Metody numeryczne
Download
1 / 107

METODY NUMERYCZNE - PowerPoint PPT Presentation


  • 219 Views
  • Uploaded on

METODY NUMERYCZNE. Wykład 7 Równania różniczkowe - przegląd. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: [email protected] http://home.agh.edu.pl/~zak. Równania różniczkowe - wprowadzenie.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' METODY NUMERYCZNE' - isaiah


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Metody numeryczne

METODY NUMERYCZNE

Wykład 7

Równania różniczkowe - przegląd

dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH,

Katedra Elektroniki, AGH

e-mail: [email protected]

http://home.agh.edu.pl/~zak

Met.Numer. wykład


Równania różniczkowe - wprowadzenie

Równania różniczkowe są popularnie spotykane we wszystkich dziedzinach nauk ścisłych i przyrodniczych a szczególnie w:

  • Fizyce (np. równania Maxwell’a)

  • Mechanice (np. równania ruchu harmonicznego)

  • Elektronice (np. stany nieustalone w obwodach elektrycznych)

  • Automatyce (np. warunki sterowalności układu)

  • i wielu innych dziedzinach nauki i techniki

Met.Numer. wykład


R wnania r niczkowe zwyczajne

M

Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne – jest to równanie w którym występują stałe oraz funkcje niewiadome i pochodne funkcji niewiadomych zależne od jednej zmiennej niezależnej.

Przykład:

Met.Numer. wykład


Cz stkowe r wnania r niczkowe
Cząstkowe równania różniczkowe

Cząstkowe równanie różniczkowe – jest to równanie zawierające funkcję niewiadomą dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Jednym z najprostszych równań różniczkowych cząstkowych jest równanie transportu:

Met.Numer. wykład


Cz stkowe r wnania r niczkowe1
Cząstkowe równania różniczkowe

Zauważamy, że pochodna kierunkowa funkcji u w kierunku wektora v=(1,b) є Rn+1znika. Zatem ustalając dowolny punkt (t,x)є R+ x Rni kładąc dla s є R dostajemy:

Zatem z(s) jest funkcją stałą.

Ustalając wartość rozwiązania na każdej prostej równoległej do wektora (1,b) dostajemy rozwiązanie zadania.

Met.Numer. wykład


Cz stkowe r wnania r niczkowe zagadnienia pocz tkowe
Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia początkowe

Zagadnienia początkowe, zakładamy, że w chwili t=0 zadana jest wartość funkcji u(0,x). Wówczas zagadnienie początkowe:

ma rozwiązanie:

Jeśli funkcja g jest klasy C1 to rozwiązanie równania jest rozwiązaniem klasycznym oraz jest ono jednoznaczne

Met.Numer. wykład


Rozwi zywanie zagadnie pocz tkowych
Rozwiązywanie zagadnień początkowych początkowe

Wprowadzimy teraz kilka oznaczeń, niech:

  • Y(x) – oznacza dokładne rozwiązanie

  • y(x) – oznacza rozwiązanie przybliżone

są punktami, w których wyznaczamy przybliżone rozwiązania

Met.Numer. wykład 6


B d metody
Błąd metody początkowe

Wielkość Tn nazywamy błędem metody powstałym przy przejściu od xn do xn+1

h – krok całkowania

Błąd metody możemy wyrazić jako funkcję zmiennej h i przedstawić w postaci:

Gdzie stała , to liczbę p będziemy nazywać rzędem metody przybliżonej

Met.Numer. wykład 6


Cz stkowe r wnania r niczkowe zagadnienia niejednorodne
Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne

W celu rozwiązania zagadnienia niejednorodnego:

podstawmy:

wówczas:

Met.Numer. wykład


Cz stkowe r wnania r niczkowe zagadnienia niejednorodne1
Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne

Zatem:

Rozwiązaniem zagadnienia jest więc:

Met.Numer. wykład


Ca ka zupe na dla r wna rz du 1
Całka zupełna dla równań rzędu 1 niejednorodne

Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci:

gdzie:

Met.Numer. wykład


Ca ka zupe na dla r wna rz du 1 zagadnienia brzegowe
Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe

Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci, spróbujemy rozwiązać warunki brzegowe (zagadnienie Cauchy’ego)

Zakładamy, że funkcje F i g oraz powierzchnia Г są dostatecznie gładkie.

