metody numeryczne sowig wydzia in ynierii rodowiska iii rok l.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok PowerPoint Presentation
Download Presentation
Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 14

Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok - PowerPoint PPT Presentation


  • 263 Views
  • Uploaded on

Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok. dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki. Metody numeryczne Interpolacja. dr inż. Jerzy Kotowski Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki. Interpolacja Definicje.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok' - lisette


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
metody numeryczne sowig wydzia in ynierii rodowiska iii rok

Metody numeryczneSOWIGWydział Inżynierii ŚrodowiskaIII rok

dr inż. Jerzy Kotowski

Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

metody numeryczne interpolacja

Metody numeryczneInterpolacja

dr inż. Jerzy Kotowski

Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki

interpolacja definicje
InterpolacjaDefinicje
  • Interpolacja jest to wstawienie do cudzego tekstu wyrazów, zwrotów, zdań, których pierwotnie nie zawierał; (przybliżone) oblicze, oszacowanie wartości (zwł. funkcji mat.) znajdujących się między dwiema znanymi wartościami.
  • http://www.slownik-online.pl/kopalinski/D6DC7462CB749143C12565E30055DDD5.php
  • Ekstrapolacja jest to wnioskowanie o tendencjach rozwojowych, stosunkach, warunkach, wartościach (zwł. funkcji mat.) na zewnątrz jakiegoś przedziału na podstawie znanych, zaobserwowanych tendencji, wartości itp. wewnątrz niego.
  • Załóżmy że dane są wartości funkcji f(x) na zbiorze punktów x0,x1,…,xn zwanych węzłami interpolacji. Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji f(x) zwanej funkcją interpolowaną w punktach nie będących węzłami interpolacji.
  • Przybliżoną wartość funkcji f(x) obliczamy za pomocą funkcji F(x) zwanej funkcją interpolującą, która w węzłach ma te same wartości co funkcja interpolowana.
interpolacja definicje4
InterpolacjaDefinicje
  • Funkcja interpolująca – przybliżenie zadanej funkcji musi przechodzić przez zadane punkty, inaczej niż w aproksymacji.
  • Interpolację stosuje się najczęściej gdy nie znamy analitycznej postaci funkcji (jest ona tylko stablicowana) lub gdy jej postać analityczna jest zbyt skomplikowana.
  • Funkcja interpolująca F(x) jest funkcją z pewnej klasy. Najczęściej będzie to wielomian algebraiczny, wielomian trygonometryczny, funkcja wymierna lub funkcja sklejana.
  • W dalszej części wykładu ograniczymy się do przypadku gdy funkcja aproksymująca jest uogólnionym wielomianem.
  • Przypomnienie: wielomian uogólniony jest kombinacją liniową pewnych funkcji bazowych qi(x), i=0,1,2,…,n.
  • Szczególnym przypadkiem wielomianu uogólnionego jest klasyczny wielomian: qi(x)=xi, i=0,1,2,…,n.
interpolacja sformu owanie problemu

(xn,yn)

(x0,y0)

(x1,y1)

InterpolacjaSformułowanie problemu
  • Węzły interpolacji:
  • To jest układ n+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi a0,a1,…,an
interpolacja zapis macierzowy
InterpolacjaZapis macierzowy
  • Układ równań:
  • Oznaczenie: vij=qj(xi)
interpolacja w asno ci wielomianu interpoluj cego
InterpolacjaWłasności wielomianu interpolującego
  • Wektor funkcji bazowych:
  • Funkcja aproksymująca:
  • Po podstawieniu rozwiązania z poprzedniego slajdu otrzymujemy:
  • q(x) jest wektorem wierszowym zawierającym funkcje bazowe. Wartości tych funkcji zależą tylko od zmiennej niezależnej x.
  • V jest macierzą kwadratową, której elementy zależą wyłącznie od wartości funkcji bazowych w węzłach interpolacji (x-ach)
  • Wektor kolumnowy Y zależy od składowych y-kowych węzłów interpolacji
interpolacja w asno ci uog lnionego wielomianu
InterpolacjaWłasności uogólnionego wielomianu
  • Mnożenie macierzy jest łączne: A(BC)=(AB)C
  • Dlatego można napisać: Qn(x)=q(x)(V-1Y)=(q(x)V-1)Y
  • Wprowadzamy oznaczenie: Rn(x)=q(x)V-1
  • Rn(x) jest wektorem wierszowym o n+1 składowych: Rn(x)=[l0,l1,…,ln]
  • Wszystkie te składowe są funkcjami zmiennej niezależnej x i zależą od składowych x-owych węzłów interpolacji: li=li(x,x0, x1,…, xn), i=0,1,2,…,n.
  • Ostatecznie: Qn(x)=Rn(x)Y.
  • Oznacza to, że poszukiwany uogólniony wielomian interpolujący jest liniową kombinacją składowych y-kowych węzłów interpolacji. Współczynnikami w tej liniowej kombinacji są funkcje l0,l1,…,ln.
interpolacja klasyczny wielomian interpolacyjny
InterpolacjaKlasyczny wielomian interpolacyjny
  • Pytanie: czy można wyznaczyć analitycznie funkcje li, i=0,1,2,…,n?
  • Jeżeli się to uda, to wtedy wyznaczanie wartości wielomianu interpolującego sprowadzi się do podstawiania do wzoru.
  • Z tym (tzn. z obliczaniem wartości wyrażenia) komputery radzą sobie najlepiej.
  • Jest to możliwe dla wybranych wektorów funkcji bazowych.
  • W tym zbiorze ważnym przypadkiem jest klasyczny wielomian interpolacyjny qi(x)=xi, i=0,1,2,…,n:
interpolacja wyznacznik vandermonde a
InterpolacjaWyznacznik Vandermonde’a
  • Macierz V przypomina macierz X z wykładu o aproksymacji.
  • Istotna różnica: V jest zawsze macierzą kwadratową.
  • Można obliczyć jej wyznacznik. Jest to znany z algebry wyznacznik Vandermonde’a.
  • Jak widać z wzoru |V|0 wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne x-owe węzłów interpolacji są różne.
  • Jest to warunek istnieniai jednoznaczności rozwiązania
interpolacja wz r lagrange a
InterpolacjaWzór Lagrange’a
  • Twierdzenie 1 Jeżeli |V|0 to wtedy zadanie interpolacji wielomianowej posiada jednoznaczne rozwiązanie, czyli istnieje tylko jeden wielomian Ln(x) stopnia nie większego niż n spełniający warunek Ln(xi)=yi, i=0,1,2,…,n
  • Szukany wielomian ma postać:
  • Powyższy wzór nosi nazwę wzoru Lagrange’a
  • Funkcje Lagrange’a:
interpolacja przyk ad 1 n 1
InterpolacjaPrzykład 1: n=1
  • Jest to znany ze szkoły wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.
  • Zarys dowodu:
    • Jest to prosta niewątpliwie równanie linii prostej
    • y(x0)=y0, y(x1)=y1
interpolacja przyk ad 2 n 2
InterpolacjaPrzykład 2: n=2
  • Jest to na pewno parabola
  • y(x0)=y0, y(x1)=y1, y(x2)=y2
  • Jest to zatem to, czego szukaliśmy.
interpolacja przyk ad 3 n 2 historyczny
InterpolacjaPrzykład 3: n=2 (historyczny)
  • Wniosek: poprawianie kartkówek przedświątecznych nie musi być zajęciem bardzo wyczerpującym.