Bab 1

1. Bab 1 Analisa Vektor

2. Notasi Vektor • Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen vektor satuan sebagai A = Axax+ Ayay + Azaz • Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda vektor A didefinisikan sebagai |A| =A= • Vektor satuan sepanjang arah Adiberikan oleh

3. Aljabar Vektor • Vektor dapat dijumlahkan dan juga dikurangkan A ± B = (Axax + Ayay + Azaz) ± (Bxax + Byay + Bzaz) = (Ax±Bx)ax+ (Ay ± By)ay+ (Az ± Bz)az • Sifat-sifat asosiatif, distributif, dan komutatif berlaku dalam aljabar vektor • A + (B + C) = (A + B) + C • k(A + B) = kA + kB, (kl + k2)A = kIA + k2A • A+B = B+A Komutatif C = A+B=B+A Assosiatif A+(B+C) = (A+B)+C

4. C A B C B A A+B C C B+C D=A+(B+C) D=(A+B)+C Komutatif & Assosiatif Komunikatif Contoh : C= A+B=B+A B A Assosiatif Contoh : D = A+(B+C) = (A+B)+C A

5. Perkalian Vektor dengan Skalar • Hasil perkalian vektor dengan skalar adalah vektor • Besar perkalian vektor dengan skalar adalah kelipatan a (skalar) dari nilai vektor asli • Arah vektor yang dihasilkan adalah sama dengan arah vektor asal bila a > 0, dan berlawanan dengan arah vektor asal bila • Perkalian vektor dengan skalar memenuhi hukum distributif , yaitu a (A +B ) = aA + aB Contoh : B = aA a<0, B berlawanan A B = aA a > 0, B searah A

6. Perkalian Titik (Dot) Dua Vektor • A • B = AB cos (dibaca sebagai "A titik B") • Hasil perkalian titik atau dot product adalah besaran skalar • Perkalian titik adalah komutatif • Perkalian titik adalah distributif • Perkalian titik memenuhi perkalian skalar A.B = B.A A.(B+C) = A.B + A.C A • kB = k(A •B) Contoh : di mana  adalah sudut antara A dan B yang lebih kecil. Dalam bentuk komponen, perkalian titik adalah sama dengan A • B = AxBx + AyBy + AzBz

7. Perkalian Silang Dua Buah Vektor • Hasil perkalian silang atau cross product adalah besaran vektor yang arah nya tegak lurus kedua vektor asal dengan aturan tangan kanan. • Perkalian silang tidak memenuhi hukum komutatif • Perkalian silang adalah distributif AXB = -BXA AX(B+C) = AXB + AXC Contoh : •  = sudut antara A dan B yang lebih kecil. • an = Vektor satuan adalah normal terhadap bidang datar A dan B • Hasil perkalian silang memenuhi aturan tangan kanan / putaran skrup

8. Perluasan perkalian silang dalam bentuk komponen-komponen vektor akan menghasilkan, A x B = (Axax + Ayay + Azaz) x (Bxax + Byay + Bzaz) = (AYBZ – AzBz)ax+ (AzBx -AxBz)ay + (AxBy – AyBx)az Contoh : Jika A = 2ax + 4ay – 3aZ dan B = ax – ay, carilah A • B dan A x B ! Penyelesaian!

9. Sistem koordinat • Koordinat cartesian tidak cukup !!! • Terdapat beberapa kasus yang akan lebih mudah penyelesaiannya dengan menggunakan koordinat tabung dan bola • Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan koordinat silindris dan persoalan antena yang memiliki penyelesaian menggunakan koordinat bola. • Ilustrasi : • Titik P digambarkan dalam 3 buah koordinat • Koordinat cartesian = (x, y, z) • koordinat silindris = (r, , z ) • koordinat bola = (r,,)

10. Pendefinisian Variabel-Variabel Koordinat dalam Tiga BuahSistem Koordinat Z Z Z A (r, φ, z) A (r, , z) A (r, ,θ) A (x, y, z) z z z r r Y Y Y y x X X X Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga sistem koordinat : A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian) A = Arar+ Aa+ Azaz (Silindris) A = Arar + Aa+ Aa(Bola)

11. . Bidang-bidang PermukaanNilai Konstan untukTiga sistem Koordinat

12. Arah vektor satuan untuk tiga sistem koordinat Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidang permukaan koordinatnya dan memiliki arah di mana koordinatnya bertambah. Semua sistem merupakan sistem tangan kanan: axx aY = aZ ar x a= az ar x a= a

13. Transformasi skalar antar sistem koordinat Koordinat cartesian – koordinat silinder vektor dalam Cartesian : A = Axax + Ayay + Azaz Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z; vektor dalam Silinder : Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

14. Untuk mendapatkan komponen sebuah vektor, kita ingat pada pembahasan perkalian titik yang menyatakan bahwa komponennya dapat dicari dengan mengambil perkalian titik Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar AΦ = (Axax + Ayay + Azaz)• aΦ Az = (Axax + Ayay + Azaz) • az

15. Transformasi skalar antar sistem koordinat Koordinat cartesian – koordinat bola vektor dalam Cartesian : A = Axax + Ayay + Azaz Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z; vektor dalam Silinder : Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;

16. Dengan cara yang sama … Sinθ sin Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar A= (Axax + Ayay + Azaz)• a A θ= (Axax + Ayay + Azaz) • a θ

17. Diferensial volume pada tiga sistem koordinat Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial permukaan yang tegak terhadap ar adalah, dS = (r d)(r sin d) = r2 sin d Elemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P. Jadi, dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian) d12 = dr2 + r2d2 + dz2 (Silindris) d12 = dr2 + r2d2 + r2 sin2 d2 (Bola)

18. Soal-soal dan Penyelesaiannya Soal 1 Carilah vektor C yang memiliki arah dari M(x1, y1, z1) ke N(x2, y2, z2)! Berapakah magnituda dari vektor ini dan vektor satuan arahnya? Penyelesaian : Koordinat-koordinat titik M dan N digunakan untuk menuliskan posisi dari kedua vektor A dan B pada Gambar 1-6. Selanjutnya. C = B – A = (x2 – x1)ax + (y2 – y1)ay + (z2 – z1)az Magnituda C adalah Vektor satuannya adalah

19. Soal 2 Hitunglah jarak antara (5,3/2,0) dan (5,/2,10) dalam koordinat silindris! Penyelesaian : Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b Panda gambar diperoleh : A = -5ay, B = 5ay + 10az Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalen antara kedua titik

20. A aB B Proyeksi A pada B Soal 3 Diberikan A = (y – 1 )ax+2xay, carilah vektor pada (2,2,1) dan proyeksinya pada vektor B = 5ax – ay + 2az! Penyelesaian : A = (2 – 1)ax + 2(2)ay = ax + 4ay. Seperti ditunjukkan pada Gambar, proyeksi sebuah vektor pada vektor kedua dapat diperoleh dengan menyatakan vektor satuan yang searah dengan vektor kedua serta mengambil perkalian titiknya. Proyeksi A pada B = Jadi pada (2,2,1) Proyeksi A pada B =

21. Soal 4 Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area dari sebuah lembaran tipis  pada selubung bola dengan jari-jari r = r  ( Gambar 1-9). Berapakah luas area yang diperoleh jika  = 0 dan  = ? Penyelesaian : Diferensial elemen permukaan adalah [ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ] dS = r02 sin  d d Selanjutnya, sehingga saat  = 0 dan  = , A = 4r02, yang merupakan luas permukaan bola.