Met.Numer. wykład


Ca ka zupe na dla r wna rz du 1 zagadnienia brzegowe1
Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe

Staramy się połączyć punkt xєΩz pewnym punktem x0єГpewną krzywą ɣ w taki sposób, aby można było policzyć wartości rozwiązania u wzdłuż tej krzywej:

Chcemy dobrać krzywą x(s) tak, aby można było policzyć z(s) i p(s). W tym celu policzymy dp(s)/d(s):

Met.Numer. wykład


Ca ka zupe na dla r wna rz du 1 zagadnienia brzegowe2
Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe

Z drugiej strony różniczkując równanie ogólne względem xi:

Zakładamy, że:

Met.Numer. wykład


Ca ka zupe na dla r wna rz du 1 zagadnienia brzegowe3
Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe

Otrzymujemy wtedy:

Ostatecznie otrzymujemy:

Met.Numer. wykład


Ca ka zupe na dla r wna rz du 1 zagadnienia brzegowe4
Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe

Stosując zapis wektorowy otrzymujemy układ (2n+1) równań różniczkowych zwyczajnych zwany układem charakterystyk całki zupełnej.

Met.Numer. wykład


Ca ka zupe na dla r wna rz du 1 zagadnienia brzegowe przyk ad
Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład

Rozpatrzmy układ:

Wówczas równania charakterystyk mają postać:

Met.Numer. wykład


Ca ka zupe na dla r wna rz du 1 zagadnienia brzegowe przyk ad1
Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład

Rozwiązując ten układ równań z uwzględnieniem warunku brzegowego dostajemy

Ostatecznie rugując parametr s dostajemy rozwiązanie:

Met.Numer. wykład


R wnanie liniowe rz du 2
Równanie liniowe rzędu 2 brzegowe - przykład

Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu 2 określone w obszarze Ω ↄ Rn ma postać:

Ogólne równanie cząstkowe drugiego rzędu dwóch zmiennych niezależnych liniowe możemy zapisać:

A,B,C są określone w pewnym obszarze Ω ↄ R2 a F jest określona na Ω ↄ R3

Met.Numer. wykład


Transformacja laplace a
Transformacja Laplace’a brzegowe - przykład

Całką Laplace’a funkcji f nazywamy całkę niewłaściwą postaci:

Przy czym o funkcji f(t) zakładamy że jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej t określoną dla każdej wartości t > 0 i przedziałami ciągłą.

Ponieważ całka jest całką niewłaściwą to nie dla wszystkich funkcji f(t) spełniających podane warunki jest ona zbieżna.

Met.Numer. wykład


Transformacja laplace a c d
Transformacja Laplace’a c.d. brzegowe - przykład

Funkcję f(t) dla których istnieje całka Laplace’a nazywamy oryginałami natomiast odpowiadające i funkcje F(s) nazywamy transformatami Laplace’a.

Samą transformację Laplace’a zwaną także przekształceniem Laplace’a w środowisku inżynierskim często zapisujemy jako:

Met.Numer. wykład


Transformacja odwrotna laplace a
Transformacja odwrotna Laplace’a brzegowe - przykład

Transformacja odwrotna Laplace’a dla klasy funkcji spełniających podane założenia wyraża się wzorem:

Met.Numer. wykład


Transformacja laplace a przyk adowe funkcje
Transformacja Laplace’a – przykładowe funkcje brzegowe - przykład

Transformata pochodnej:

Transformata całki:

Met.Numer. wykład


W asno ci transformacji laplace a
Własności transformacji Laplace’a brzegowe - przykład

  • Linowość:

gdzie a, b, c to współczynniki

  • Przesunięcie w dziedzinie zmiennej zespolonej:

Jeśli

to

  • Zmiana skali

Jeśli

to

Met.Numer. wykład


Transformacja laplace a przyk ad
Transformacja Laplace’a - przykład brzegowe - przykład

Rozwiązywanie równania różniczkowego przy pomocy transformacji Laplace’a:

Krok 1: Transformacja obydwu stron równania różniczkowego

Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 5 otrzymujemy:

Met.Numer. wykład


Transformacja laplace a przyk ad c d
Transformacja Laplace’a – przykład c.d. brzegowe - przykład

