1 / 24

R óżniczkowanie numeryczne

R óżniczkowanie numeryczne. niesymetryczny iloraz różnicowy. symetryczny iloraz różnicowy. y. f(x+h). f(x). f(x-h). x-h. x. x+h.

dean
Download Presentation

R óżniczkowanie numeryczne

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Różniczkowanie numeryczne niesymetryczny iloraz różnicowy symetryczny iloraz różnicowy

  2. y f(x+h) f(x) f(x-h) x-h x x+h Wzory powyższe można wyprowadzić różniczkując wielomian interpolacyjny odpowiednio o węzłach w x i x+h (wielomian pierwszego stopnia) lub x-h, i oraz x+h (wielomian drugiego stopnia).

  3. Za wartość h można przyjąć liczbę rzędu pierwiastka kwadratowego dokładności obliczania wartości funkcji czyli w ogromnej większości przypadków dokładność maszynową. Z jednej strony zmniejszenie h daje teoretycznie lepsze przybliżenie pochodnej ilorazem różnicowym ale z drugiej strony zbyt małe h powoduje że przy odejmowaniu bliskich sobie wartości funkcji tracimy dużo cyfr znaczących. Dla liczb podwójnej precyzji gdzie e=10-15 h=10-7. Pochodne cząstkowe pierwszego obliczamy numerycznie w identyczny sposób inkrementując kolejne zmienne. Wynikiem jest wektor pochodnych (gradientu). Jeżeli chcemy obliczyć pochodne cząstkowe tylko w jednym punkcie to symetryczne ilorazy różnicowe są 2 razy droższe od niesymetrycznych.

  4. Drugie pochodne: wzór drugiego rzędu (3 punkty) Drugie pochodne: inny wzór drugiego rzędu (4 punkty)

  5. Całkowanie numeryczne p(x) – funkcja wagowa (zwykle stała) S(f): kwadratura x1, x2,..., xN: węzły kwadratury Mamy dwa rodzaje kwadratur: kwadratury Newtona-Coatesa i kwadratury Gaussa.

  6. Kwadratury Newtona-Cotesa W kwadraturze Newtona-Coatesa rzędu N przybliżamy funkcję podcałkową przez wielomian interpolacyjny Lagrange’a stopnia N o równoodległych węzłach. Funkcja wagowa p(x)=1. Kwadratura prosta: jeden wielomian dla całego przedziału całkowania (mało praktyczne). Kwadratura złożona: przedział całkowania dzieli się na podprzedziały i w każdym prowadzi się odpowiedni wielomian interpolacyjny.

  7. Błąd kwadratury Rząd kwadratury (r)

  8. N=1: wzór trapezów kwadratura prosta błąd kwadratura złożona y xn=b xo=a x1 x2

  9. N=2: wzór Simpsona kwadratura prosta błąd kwadratura złożona

  10. Schemat Romberga Dzielimy przedział całkowania na 2i segmentów. Następnie definiujemy (wzór trapezów): Z wartości Toi można następnie wyliczyć przybliżenia całki odpowiadające wzorowi parabol (Simpsona) (T1i):

  11. Ogólnie dla kwadratury m-tego rzędu:

  12. Kwadratury McLaurina Kwadratura prosta y f(x2+h/2) f(x1+h/2) f(x0+h/2) Kwadratura złożona x2 (x0+2h) xn=b xo=a x1 (x0+h)

  13. Kwadratury Gaussa Kwadraturą Gaussa nazywamy kwadraturę o maksymalnym rzędzie przy ustalonej liczbie węzłów. Jeżeli liczba węzłów wynosi N+1 to maksymalny rząd kwadratury wynosi 2(N+1). Węzły nie są równoodległe (zaleta: można całkować numerycznie w przedziałach nieograniczonych). Do kwadratur Gaussa używa się wielomianów ortogonalnych.

  14. Kwadratury Gaussa-Legendre’a(przedział całkowania skończony, funkcja podcałkowa ograniczona) xk są kolejnymi pierwiastkami wielomianu Legendre’a PN+1

  15. 5 pierwszych wielomianów Legendre’a

  16. Węzły i współczynniki kwadratur Gaussa-Legendre’a dla N=1, 2, 3, 4

  17. Błąd kwadratury Gaussa-Legendre’a

  18. Kwadratury Gaussa-Jacobiego(przedział całkowania skończony ale funkcja podcałkowa nie musi być ograniczona) Wielomiany ortogonalne są wielomianami Jacobiego

  19. Błąd kwadratury Gaussa-Jacobiego

  20. Jeżeli a=b=-1/2 mamy kwadratury Czebyszewa z wielomianami Czebyszewa, Tn(x).

  21. Przykład zastosowania kwadratury Gaussa-Czebyszewa f(y) p(y) Wartość dokładna:3p@9.4247796

  22. Kwadratury Gaussa-Laguerre’a dla przedziału (0, ¥) Wielomiany Laguerre’a xk – pierwiastki wielomianu Laguerre’a stopnia n+1

  23. Kwadratury Gaussa-Hermite’a dla przedziału (-¥, ¥) Wielomiany Hermite’a xk – pierwiastki wielomianu Hermite’a stopnia n+1

  24. Błąd kwadratury Gaussa-Laguerre’a Błąd kwadratury Gaussa-Hermite’a

More Related