétés de la phase

Imag

1

Réel

2.pi.f.t0

notes de cours Analyse Cepstrale

signal echo effet du logarithme

t

Signal + EchoEffet du logarithme
  • On prend le « Log » pour rendre additif l ’effet de l ’écho
  • On en prend la Transformée de Fourier (inverse)

f

notes de cours Analyse Cepstrale

le cepstre plusieurs d finitions
Le cepstrePlusieurs définitions
  • Cepstre de puissance:
  • Cepstre complexe:

notes de cours Analyse Cepstrale

cepstre de puissance propri t s
Cepstre de puissancePropriétés
  • Cx() = [TF-1(Ln(Sxx(f))]2
    • fréquence  temps
    • relation avec la fonction d ’autocorrélation
      • R()=TF-1 (Sxx(f))
    • Sxx(f) est réel et pair
    •  le CEPSTRE DE PUISSANCE EST REEL, PAIR

notes de cours Analyse Cepstrale

cepstre complexe propri t s
Cepstre complexePropriétés
  • Cx() = TF-1[Ln(X(f)]
    • X(f)=XRéel(f) + j.XImag(f)=[X(f)].ej(f)
    • Ln(X(f))=Log[X(f)] + j. (f)
  • x(t) est réel  Xréel pair et Ximag impair
  •  (f) est impair
  • [X(f)] est pair  Ln [X(f)] est pair
    • le CEPSTRE COMPLEXE EST REEL ET CAUSAL

notes de cours Analyse Cepstrale

cepstres de puissance et complexe cas de signaux minimum de phase

2

1

1

Cepstres de puissance et complexeCas de signaux à minimum de phase
  • Soit x(t) , X(f) = TF(x(t)) = [X(f)].ej(f)
  • x(t) à minimum de phase  H{ln[X(f)]}= (f)
    • Cx() = TF-1 { Ln (X(f))} = Ln[X(f)] + j. (f)
      • Cx() est réel et causal (>0)
      • c ’est la somme d’une partie paire et d ’une partie impaire
    • TF-1{Ln[X(f)2]} est la partie paire,
      • ie, le cepstre de puissance
    • TF-1{(f)} est la partie impaire,
      • ie, le cepstre de phase

notes de cours Analyse Cepstrale

cepstre complexe red ploiement de la phase

f

Cepstre complexeRedéploiement de la phase
  • Cx() = TF-1 { Ln (X(f)) } = Ln[X(f)] + j. (f)
    • pour évaluer (f), on obtient une fonction variant entre - et +  , qu ’il est nécessaire de « redéployer » (Unwrapping)
    • (f) doit être une fonction continue en f. Il existe des algorithmes dédiés (algorithmze de Triboulet 1977)

notes de cours Analyse Cepstrale

cepstre propri t s application la d convolution
Cepstre Propriétés, application à la déconvolution
  • Système linéaire
  • temps : y(t)=h(t)*x(t) produit de convolution
  • fréquence : Y(f)=H(f).X(f) produit
  • cepstre : Cy() = Ch() + Cx() somme (du fait du Log!)
  • d ’où les applications de déconvolution pour séparer x (t) (l ’entrée) de h(t) (le milieu)
    • annulation d ’échos,
    • identification des sources (sismique, etc..)

x(t)

y(t)

h(t)

notes de cours Analyse Cepstrale

d convolution via le cepstre exemple de l annulation d chos

t

t

Déconvolution via le cepstreExemple de l ’annulation d ’échos
  • x(t)=s(t)+a0.s(t-t0), X(f)=S(f)[1+a0.e-2jft0]
  • cx(t) = cs(t) +TF-1{Ln(1+a02+2a0.cos(2 ft0)}
  • on « liftre »  cs(t)
  • S(f)= TF{exp(cs(t))} et s(t)=TF-1{S(f)}
  • remarque:
    • le processus de reconstruction suppose les signaux à minimum de phase

notes de cours Analyse Cepstrale

cepstre vocabulaire
CepstreVocabulaire
  • vocabulaire (Bogert 1963):
      • Spectre Cepstre
      • Fréquence Quéfrence
      • Filtrage Liftrage
      • Harmonique Rahmonique
      • Période Répiode
      • Phase Saphe
      • Amplitude Gamnitude

notes de cours Analyse Cepstrale

cepstre annexes
CepstreANNEXES
  • A: Propriétés de symétrie et de parité par Transformées de Fourier Directe et inverse
  • B: Systèmes à minimum de phase
  • C: caractérisation de matériaux (acoustique)

notes de cours Analyse Cepstrale

annexe a propri t s de la transform e de fourier 1 3
Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (1/3)
  • ie, x(t)  X(f)  x(-t)  X(-f)  x(t)
      • TF directe sur x(t) = TF inverse sur x(-t)