Krok 2: Wyrażanie Y(s) jako funkcji s

Zapisanie Y(s) w postaci ułamków prostych

Met.Numer. wykład


Transformacja laplace a przyk ad c d1
Transformacja Laplace’a – przykład c.d. brzegowe - przykład

Krok 3: Odwrotna transformacja obydwu stron równania

Uwzględniając że:

Rozwiązanie równania wynosi:

Met.Numer. wykład


R wnanie poissona
Równanie Poissona brzegowe - przykład

Równaniem Poissona nazywamy niejednorodne równanie Laplace’a

Met.Numer. wykład


R wnanie poissona1
Równanie Poissona brzegowe - przykład

Równanie Poissona możemy podać explicite dla przestrzeni 2 i 3 wymiarowej:

Met.Numer. wykład


R wnanie poissona2
Równanie Poissona brzegowe - przykład

Rozwiązanie równania Poissona wyrażamy za pomocą funkcji Greena:

Met.Numer. wykład


Rozwi zywanie r wna r niczkowych zwyczajnych metoda eulera
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera

Metoda Eulera pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego postaci:

Przykłady:

Met.Numer. wykład


Rozwi zywanie r wna r niczkowych zwyczajnych metoda eulera1

y metoda Eulera

wartość prawdziwa

y1, wartość przewidywana

Φ

krok h

x

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera

Dla x = 0 wartość y = y0 przyjmując że x = x0 = 0

Znając f(x, y) i mając dane wartości x0 i y0 z warunku początkowego y(x0) = y0 można obliczyć nachylenie funkcji f(x, y) do osi X w punkcie (x0, y0)

Met.Numer. wykład


Rozwi zywanie r wna r niczkowych zwyczajnych metoda eulera2
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera

Po przekształceniu otrzymujemy:

Oznaczając x1-x0 jako krok h otrzymujemy:

Wykorzystując obliczaną wartość y1 można obliczyć wartość y2 dla x2 jako:

Met.Numer. wykład


Rozwi zywanie r wna r niczkowych zwyczajnych metoda eulera3
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera

Można zatem wyprowadzić wzór rekurencyjny:

y

wartość prawdziwa

yi+1,wartość przewidywana

yi

Φ

h

krok

x

xi

xi+1

Met.Numer. wykład


Metoda eulera przyk ad
Metoda Eulera - Przykład metoda Eulera

Kula nagrzana do temperatury 1200 K schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem:

Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania?

Met.Numer. wykład


Metoda eulera przyk ad c d
Metoda Eulera – Przykład c.d. metoda Eulera

Wzór rekurencyjny metody Eulera:

Zakładamy krok h = 240

Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = 1200:

Met.Numer. wykład


Metoda eulera przyk ad c d1
Metoda Eulera – Przykład c.d. metoda Eulera

Dla i = 1, t1 = 240, Θ0 = 106.09:

Po wykonaniu dwóch iteracji metody Eulera otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie 110.32K

Czy to prawda?

Met.Numer. wykład


Metoda eulera przyk ad c d2

dokładne rozwiązanie metoda Eulera

temperatura Θ(K)

czas t(s)

Metoda Eulera – Przykład c.d.

Porównanie rozwiązania dokładnego z rozwiązaniem otrzymanym przy użyciu metody Eulera.

Met.Numer. wykład


Metoda eulera przyk ad c d3

dokładne rozwiązanie metoda Eulera

temperatura Θ(K)

czas t(s)

Metoda Eulera – Przykład c.d.

Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Eulera

Met.Numer. wykład


Rozwi zywanie r wna r niczkowych zwyczajnych metoda rungego kutty
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty

Metoda Rungego-Kuttypozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu postaci:

Korzystając z rozwinięcie w szereg Taylora:

Widać że metoda Eulera jest metodą Rngego-Kutty pierwszego rzędu

Met.Numer. wykład


Rozwi zywanie r wna r niczkowych zwyczajnych metoda rungego kutty1
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty

Wzór dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu będzie wyglądał następująco:

dla metody czwartego rzędu:

Jak wyznaczyć pochodne f’ metody stopnia drugiego i f’, f’’, f’’’ dla metody stopnia czwartego?

Met.Numer. wykład


Rozwi zywanie r wna r niczkowych zwyczajnych metoda rungego kutty2
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty

Dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu wzór:

można zapisać jako:

gdzie:

aby wyznaczyć współczynniki a1, a2, p1, q11 należy rozwiązać kład równań:

zazwyczaj wartość a2 wybiera się aby rozwiązać pozostałe

Met.Numer. wykład


Rozwi zywanie r wna r niczkowych zwyczajnych metoda rungego kutty3
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty

Zazwyczaj a2 przyjmuje jedną z trzech wartości: ½, 1, 2/3

Met.Numer. wykład


Metoda rungego kutty przyk ad
Metoda Rungego - Kutty - Przykład metoda Rungego - Kutty

Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem:

Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania?

Met.Numer. wykład


Metoda rungego kutty przyk ad c d
Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. metoda Rungego - Kutty

Dla metody Heun’a:

Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = Θ(0) = 1200:

Met.Numer. wykład


Metoda rungego kutty przyk ad c d1
Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. metoda Rungego - Kutty

Dla i = 1, t1 = t0 + h= 240, Θ1 = 655,16:

Po wykonaniu dwóch iteracji metody Heun’a otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie 110.32K

Met.Numer. wykład

K


Metoda rungego kutty przyk ad c d2

dokładne rozwiązanie metoda Rungego - Kutty

temperatura Θ(K)

czas t(s)

Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.

Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Heun’a

Met.Numer. wykład


Metoda rungego kutty przyk ad c d3

temperatura metoda Rungego - KuttyΘ(K)

dokładne rozwiązanie

czas t(s)

Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.

Porównanie dotychczas przedstawionych metod:

Dokładna wartość rozwiązania obliczona analitycznie wynosi:

Met.Numer. wykład


Rozwi zywanie r wna r niczkowych zwyczajnych metoda rungego kutty4
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty

Dla metody Rungego-Kutty czwartego rzędu wzór:

można zapisać jako:

gdzie najczęściej przyjmuje się że:

Met.Numer. wykład


Metoda rungego kutty przyk ad1
Metoda Rungego - Kutty - Przykład metoda Rungego - Kutty

Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem:

Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania?

Met.Numer. wykład


Metoda rungego kutty przyk ad c d4
Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. metoda Rungego - Kutty

Dla metody Rungego - Kutty czwartego rzędu:

Dla i = 0, t0 = 0, Θ0 = 1200:

Met.Numer. wykład


Metoda rungego kutty przyk ad c d5
Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. metoda Rungego - Kutty

Met.Numer. wykład


Metoda rungego kutty przyk ad c d6
Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. metoda Rungego - Kutty

Dla i = 1, t1 = 240, Θ1 = 675,65:

Met.Numer. wykład


Metoda rungego kutty przyk ad c d7

dokładne rozwiązanie metoda Rungego - Kutty

temperatura Θ(K)

czas t(s)

Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.

Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Rungego - Kutty czwartego rzędu.

Met.Numer. wykład


Metoda rungego kutty dla r wna r niczkowych wy szych rz d w
Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędów

Dla równania różniczkowego zwyczajnego wyższego rzędu albo dla równania cząstkowego

można dokonać podstawienia:

Met.Numer. wykład


Metoda rungego kutty dla r wna r niczkowych wy szych rz d w1
Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędów

Otrzymane równania tworzą w efekcie układ n równań:

Każde z n równań może być rozwiązane z użyciem opisanych wcześniej metod rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych stopnia pierwszego

Met.Numer. wykład


Przyk ad
Przykład wyższych rzędów

Rozwiąż równanie:

oraz oblicz y(0.75)

Podstawiając:

Po podstawieniu równanie przybiera postać:

Met.Numer. wykład


Przyk ad c d
Przykład c.d. wyższych rzędów

W efekcie należy rozwiązać następujący układ równań:

Stosując metodę Eulera:

Met.Numer. wykład


Przyk ad c d1
Przykład c.d. wyższych rzędów

Krok 1:

Met.Numer. wykład


Przyk ad c d2
Przykład c.d. wyższych rzędów

Krok 2:

Met.Numer. wykład


Przyk ad c d3
Przykład c.d. wyższych rzędów

Krok 3:

Met.Numer. wykład


Przyk ad c d4
Przykład c.d. wyższych rzędów

Otrzymane rozwiązanie to:

Wartość dokładna to:

Błąd względny otrzymanego rozwiązania wynosi:

Met.Numer. wykład


Warunki pocz tkowe i brzegowe

υ wyższych rzędów

q

x

L

υ

q

x

L

Warunki początkowe i brzegowe

Zależność przemieszczenia v belki od długości x oraz obciążenia q:

Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki brzegowe punkach x = 0 oraz x = L

Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki początkowe w punkcie x = 0

Met.Numer. wykład


Metoda r nicowa dla zagadnie brzegowych r wna r niczkowych zwyczajnych
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych.

Zastosowanie tej metody zostanie omówione na przykładzie równań różniczkowych drugiego rzędu które mają narzucone warunki brzegowe.

Warunki brzegowe:

Met.Numer. wykład


Metoda r nicowa dla zagadnie brzegowych r wna r niczkowych zwyczajnych1
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych.

Odkształcenie belki wzdłuż osi Y opisuje równanie:

Oblicz wartość odkształcenia belki w punkcie x = 50:

Met.Numer. wykład


Metoda r nicowa dla zagadnie brzegowych r wna r niczkowych zwyczajnych2
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych.

Aproksymujemy w punkcie i:

Met.Numer. wykład


Metoda r nicowa dla zagadnie brzegowych r wna r niczkowych zwyczajnych3
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych.

Po podstawieniu wartości:

Ponieważ Δx = 25 będą rozpatrywane 4 węzły:

Met.Numer. wykład


Metoda r nicowa dla zagadnie brzegowych r wna r niczkowych zwyczajnych4
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych.

Węzeł pierwszy (i = 1):

Węzeł drugi (i = 2):

Met.Numer. wykład


Metoda r nicowa dla zagadnie brzegowych r wna r niczkowych zwyczajnych5
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych.

Węzeł trzeci (i = 3):

Węzeł czwarty (i = 4):

Met.Numer. wykład


Metoda r nicowa dla zagadnie brzegowych r wna r niczkowych zwyczajnych6
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych.

Otrzymane równania dla wszystkich 4 węzłów można zapisać jako:

Rozwiązanie powyższego kładu równań daje:

Met.Numer. wykład


Metoda r nicowa dla zagadnie brzegowych r wna r niczkowych zwyczajnych7
Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych.

Ostatecznie wartość przemieszczenia y w punkcie

x = 50 wynosi:

Rozwiązanie analityczne daje:

Błąd rozwiązania wyznaczonego metodą różnicową:

Met.Numer. wykład


Mikro i nanobelki w sensorach
Mikro- i różniczkowych zwyczajnych.nanobelki w sensorach

Met.Numer. wykład


Zagadnienie problemowe r wnanie przewodnictwa cieplnego
Zagadnienie problemowe – równanie przewodnictwa cieplnego różniczkowych zwyczajnych.

Równanie przewodnictwa cieplnego zwane jest także jako równanie dyfuzji.

W celu wyprowadzenia tego równania rozważamy podobszar V obszaru Ω, o gładkim brzegu ∂V.

Niech F oznacza gęstość strumienia przepływu w obszarze Ω, wówczas tempo w jakim zmienia się ilość substancji wypełniającej V jest równe całkowitemu przepływowi substancji przez brzeg ∂V:

η – wektor normalny do ∂V, dS - miara na powierzchni ∂V

Met.Numer. wykład


R wnanie przewodnictwa cieplnego rozwi zanie podstawowe
Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe

Równanie ciepła ma bardziej skomplikowaną strukturę do równania Laplace’a – poszukiwanie rozwiązań w postaci tzw. funkcji samopodobnej tzn.:

Podstawiając do równania cieplnego otrzymujemy:

Met.Numer. wykład


R wnanie przewodnictwa cieplnego rozwi zanie podstawowe1
Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe

Jeżeli β=1/2 nasze równanie ulega uproszczeniu:

Stosując kolejne uproszczenie i operator Laplace’a:

Met.Numer. wykład


R wnanie przewodnictwa cieplnego rozwi zanie podstawowe2
Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe

Jeżeli przyjmiemy, że: α=n/2 to otrzymamy równanie:

Stosując pewne techniki mnożenia i dzielenia rn-1 otrzymujemy:

Met.Numer. wykład


R wnanie przewodnictwa cieplnego rozwi zanie podstawowe3
Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe

I ostatecznie uwzględniając wszystkie założenia:

Otrzymujemy funkcję, która jest rozwiązaniem równania ciepła:

Met.Numer. wykład


R wnanie przewodnictwa cieplnego rozwi zanie podstawowe4
Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe

Rozwiązaniem podstawowym operatora przewodnictwa cieplnego nazywamy funkcję:

Met.Numer. wykład


Rozk ad temperatury w czujnikach
Rozkład temperatury w czujnikach podstawowe

Met.Numer. wykład


Zagadnienie pocz tkowe dla r wnania struny wz r d alamberta
Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór podstawowed’Alamberta

Badanie równania falowego zaczniemy od przypadku jednowymiarowego czyli od tzw. Równania struny.

Skoncentrujemy się na równaniu struny nieograniczonej.

Naszym celem jest rozwiązanie zagadnienia:

Met.Numer. wykład


Zagadnienie pocz tkowe dla r wnania struny wz r d alamberta1
Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór podstawowed’Alamberta

Rozwiązanie ogólne równania wyraża się wzorem:

Gdzie F i G są funkcjami klasy C2(R). Korzystając z warunków początkowym dostajemy:

Met.Numer. wykład


Zagadnienie pocz tkowe dla r wnania struny wz r d alamberta2
Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór podstawowed’Alamberta

Całkując drugie równanie mamy:

Zatem rozwiązaniem powyższego układu równań jest para funkcji:

Met.Numer. wykład


Zagadnienie pocz tkowe dla r wnania struny wz r d alamberta3
Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór podstawowed’Alamberta

Stąd rozwiązanie problemu struny wyraża się wzorem d’Alamberta:

Jeśli gєC2(R), hєC1(R), to rozwiązanie zagadnienia struny wyraża się wzorem d’Alamberta

Zadanie domowe: wymuszone drgania struny

Met.Numer. wykład


Rezonans struny
Rezonans struny podstawowe

Met.Numer. wykład


Okre lenie stabilno ci wg apunowa
Określenie stabilności wg podstawoweŁapunowa

Rozważmy układ macierzowy równań różniczkowych w postaci:

Pytanie: Jaki punkt jest stabilny dla układu liniowego?

Met.Numer. wykład


Okre lenie stabilno ci wg apunowa1
Określenie stabilności wg podstawoweŁapunowa

Rozważmy:

λ – wartości własne macierzy

Met.Numer. wykład


Okre lenie stabilno ci wg apunowa2
Określenie stabilności wg podstawoweŁapunowa

Otrzymujemy:

x – jest to punkt asymptotycznie stabilny

Met.Numer. wykład


Okre lenie stabilno ci wg apunowa3
Określenie stabilności wg podstawoweŁapunowa

Jeżeli wartości własne macierzy A są mniejsze od zera wówczas możemy powiedzieć, że:

x – jest to punktem stabilnym wg Łapunowa i asymptotycznie stabilnym

Met.Numer. wykład


Okre lenie stabilno ci wg apunowa4
Określenie stabilności wg podstawoweŁapunowa

Punkt nazywamy stabilnym wg Łapunowa jeżeli spełnione są warunki (3):

Met.Numer. wykład


Okre lenie stabilno ci wg apunowa5
Określenie stabilności wg podstawoweŁapunowa

Sens definicji Łapunowa ilustruje rysunek:

Met.Numer. wykład


Okre lenie stabilno ci wg apunowa6
Określenie stabilności wg podstawoweŁapunowa

Lokalna asymptotyczna stabilność wg Łapanowa

Met.Numer. wykład


Stabilno rozwi za r wna r niczkowych
Stabilność rozwiązań równań różniczkowych podstawowe

Punkt x0 nazywamy punktem stacjonarnym (położeniem równowagi) równania:

Stabilność w sensie Łapunowa– jeśli startując z warunku początkowego x0blisko rozwiązania stacjonarnego, pozostajemy w pobliżu tego rozwiązania wraz z upływem czasu.