F

F

F

F

notes de cours Analyse Cepstrale

annexe a propri t s de la transform e de fourier 2 3
Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (2/3)
  • x(t) réel X(f) = X*(-f)
      • Re(X(f)) = Re(X(-f))
      • Im(X(f) = - Im(X(-f))
  • x(t) réel pair x(t) = x(-t)X(f)=X(-f)
      • Im(X(f)) = 0
  • x(t) réel impair x(t) = -x(-t)
      • Re (X(f)) = 0

notes de cours Analyse Cepstrale

annexe a propri t s de la transform e de fourier 3 3
Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (3/3)
  • Signal temporelSpectre
  • réel, pair réel, pair
  • réel, impair imag, impair
  • imag, pair imag, pair
  • imag, impair réel, impair
  • réel complexe conjugué pair
  • complexe conjugué pair réel

notes de cours Analyse Cepstrale

annexe b syst mes minimum de phase 1 2
Annexe B: Systèmes à minimum de phase (1/2)
  • Plusieurs définitions :
    • x(n) est à minimum de phase ssi
      • ln[X(w)] et Arg(X(w)) forment une paire de Hilbert
        • H{Ln[X(w)]} = Arg(X(w))
    • un système linéaire de fonction de transfert H(w) est dit à minimum de phase ssi H(w) est stable et d ’inverse stable, ie,
      • ses pôles et ses zéros sont à l ’intérieur du cercle unité (système discret),
      • ou à gauche de l ’axe jw (système continu)

notes de cours Analyse Cepstrale

annexe b syst mes minimum de phase 2 2

Arg(X(f)

Annexe B: Systèmes à minimum de phase (2/2)
  • X1(f) = TF(x1(t)) X2(f) = TF(x2(t))
  • (1)  X1(f)  =  X2(f) 
  • (2) Arg(X1(f))>Arg (X2(f))
  • Si x1(t) est tel que (1) et (2) sont vérifiées quelque soit x2(t) vérifiant (2), alors x1 est dit à phase minimum.( en réalité maximum)

x2(n)

x1(n)

notes de cours Analyse Cepstrale

annexe c caract risation de mat riaux 1 3
Annexe C: Caractérisation de matériaux (1/3)
  • Caractérisation acoustique d’un matériau:
  • x(t)= p(t) + (r1 /r2).p(t)*h(t-t0)
  • r1, r2 coefficients de réflexion
  • t0=(r2-r1)/c
    • X(f)=P(f){1+(r1/r2).H(f).e-2fto}
    • on veut estimer h(t) la réponse impulsionnelle de la surface réfléchissante
    • ou on veut estimer r1, r2

Haut parleur

micro

notes de cours Analyse Cepstrale

annexe c caract risation de mat riaux 2 3
Annexe C: Caractérisation de matériaux (2/3)
  • Expression du cepstre de puissance
    • [X(f)]2=[P(f)]2.{1+(r1/r2).H(f). e-2fto} .{1+(r1/r2).H*(f). E+2fto}
  • on utilise le développement
    • Ln(1+z)=z-z2/2+ z3/3,…. Pour [z]<1
    • d ’où: 2.Ln [X(f)] = 2.Ln(P(f)] + {(r1/r2).H(f). E+2fto - 1/2.(r1/r2)2.(H(f). E+2fto)2 + 1/3.(r1/r2)3 .H*(f). E+2fto +…...}
  • le cepstre est de la forme:
    • Cx (t) = Cp(t) + (r1/r2).Ch(t-t0)-1/2.(r1/r2)2.Ch(t-t0)* Ch(t-t0)…+...
    • X (t) = P(t) + (r1/r2).h(t-t0) -1/2.(r1/r2)2.h(t-t0)* h(t-t0)…+...

notes de cours Analyse Cepstrale

annexe c caract risation de mat riaux 3 3
Annexe C:Caractérisation de matériaux (3/3)
  • Illustration du cepstre de puissance
    • on peut retrouver h(t) si le cepstre de p(t) est « séparable »

P(t)

a1.h(t-t0)

a2.h(t-t0)* h(t-t0)

2t0

t0

notes de cours Analyse Cepstrale