Asymptotycznie stabilne – jeśli jest stabilne i dla warunku początkowego x0 dostatecznie blisko x=const., rozwiązanie x(t) z tym warunkiem początkowym zbiega do x przy t->∞.

Niestabilne r.r. – jeśli znajdzie się taki punkt początkowy dowolnie blisko x=const., dla którego rozwiązanie ucieka wraz z upływem czasu.

Met.Numer. wykład


Stabilno rozwi za r wna r niczkowych1
Stabilność rozwiązań równań różniczkowych podstawowe

Twierdzenie Hartmana-Grobmana

Jeżeli f(p)=0 i wśród wartości własnych Df(p) nie ma wartości własnych czysto urojonych to równanie nieliniowe x’=f(x) i liniowe x’=df(p) są topologicznie sprzężone w otoczeniu p.

Tw. Łapunowa

Asymptotycznie stabilny pkt. równowagi

Stabilny punkt równowagi

Niestabilny punkt

Met.Numer. wykład


Stabilno rozwi za r wna r niczkowych przyk ad
Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykład

Rozważmy układ równań:

Szukamy punktów równowagi:

Met.Numer. wykład


Stabilno rozwi za r wna r niczkowych przyk ad1
Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykład

Macierz linearyzacji:

Obliczamy macierz linearyzacji w podanym punkcie (0,0):

Wartości własne to: -1;1. Nie ma wartości czysto urojonych więc punkt (0,0) jest niestabilny.

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych
Metoda różnic skończonych przykład

Metoda różnic skończonych opiera się na zastąpieniu pochodnych cząstkowych w punktach (xi,yi) ich przybliżeniami numerycznymi. Otrzymujemy odpowiednio dla zmiennej x i y:

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych dla r wnania poissona
Metoda różnic skończonych dla równania Poissona przykład

Podstawienie FEM do równania Poissona otrzymujemy:

Warunki brzegowe:

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych dla r wnania poissona1
Metoda różnic skończonych dla równania Poissona przykład

Pomijając reszty otrzymujemy układ (n-1) x (m-1) równań liniowych z niewiadomymi, które są przybliżeniami u(xi,yj).

Układ równań możemy rozwiązać metodami bezpośrednimi bądź iteracyjnymi.

W celu wyznaczenia przybliżenia w punkcie (xi,yj), potrzebne są wartości przybliżenia rozwiązania w czterech sąsiednich punktach:

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych przyk ad
Metoda różnic skończonych przykład przykład

Wyznaczyć rozkład temperatury w stanie ustalonym dla cienkiej kwadratowej metalowej płytki o wymiarach 0,5m na 0,5m.

Na brzegu płytki znajdują się źródła ciepła utrzymujące temperaturę na poziomie 0oC dla boku dolnego i prawego, natomiast temperatura boku górnego i lewego zmienia się liniowo od 0oC do 100oC.

Problem rozwiązać układając układ równań liniowych (postać macierzowa) dla wewnętrznych węzłów siatki 5 x 5 – układ równań rozwiązać metodą Gaussa-Siedla.

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych przyk ad1
Metoda różnic skończonych przykład przykład

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych przyk ad2
Metoda różnic skończonych przykład przykład

Problem ten opisuje równanie Laplace’a

Z warunkami brzegowymi:

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych przyk ad3
Metoda różnic skończonych przykład przykład

Postać macierzowa układu: [zadanie domowe – obliczyć temperatury]

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych r wnania paraboliczne
Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne przykład

Przypomnijmy równanie paraboliczne:

Z warunkami brzegowymi i początkowymi:

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych r wnania paraboliczne1
Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne przykład

Dla danego m definiujemy krok h=(b-a)/m. Ustalamy wartość kroku czasowego k. Stąd węzły siatki (xi,tj):

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych r wnania paraboliczne2
Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne przykład

Otrzymujemy:

Po uwzględnieniu warunku brzegowego:

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych r wnania paraboliczne3
Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne przykład

Schemat jawny

Warunek zbieżności schematu jawnego

Met.Numer. wykład


Metoda r nic sko czonych r wnania paraboliczne4
Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne przykład

Schemat niejawny:

Schemat niejawny jest zawsze zbieżny, niezależnie od wielkości kroku całkowania

Met.Numer. wykład


ad